2014年高考数学三轮复习难点突破教学案难点12新定义问题

随着新课标的深入实施，素质教育要求不断提高，全国各地的高考试卷都相继推出了以能力立意为目标，以增大思维容量为特色，具有相当浓度和明确导向的创新题型脱颖而出，为高考试题增添了活力．纵观近年各地高考的创新题型，不难发现，“新定义”型这种题目是高考试题的一大热点．所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有的知识、能力进行理解，并根据新的定义进行运算、推理、迁移的一种题型．这类题目具有启发性、思考性、挑战性和隐蔽性等特点，由于它构思巧妙，题意新颖，是考察学生综合素质和能力、挖掘学生潜力的较佳题型，因而它受到命题者的青睐．纵观这几年的高考试题，可以发现，“新定义”型问题按其命题背景可分为三种类型：以新课标内容为背景、以高等数学为背景、以跨学科为背景．现就相关类型作探讨：1以新课标内容为背景以新课标内容为背景，这种类型的问题很多，一般是以新课标教材内容为背景，给出某种新概念、新运算（符号）、新法则（公式）等，学生在理解相关新概念、新运算（符号）、新法则（公式）之后，运用新课标学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等寻求问题解决．一、新定义集合所谓“新定义集合”，给出集合元素满足的性质，探讨集合中的元素属性，要求有较高的抽象思维和逻辑推理能力．由于此类题目编制角度新颖，突出能力立意，突出学生数学素质的考查，特别能够考查学生“现场做题”的能力，并且在近几年高考模拟试题和高考试题中出现频繁出现．下面选取几例进行分类归纳，解题时应时刻牢记集合元素的三要素：确定性，互异性，无序性．例1．【广东省仲元中学、中山一中、南海中学、潮阳一中、宝安中学、普宁二中2014届高三第一次联考】定义：关于x的不等式xAB的解集叫A的B邻域．已知2ab的ab邻域为区间2,8，其中a、b分别为椭圆22221xyab的长半轴和短半轴．若此椭圆的一焦点与抛物线245yx的焦点重合，则椭圆的方程为（）A．22183xyB．22194xyC．22198xyD．221169xy二、新定义函数例2．【江西省南昌市第二中学2013-2014学年高三上学期第一次月考】（12分）若f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b]（ab），则称函数f(x)是[a，b]上的“四维光军”函数．[来源:]①设g(x)＝12x2－x+32是[1，b]上的“四维光军”函数，求常数b的值;②问是否存在常数a，b（a－2），使函数h(x)=12x是区间[a，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值，否则，请说明理由．思路分析：①根据信息找到b所满足的等式即可求出b的值，一定要先判断函数在闭区间上的单调性；②先假设存在题目要求的常数，根据“四维光军”函数的特性去找到此常数能得到的结论，推出矛盾即可说明这样的常数是不存在的，这是一种逆向思维的题目，首先假设存在，由存在得出矛盾，则可知存在不成立．即1212baab，解得ab，这与已知矛盾．………………………………………………………………12分例3．【2013山东理16】定义“正对数”：0,01lnln,1xxxx，现有四个命题：①若0,0ab，则ln()lnbaba；②若0,0ab，则ln()lnlnabab；③若0,0ab，则ln()lnlnaabb；④若0,0ab，则ln()lnlnln2abab其中的真命题有：（写出所有真命题的编号）思路分析：正确理解信息，结合所学的对数的相关知识解决问题．点评：本题主要考查新定义问题，考查学生的创新意识及创新能力．（1）若三角形012FFF是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程（节选）．点评：本题是由两个半椭圆复合而成的图形，关键在于“果圆”方程中的a，b，c的关系，结合等边三角形的性质，很快便能求出相应的a，b，c．二、新定义数列例5.【四川省邛崃市2014届高三第一次月考数学（理）试题】若数列{an}满足1an＋1－1an＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an}为调和数列．记数列1xn为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝________.例6．如果有穷数列123maaaa，，，，（m为正整数）满足条件maa1，12maa，…，1aam，即1imiaa（12im，，，），我们称其为“对称数列”．（1）设nb是7项的“对称数列”，其中1234bbbb，，，是等差数列，且21b，114b．依次写出nb的每一项；（2）设nc是49项的“对称数列”，其中252649ccc，，，是首项为1，公比为2的等比数列，求nc各项的和S．点评：本题关键在于准确把握“对称数列”的定义，而所考查的还是课本中数列的基本知识．1．2定义新运算型例7．【湖南省四校2014届高三上学期第三次联考数学（理）】在R上定义运算).1(:yxyx若对任意2x，不等式2xaxa都成立，则实数a的取值范围是（）A．7,B．3,C．17,D．17,,例8．对于直角坐标平面内的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，定义它们之间的一种“距离”：‖AB‖=︱x1－x2︱+︱y1－y2︱．给出下列三个命题：①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖;②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖2+‖CB‖2=‖AB‖2；③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖‖AB‖．其中真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．31．3定义新法则型例9．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为:明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为()A．4，6，1，7B．7，6，1，4C．6，4，1，7D．1，6，4，72以高等数学为背景本类型的题目通常是以高等数学符号、概念直接出现或以高等数学概念、定理作为依托融于初等数学知识中．此类问题的设计虽来源于高等数学，但一般是起点高，落点低，它的解决的方法还是运用中学数学的基本知识和基本技能．这要求学生认真阅读相关定义或方法，在充分理解题意的基础上，结合已有的知识进行解题．例10．已知不等式nnn其中],[log21131212为大于2的整数，][log2n表示不超过n2log的最大整数．设数列}{na的各项为正，且满足,4,3,2,),0(111nannaabbannn（Ⅰ）证明,5,4,3,][log222nnbban；（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当Nn时，对任意b0，都有.51na例11．定义在D上的函数)(xf，如果满足：对任意Dx，存在常数0M，都有|()|fxM成立，则称fx是D上的有界函数，其中M称为函数fx的上界．已知函数11124xxfxa，若函数fx在0,上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．例12．已知ABC的三个顶点332211,,,,,yxCyxByxA．定义三阶行列式231231133221332211111yxyxyxyxyxyxyxyxyxD（当CBA、、三点逆时针排列时，三阶行列式D的值为正）。（1）若ABC的三个顶点A（1，1），B（3，2），C（2，4）计算三阶行列式D的绝对值及与ABC的面积，你发现二者之间有什么关系？（2）若ABC的顶点A在直线xy上运动，顶点8,6B，顶点C在线段532xxy上运动，且BCA、、三点的横坐标成等差数列，请问ABC的面积是否存在最大值？若存在求出最大值，若不存在，说明理由．例13．对于具有相同定义域D的函数()fx和()gx，若存在函数()hxkxb（kb，为常数），对任给的正数m，存在相应的0xD，使得当xD且0xx时，总有0()()0()()fxhxmhxgxm则称直线:lykxb为曲线()yfx与()ygx的“分渐近线”．给出定义域均为D=1xx的四组函数如下：①2()fxx，()gxx；②()102xfx，()gx23xx；③()fx21xx，()gxln1lnxxx；④22()1xfxx，()2(1)xgxxe．其中，曲线()yfx与()ygx存在“分渐近线”的是A．①④B．②③C．②④D．③④点评：本题从大学数列极限定义的角度出发，仿造构造了分渐近线函数，目的是考查学生分析问题、解决问题的能力，考生需要抓住本质：存在分渐近线的充要条件是x时，0)()(xgxf进行做答，是一道好题，思维灵活．3以跨学科为背景本类型的题目，主要是介绍数学知识在其他学科或领域的运用，一般都会介绍运用时的知识背景、数学模型，因而题中文字、信息较多．学生必须准确地把握题意、理顺线索、分析相应数学模型与数学知识的内在联系，结合学生已有的知识和能力进行推理、运算．例14．品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现设4n，分别以1234,,,aaaa表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种酒在第二次排序时的序号，并令12341234Xaaaa，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述．(Ⅰ)写出X的可能值集合；(Ⅱ)假设1234,,,aaaa等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X的分布列；(Ⅲ)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有2X，(i)试按(Ⅱ)中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；(ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由．例15．对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:1()污物质量物体质量含污物)为0．8，要求洗完后的清洁度是0．99．有两种方案可供选择，方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a(1≤a≤3)．设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是0.81xx(1xa)，用y质量的水第二次清洗后的清洁度是yacya，其中(0.80.99)cc是该物体初次清洗后的清洁度．(Ⅰ)分别求出方案甲以及0.95c时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少;(Ⅱ)若采用方案乙，当a为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少?并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响．aayaax52,1152，故ac51011时总用水量最少，此时第一次与第二次用水量分别