2014年高考数学冲分练及答案(37)

2014年高考数学冲分练及答案(37)内容：不等式、函数与导数、三角函数与平面向量、数列、立体几何与空间向量(文科为立体几何)一、选择题1．设集合A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}且A∪B＝{1,4，x}，则满足条件的实数x的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个答案C解析由题意可知x2＝4或x2＝x，解得x＝±2或x＝0或x＝1，又x≠1，∴x＝0，±2，答案为C.2．若等比数列{an}的前n项和Sn＝a·3n－2，则a2等于()A．4B．12C．24D．36答案B解析当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2a·3n－1，又a1＝a·31－2＝3a－2，由等比数列定义，a2＝qa1，∴6a＝3·(3a－2)，∴a＝2.因此a2＝2a·32－1＝12.3．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()A．f(b)f(c)f(d)B．f(b)f(a)f(e)C．f(c)f(b)f(a)D．f(c)f(e)f(d)答案C解析由f′(x)的图象得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)0；当x∈(c，e)时，f′(x)0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)0.因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，在(c，e)上是减函数，在(e，＋∞)上是增函数，又abc，所以f(c)f(b)f(a)．故选C.4．(2012·辽宁)已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是()A．a∥bB．a⊥bC．|a|＝|b|D．a＋b＝a－b答案B解析将向量的模相等变为向量的平方相等求解．因为|a＋b|＝|a－b|，所以(a＋b)2＝(a－b)2，即a·b＝0，故a⊥b.5．已知α，β表示两个不同的平面，m是一条直线且m⊂α，则：“α⊥β”是“m⊥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析若m⊥β，因m是一条直线且m⊂α，由面面垂直的判定定理，知α⊥β，反之，若m是一条直线且m⊂α，当α⊥β时，m与平面β的位置关系可以为：相交或平行或m⊂β，故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件，选B.6．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的面积是()A．4B．23C．2D．3答案B解析由题意可设棱柱的底面边长为a，则其体积为34a2·a＝23，得a＝2.由俯视图易知，三棱柱的侧视图是以2为长，3为宽的矩形．∴其面积为23.故选B.7．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A—BCD，则在三棱锥A—BCD中，下列命题正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC答案D解析由题意知，在四边形ABCD中，CD⊥BD.在三棱锥A—BCD中，平面ABD⊥平面BCD，两平面的交线为BD，所以CD⊥平面ABD，因此有AB⊥CD.又因为AB⊥AD，AD∩DC＝D，所以AB⊥平面ADC，于是得到平面ADC⊥平面ABC.8．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为()A．1B．33C．3D．233答案B解析由三视图可知，此几何体为三棱锥，如图，其中正视图为△PAC，是边长为2的正三角形，PD⊥平面ABC，且PD＝3，底面△ABC为等腰直角三角形，AB＝BC＝2，所以体积为V＝13×3×12×2×2＝33，故选B.9．类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S(x)＝ax－a－x，C(x)＝ax＋a－x，其中a0，且a≠1，下面正确的运算公式是()①S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；②S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)；③2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；④2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)．A．①②B．③④C．①④D．②③答案B解析经验证易知①②错误．依题意，注意到2S(x＋y)＝2(ax＋y－a－x－y)，又S(x)C(y)＋C(x)S(y)＝2(ax＋y－a－x－y)，因此有2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；同理有2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)，综上所述，选B.10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若cosB＝14，sinCsinA＝2，且S△ABC＝154，则b的值为()A．4B．3C．2D．1答案C解析依题意得，c＝2a，b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋(2a)2－2×a×2a×14＝4a2，所以b＝c＝2a，sinB＝1－cos2B＝154，又S△ABC＝12acsinB＝12×b2×b×154＝154，所以b＝2，选C.11．变量x，y满足约束条件x＋2y≥22x＋y≤44x－y≥－1，则目标函数z＝3x－y的取值范围是()A．[－32，6]B．[－32，－1]C．[－1,6]D．[－6，32]答案A解析作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，作直线3x－y＝0，并向上、下平移，由图可得，当直线过点A时，z＝3x－y取最大值；当直线过点B时，z＝3x－y取最小值．由x＋2y－2＝02x＋y－4＝0，解得A(2,0)；由4x－y＋1＝02x＋y－4＝0，解得B(12，3)．∴zmax＝3×2－0＝6，zmin＝3×12－3＝－32.∴z＝3x－y的取值范围是[－32，6]．12．已知定义域为R的函数f(x)满足：f(4)＝－3，且对任意x∈R总有f′(x)3，则不等式f(x)3x－15的解集为()A．(－∞，4)B．(－∞，－4)C．(－∞，－4)∪(4，＋∞)D．(4，＋∞)答案D解析方法一(数形结合法)：由题意知，f(x)过定点(4，－3)，且斜率k＝f′(x)3.又y＝3x－15过点(4，－3)，k＝3，∴y＝f(x)和y＝3x－15在同一坐标系中的草图如图，∴f(x)3x－15的解集为(4，＋∞)，故选D.方法二记g(x)＝f(x)－3x＋15，则g′(x)＝f′(x)－30，可知g(x)在R上为减函数．又g(4)＝f(4)－3×4＋15＝0，∴f(x)3x－15可化为f(x)－3x＋150，即g(x)g(4)，结合其函数单调性，故得x4.二、填空题13．函数y＝x＋2cosx－3在区间[0，π2]上的最大值是________．答案π6解析y′＝1－2sinx0⇒sinx12，sinx12时y′0，∴sinx＝12时ymax＝π6＋2×32－3＝π6.14．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω0，|φ|π2)，y＝f(x)的部分图象如图所示，则f(π24)＝______.答案3解析由图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝π4，即周期为π2，∴ω＝2.由2×3π8＋φ＝kπ，k∈Z，|φ|π2，知φ＝π4.由f(0)＝1，知A＝1.因此f(x)＝tan(2x＋π4)，故f(π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tanπ3＝3.15．若一个正方体的表面积为S1，其外接球的表面积为S2，则S1S2＝________.答案2π解析设正方体棱长为a，则正方体表面积为S1＝6a2，其外接球半径为正方体体对角线长的12，即为32a，因此外接球的表面积为S2＝4πr2＝3πa2，则S1S2＝6a23πa2＝2π.16．如图所示，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．答案①②③解析∵PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，∴CB⊥AC，CB⊥PA，CB⊥平面PAC.又AF⊂平面PAC，∴CB⊥AF.又∵E，F分别是点A在PB，PC上的射影，∴AF⊥PC，AE⊥PB，∴AF⊥平面PCB.故①③正确．∴PB⊥平面AEF，故②正确．而AF⊥平面PCB，∴AE不可能垂直于平面PBC.故④错误．三、解答题17．如图，已知平行四边形ABCD中，BC＝6，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G，H分别是DF，BE的中点．(1)求证：GH∥平面CDE；(2)若CD＝2，DB＝42，求四棱锥F—ABCD的体积．(1)证明方法一∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC.又EF＝AD＝BC，∴四边形EFBC是平行四边形，∴H为FC的中点．又∵G是FD的中点，∴HG∥CD.∵HG⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，∴GH∥平面CDE.方法二连接EA，∵ADEF是正方形，∴G是AE的中点．∴在△EAB中，GH∥AB.又∵AB∥CD，∴GH∥CD.∵HG⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，∴GH∥平面CDE.(2)解∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD，且FA⊥AD，∴FA⊥平面ABCD.∵AD＝BC＝6，∴FA＝AD＝6.又∵CD＝2，DB＝42，CD2＋DB2＝BC2，∴BD⊥CD.∵S▱ABCD＝CD·BD＝82，∴VF—ABCD＝13S▱ABCD·FA＝13×82×6＝162.18．函数f(x)＝6cos2ωx2＋3sinωx－3(ω＞0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．(1)求ω的值及函数f(x)的值域；(2)若f(x0)＝835，且x0∈－103，23，求f(x0＋1)的值．解(1)由已知可得，f(x)＝3cosωx＋3sinωx＝23sinωx＋π3，又正三角形ABC的高为23，从而BC＝4，所以函数f(x)的周期T＝4×2＝8，即2πω＝8，ω＝π4.函数f(x)的值域为[－23，23]．(2)因为f(x0)＝835，由(1)有f(x0)＝23sinπx04＋π3＝835，即sinπx04＋π3＝45.由x0∈－103，23，知πx04＋π3∈－π2，π2，所以cosπx04＋π3＝1－452＝35.故f(x0＋1)＝23sinπx04＋π4＋π3＝23sinπx04＋π3＋π4＝23sinπx04＋π3cosπ4＋cosπx04＋π3sinπ4＝23×45×22＋35×22＝765.19．已知当x＝5时，二次函数f(x)＝ax2＋bx取得最小值，等差数列{an}的前n项和Sn＝f(n)，a2＝－7.(1)求数列{an}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Tn，且bn＝an2n，求Tn.解(1)由题意得：－b2a＝5，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an2＋bn－a(n－1)2－b(n－1)＝2an＋b－a＝2an－11a.∵a2＝－7，得a＝1.∴a1＝S1＝－9，∴an＝2n－11.(2)∵bn＝2n－112n，∴Tn＝－92＋－722＋…＋2n－112n，①12Tn＝－922＋…＋2n－132n＋2n－112n＋1，②①－②得12Tn＝－92＋222＋…＋22n－2n－112n＋1＝－92＋121－12n－11－12－2n－112n＋1＝－72－12n－1－2n－112n＋1.∴Tn＝－7－2n－72n.20．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA＝PD＝2，BC＝12AD＝1，CD＝3.(1)若点M是棱PC的中点，求证：PA∥平面BMQ；(2)若二面角M—BQ—C为30°，设PM＝tMC，试确定t的值．(1)证明连接AC，交BQ于N，连接MN.∵BC∥AD且BC＝12AD，即BC綊AQ.∴四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，又∵点M是棱PC的中点，∴