2014年高考数学复习专题代数变形常用技巧及其应用

1代数变形常用技巧及其应用代数恒等变形是数学解题的基石，变形能力的强弱直接制约着解题能力的高低。变形实质上是为了达到某种目的而采用的“手段”，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，需要在实践中反复操练才能把握、乃至灵活与综合应用。针对学生在平时学习中不善于积累变形经验，在稍复杂的问题面前常因变形方向不清，而导致常规的化归、转化工作难以实施，甚至以“失败”而告终；其直接后果是应试能力差、效益低。本文旨在展现代数运算和解题中常见的变形技巧，帮助学生找回失落而又重要的变形“通法”。1.整式变形：按“主元”合并同类项并依降幂或升幂排列。例1设函数cbxaxxf2)(，.,,Rcba若点),(yx在函数)(xfy的图象上，则点)1,(2yx在函数))(()(xffxg的图象上，试求)(xg的解析式。分析一般地，以x为主元，从)(xfy和))((12xffy中产生x的四次恒等式，比较系数便可求出,,,cba但此法过程繁冗。若转换思维，视y为主元，则有如下简解。解由)(xfy和))((12xffy可得cbyayy221，由题意知它是关于y的恒等式，故立知,1,0,1cba从而221)1())(()(2422xxxxffxg。评注：通法通则使人有章可循，数学中的“最简形式”、“一般形式”、“标准形式”等即便如此。但在实施通法通则的变形过程中，只有把握问题的本质，才能达到灵活变通之目的。2分式变形：通分化简乃通法，但诸多涉及分式的问题仅此而已是不够的，尚需按既定的目标逆向变通，这时将分式分解成“部分分式”、“分离常数”、“分子变位”等便成了特殊的“技巧”，灵活应用便使问题迎刃而解。例2已知)1(log)(2xxf。当点),(yx在)(xfy的图象上时，点)2,3(yx在)(xgy的图象上。试求函数)()()(xfxgxF的最大值。分析需先求)(xg的解析式，再对)(xF的解析式进行变形。解由图象的伸缩变换知，)(xg的解析式为：)13(log21)13(21)(2xxfxg。31,)1(13log21)(22xxxxF（变为根式显然是不好的）。至此，令013tx，则449449)1(1322ttttyxx。2∵,44tt当且仅当t=2时取等号，∴233log89log21)(22maxxF。评注：若令tx1，则真数可转化为关于t1的二次函数；当分式二次函数的分子或分母为一次式时，常用上述变形方法去求其变化域。此外，分离常数法可使分式化繁为简，如一次分式函数变成kxpk后，便使其性质展暴无遗；在数列中，当其通项为分式结构时，常联想到用裂项法求其前n项的和，进而通过极限求出无穷项的和。3根式变形：分母有理化当属变形的主流，但为达某种目的有时却要逆向地采取分子有理化。例3函数)0(1)(2aaxxxf。求a取值范围，使函数)(xf在区间),0[上是单调函数。分析此为2000年高考题，考生任取),,0[,21xx且21xx，作差：)(11)()(21222121xxaxxxfxf后便出现不同程度的思维受阻现象。若注意到将根式的分子有理化，则可继续推演。解)11)(()()(2221212121axxxxxxxfxf①∵1110222121xxxx，∴当1a时，据21xx知①式恒正，从而,0)()(21xfxf)()(21xfxf，故当1a时，函数)(xf在区间),0[上是单调递减函数。当10a时，①式的符号不确定，又1)12()0(2aaff，所以函数)(xf在区间),0[上不是单调函数。综上，当且仅当1a时，函数)(xf在区间),0[上是单调递减函数。评注：分子有理化在无理式的大小比较、不等式的证明、数列的求和与证明中都有用武之地。4指数变形：变同底，即减少底数的种类，是进行此类运算的重要途径。例4已知,0a试解关于x的不等式：0])1()1(2[log22421xxxxaaaa。分析将原不等式等价转化为0])1()1(2224xxxxaaaa，便易思维受阻。究其原因在于上式为双底数的3指数不等式。此时，化双底为单底便是代数变形之关键。不等式两边同除以)0()1(2xa，得01)1(2)1(222xxaaaa，此为关于xaa)1(2的一元二次不等式，问题便化生为熟了。解略。评注：化同底、变多底数为单底数，是研究与指数有关的方程、不等式、函数通性、极限等问题的重要技巧（实为解题的突破口）。5对数变形：换底。例5讨论函数)0)((log)(abbxxfax在定义域内的单调性，并证明你的结论。分析直接利用单调性的定义进行探索无异于盲人摸象，极易在毫无目标的变形中受阻。为此，利用对数换底公式进行变形，可供选择的底数有a、b和10，但a、b尚未完全具备对数底数的“资格”，故选择以10为底进行变形：axabaxbxxflglglglg1lglglglg)(。据0lglgab及复合函数的“同增异减”法则知，原函数在区间)1,0(a和区间),1(a上均为减函数。如此思考和变形，已发现了结论，故只需将上述直觉思维的过程逻辑化，便可产生本例的简解。解略。评注：有关对数式的数学问题，应注意换底及底数的合理选择。像本例融思维于变形过程之中的做法，值得提倡与效仿。6复数变形：除按三角或代数运算进行变形外，尚需注意复数的模与共轭的性质在变形中的灵活运用。例6已知21,zz是两个不相等的非零复数，设2121,zzzz。（1）若是纯虚数，求证：21zz；（2）若0)(221221zzzz，试判断与的大小关系。分析代数方法和三角方法均使解题过程繁冗，而灵活运用模与共轭的性质进行变形，则较为简捷。证（1）∵是纯虚数，∴，即，将2121,zzzz代入便可变形出21zz。（2）由条件0)(221221zzzz，得022212211zzzzzz，因为21,zz非零，所以01221zzzz。从而，221121212))((zzzzzzzz1221zzzz=2211zzzz；4同理可得，22112zzzz。故。评注：复数的诸多运算和变形技巧对解题的繁简有决定性作用，颇为典型的还有i的立方虚根的应用。值得指出的是，代数变形的方法与技巧远不止于此，但它们却是最核心的、最本质的，乃至最常用的变形“技巧”。平时在教与学的过程中，若能留意用过二次以上的变形技巧（就是方法），并能做好长期的积累消化工作，则对提高分析问题和解决问题的能力必将大有裨益，进而有助于诸多良好思维品质的形成。