2014年高考数学总复习教案第七章推理与证明第3课时数学归纳法

一折网作文录第七章推理与证明第3课时数学归纳法(对应学生用书(理)97～98页)考情分析考点新知理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.1.若f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n＋1(n∈N)，则n＝1时，f(n)＝________.答案：1＋12＋13解析：当n＝1时，f(1)＝1＋12＋13.2.(选修22P88练习题3改编)用数学归纳法证明不等式“2nn2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取为________．答案：5解析：当n≤4时，2n≤n2＋1；当n＝5时，25＝3252＋1＝26，所以n0应取为5.3.设f(n)＝1＋12＋13＋14＋…＋13n－1(n∈N*)，则f(k＋1)－f(k)＝________.答案：13k＋13k＋1＋13k＋2解析：f(k＋1)－f(k)＝1＋12＋13＋14＋…＋13（k＋1）－1－1＋12＋13＋14＋…＋13k－1＝13k＋13k＋1＋13k＋2.4.用数学归纳法证明“当n为正偶数时xn－yn能被x＋y整除”第一步应验证n＝________时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成____．答案：2当n＝2k(k∈N*)时结论成立，x2k－y2k能被x＋y整除解析：因为n为正偶数，故取第一个值n＝2，第二步假设n取第k个正偶数成立，即n＝2k，故假设当n＝2k(k∈N*)时结论成立，x2k－y2k能被x＋y整除．5.已知a1＝12，an＋1＝3anan＋3，则a2，a3，a4，a5的值分别为________________，由此猜想an＝________．答案：37、38、39、3103n＋5解析：a2＝3a1a1＋3＝3×1212＋3＝37＝32＋5，同理a3＝3a2a2＋3＝38＝33＋5，a4＝39＝34＋5，a5＝310＝35＋5，猜想an＝3n＋5.1.由一系列有限的特殊现象得出一般性的结论的推理方法，通常叫做归纳法．2.对某些与正整数有关的数学命题常采用下面的方法来证明它们的正确性：先证明当n一折网作文录取第1个值n0时，命题成立；然后假设当n＝k(k∈N，k≥n0)时命题成立；证明当n＝k＋1时，命题也成立，这种证明方法叫做数学归纳法．3.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为：(1)归纳奠基：证明凡取第一个自然数n0时命题成立；(2)归纳递推：假设n＝k(k∈N，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时，命题成立；(3)由(1)(2)得出结论．[备课札记]题型1证明等式例1用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n(n∈N)．证明：①当n＝1时，等式左边＝1－12＝12＝右边，等式成立．②假设当n＝k(k∈N)时，等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k，那么，当n＝k＋1时，有1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12k＋1－12k＋2＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋12k＋1－12k＋2＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋1＋12k＋2，上式表明当n＝k＋1时，等式也成立．由①②知，等式对任何n∈N均成立．变式训练当n≥1，n∈N*时，(1)求证：C1n＋2C2nx＋3C3nx2＋…＋(n－1)Cn－1nxn－2＋nCnnxn－1＝n(1＋x)n－1；(2)求和：12C1n＋22C2n＋32C3n＋…＋(n－1)2Cn－1n＋n2Cnn.(1)证明：设f(x)＝(1＋x)n＝C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cn－1nxn－1＋Cnnxn，①①式两边求导得n(1＋x)n－1＝C1n＋2C2nx＋3C3nx2＋…＋(n－1)Cn－1nxn－2＋nCnnxn－1.②①式等于②式，故等式成立．(2)解：②两边同乘x得nx(1＋x)n－1＝C1nx＋2C2nx2＋3C3nx3＋…＋(n－1)Cn－1nxn－1＋nCnnxn.③③式两边求导得n(1＋x)n－1＋n(n－1)x(1＋x)n－2＝C1n＋22C2nx＋32C3nx2＋…＋(n－1)2Cn－1nxn－2＋n2Cnnxn－1.④在④中令x＝1，则12C1n＋22C2n＋32C3n＋…＋(n－1)2Cn－1n＋n2Cnn＝n·2n－1＋n(n－1)2n－2＝2n－2(2n＋n2－n)＝2n－2·n(n＋1)．题型2证明不等式例2(选修2-2P91习题6改编)设n∈N*，f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n，试比较f(n)与n＋1的大小．解：当n＝1，2时f(n)n＋1；当n≥3时f(n)n＋1.下面用数学归纳法证明：一折网作文录①当n＝3时，显然成立；②假设当n＝k(k≥3，k∈N)时，即f(k)k＋1，那么，当n＝k＋1时，f(k＋1)k＋1＋1k＋1＝k＋2k＋1k＋2k＋2＝k＋2，即n＝k＋1时，不等式也成立．由①②知，对任何n≥3，n∈N不等式成立．备选变式（教师专享）用数学归纳法证明an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除(n∈N*)．证明：①当n＝1时，a2＋(a＋1)＝a2＋a＋1可被a2＋a＋1整除．②假设n＝k(k∈N*)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2(a＋1)2k－1＝a·ak＋1＋a·(a＋1)2k－1＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1，由假设可知a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]能被a2＋a＋1整除，(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1也能被a2＋a＋1整除，∴ak＋2＋(a＋1)2k＋1能被a2＋a＋1整除，即n＝k＋1时命题也成立，∴对任意n∈N*原命题成立．题型3证明整除例3用数学归纳法证明：f(n)＝(2n＋7)·3n＋9(n∈N*)能被36整除．证明：①当n＝1时，f(1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被36整除．②假设n＝k时，f(k)能被36整除，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，由归纳假设3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除，而3k－1－1是偶数，所以18(3k－1－1)能被36整除．所以n＝k＋1时，f(n)能被36整除．由①②知，对任何n∈N，f(n)能被36整除．备选变式（教师专享）已知数列{bn}是等差数列，b1＝1，b1＋b2＋…＋b10＝145.(1)求数列{bn}的通项公式bn；(2)设数列{an}的通项an＝loga1＋1bn(其中a＞0且a≠1)．记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与13logabn＋1的大小，并证明你的结论.解：(1)设数列{bn}的公差为d，由题意得b1＝1，10b1＋10（10－1）2d＝145Þb1＝1，d＝3，∴bn＝3n－2.(2)由bn＝3n－2，知Sn＝loga(1＋1)＋loga1＋14＋…＋loga1＋13n－2＝loga（1＋1）1＋14…1＋13n－2而13logabn＋1＝loga33n＋1，于是，比较Sn与13logabn＋1的大小比较(1＋1)1＋14…1＋13n－2与33n＋1的大小.取n＝1，有1＋1＝3834＝33×1＋1，取n＝2，有(1＋1)1＋143837＝33×2＋1.推测(1＋1)1＋14…1＋13n－2＞33n＋1，(*)①当n＝1时，已验证(*)式成立；一折网作文录②假设n＝k(k≥1)时(*)式成立，即(1＋1)1＋14…1＋13k－2＞33k＋1，则当n＝k＋1时，(1＋1)1＋14…1＋13k－21＋13（k＋1）－233k＋11＋13k＋1＝3k＋23k＋133k＋1.∵3k＋23k＋133k＋13－(33k＋4)3＝（3k＋2）3－（3k＋4）（3k＋1）2（3k＋1）2＝9k＋4（3k＋1）20，∴33k＋13k＋1(3k＋2)33k＋4＝33（k＋1）＋1，从而(1＋1)1＋14…1＋13k－21＋13k＋133（k＋1）＋1，即当n＝k＋1时，(*)式成立．由①②知(*)式对任意正整数n都成立．于是，当a＞1时，Sn＞13logabn＋1，当0＜a＜1时，Sn＜13logabn＋1.题型4归纳、猜想与证明例4已知数列{an}满足a1＝1，且4an＋1－anan＋1＋2an＝9(n∈N)．(1)求a2，a3，a4的值；(2)由(1)猜想{an}的通项公式，并给出证明．解：(1)由4an＋1－anan＋1＋2an＝9，得an＋1＝9－2an4－an＝2－1an－4，求得a2＝73，a3＝135，a4＝197.(2)猜想an＝6n－52n－1.证明：①当n＝1时，猜想成立．②设当n＝k时(k∈N*)时，猜想成立，即ak＝6k－52k－1，则当n＝k＋1时，有ak＋1＝2－1ak－4＝2－16k－52k－1－4＝6k＋12k＋1＝6（k＋1）－52（k＋1）－1，所以当n＝k＋1时猜想也成立．综合①②，猜想对任何n∈N*都成立．备选变式（教师专享）已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N)，g(n)＝2(n＋1－1)(n∈N)．(1)当n＝1，2，3时，分别比较f(n)与g(n)的大小(直接给出结论)；(2)由(1)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并证明你的结论．解：(1)当n＝1时，f(1)g(1)；当n＝2时，f(2)g(2)；当n＝3时，f(3)g(3)．(2)猜想：f(n)g(n)(n∈N*)，即1＋12＋13＋…＋1n2(n＋1－1)(n∈N*)．下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝2(2－1)，f(1)g(1)．②假设当n＝k时，猜想成立，即1＋12＋13＋…＋1k2(k＋1－1)．则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝1＋12＋13＋…＋1k＋1k＋12(k＋1－1)＋1k＋1＝一折网作文录2k＋1＋1k＋1－2，而g(k＋1)＝2(k＋2－1)＝2k＋2－2，下面转化为证明：2k＋1＋1k＋12k＋2.只要证：2(k＋1)＋1＝2k＋32（k＋2）（k＋1），需证：(2k＋3)24(k＋2)(k＋1)，即证：4k2＋12k＋94k2＋12k＋8，此式显然成立．所以，当n＝k＋1时猜想也成立．综上可知：对n∈N*，猜想都成立，即1＋12＋13＋…＋1n2(n＋1－1)(n∈N*)成立．1.用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n－1n，其中n1且n∈N*，在验证n＝2时，式子的左边等于________．答案：1＋12＋13或116解析：当n＝2时，式子的左边等于1＋12＋122－1＝1＋12＋13.2.用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步验证的表达式为________．答案：21＋1≥12＋1＋2(或22≥4或4≥4也算对)解析：当n＝1时，21＋1≥12＋1＋2.3.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是____．答案：假设n＝2k－1(k∈N*)时正确，再推n＝2k＋1(k∈N*)正确解析：因为n为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题先假设n＝2k－1(k∈N*)正确，再推第k＋1个正奇数，即n＝2k＋1(k∈N*)正确．4.(2013·广东理)设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，2Snn＝an＋1－13n2－n－23，n∈N*.(1)求a2的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1a1＋1a2＋…＋1an74.(1)解：∵2