2014年高考数学总复习教案第三章三角函数三角恒等变换及解三角形第6课时简单的三角恒等变换

一折网作文录第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第6课时简单的三角恒等变换(对应学生用书(文)、(理)51～52页)考情分析考点新知灵活掌握公式间的关系，能运用它们进行三角函数式的化简、求值及恒等式证明．能运用三角函数各种公式进行恒等变换以及解决综合性问题.1.(必修4P115复习题7(2)改编)函数y＝3cos4x＋sin4x的最小正周期为________．答案：π2解析：y＝3cos4x＋sin4x＝2(32cos4x＋12sin4x)＝2cosπ6cos4x＋sinπ6sin4x＝2cos4x－π6，故T＝2π4＝π2.2.在△ABC中，若cosA＝45，cosB＝513，则cosC＝________.答案：1665解析：在△ABC中，0＜A＜π，0＜B＜π，cosA＝45＞0，cosB＝513＞0，得0＜A＜π2，0＜B＜π2，从而sinA＝35，sinB＝1213，所以cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝sinA·sinB－cosA·cosB＝35×1213－45×513＝1665.3.(必修4P113练习3(2)改编)已知cosθ＝45，且270°＜θ＜360°，则sinθ2＝________，cosθ2＝________．答案：1010－31010解析：∵270°＜θ＜360°，∴135°＜θ2＜180°.∴sinθ2＝1－cosθ2＝1－452＝1010；cosθ2＝－1＋cosθ2＝－1＋452＝－31010.4.(必修4P115复习题5改编)已知sinα＝35，α是第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tan2一折网作文录β＝________．答案：－724解析：由sinα＝35且α是第二象限角，得tanα＝－34，∵(α＋β)－α＝β，∴tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝tan（α＋β）－tanα1＋tan（α＋β）tanα＝7.∴tan2β＝2tanβ1－tan2β＝－724.5.(必修4P115复习题1(1)改编)已知sin2α＝55，且α∈0，π4，则sin4α－cos4α＝________．答案：－255解析：sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝－cos2α＝－1－sin22α＝－255.三角函数的最值问题(1)用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式①y＝asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2.②y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x可先降次，整理转化为上一种形式．③y＝asinx＋bcsinx＋d或y＝acosx＋bccosx＋d可转化为只有分母含sinx或cosx的函数式或sinx＝f(y)(cosx＝f(y))的形式，由正、余弦函数的有界性求解．(2)用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式①y＝asin2x＋bcosx＋c可转化为cosx的二次函数式．②y＝asinx＋cbsinx(a、b、c0)，令sinx＝t，则转化为求y＝at＋cbt(－1≤t≤1)的最值，一般可用基本不等式或单调性求解．[备课札记]题型1三角形中的恒等变换例1已知△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2sin2C2＋cosC2＝2，一折网作文录求角C的大小．解：由2sin2C2＋cosC2＝2，得21－cos2C2＋cosC2＝2，整理得cosC22cosC2－1＝0.因为在△ABC中，0Cπ，所以0C2π2.所以cosC2＝22舍去cosC2＝0，从而C2＝π4，即C＝π2.备选变式（教师专享）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB＝3b.求角A的大小．解：由已知，得2sinAsinB＝3sinB，且B∈0，π2，∴sinB≠0，∴sinA＝32，且A∈0，π2，∴A＝π3.题型2角的构造技巧与公式的灵活运用例2求sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值．解：(解法1)因为40°＝30°＋10°，于是原式＝sin210°＋cos2(30°＋10°)＋sin10°cos(30°＋10°)＝sin210°＋32cos10°－12sin10°2＋sin10°·(32cos10°－12sin10°)＝34(sin210°＋cos210°)＝34.(解法2)设x＝sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°，y＝cos210°＋sin240°＋cos10°sin40°.则x＋y＝1＋1＋sin10°cos40°＋cos10°sin40°＝2＋sin50°＝2＋cos40°，x－y＝cos80°－cos20°－12＝－sin50°－12＝－cos40°－12.因此2x＝32，故x＝34.变式训练求sin220°＋cos280°＋3sin20°cos80°的值．解：sin220°＋cos280°＋3sin20°cos80°＝12(1－cos40°)＋12(1＋cos160°)＋3sin20°cos(60°＋20°)＝1－12cos40°＋12(cos120°cos40°－sin120°sin40°)＋3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)＝1－12cos40°－14cos40°－34sin40°＋34sin40°－32sin220°＝1－34cos40°－34(1－cos40°)＝14.一折网作文录题型3三角函数的综合问题例3函数f(x)＝sinπ4＋xsinπ4－x＋3sinxcosx(x∈R)．(1)求fπ6的值；(2)在△ABC中，若fA2＝1，求sinB＋sinC的最大值．解：(1)f(x)＝sinπ4＋xsinπ4－x＋3sinxcosx＝12cos2x＋32sin2x＝sin2x＋π6，所以fπ6＝1.(2)因为fA2＝1，所以sinA＋π6＝1.因为0＜A＜π，所以A＋π6＝π2，即A＝π3.sinB＋sinC＝sinB＋sin2π3－B＝32sinB＋32cosB＝3sinB＋π6.因为0＜B＜2π3，所以π6＜B＋π6＜5π6，所以12＜sinB＋π6≤1，所以sinB＋sinC的最大值为3.备选变式（教师专享）已知a＝(cosx＋sinx，sinx)，b＝(cosx－sinx，2cosx)，设f(x)＝a·b.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)当x∈0，π2时，求函数f(x)的最大值和最小值．解：(1)f(x)＝a·b＝(cosx＋sinx)·(cosx－sinx)＋sinx·2cosx＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx＝cos2x＋sin2x＝222cos2x＋22sin2x＝2sin2x＋π4.∴f(x)的最小正周期T＝π.(2)∵0≤x≤π2，∴π4≤2x＋π4≤5π4，∴当2x＋π4＝π2，即x＝π8时，f(x)有最大值2；当2x＋π4＝5π4，即x＝π2时，f(x)有最小值－1.一折网作文录1.(2013·苏州期末)已知θ为锐角，sin(θ＋15°)＝45，则cos(2θ－15°)＝________．答案：17250解析：因为θ为锐角，且sin(θ＋15°)＝45∈22，32，所以θ＋15°∈(45°，60°)，2θ＋30°∈(90°，120°)，所以cos(2θ＋30°)＝1－2sin2(θ＋15°)＝1－2×452＝－725，从而sin(2θ＋30°)＝1－cos2（2θ＋30°）＝2425，所以cos(2θ－15°)＝cos[(2θ＋30°)－45°]＝cos(2θ＋30°)cos45°＋sin(2θ＋30°)sin45°＝－725×22＋2425×22＝17250.2.函数f(x)＝cosx＋π2·cos(x＋π6)的最小正周期为________．答案：π解析：∵f(x)＝－sinx·(32cosx－12sinx)＝14－12sin2x＋π6，∴T＝π.3.计算：sin47°－sin17°cos30°cos17°＝________．答案：12解析：sin47°－sin17°cos30°cos17°＝sin（30°＋17°）－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.4.设α、β∈(0，π)，且sin(α＋β)＝513，tanα2＝12，则cosβ＝________．答案：－1665解析：∵tanα2＝12，∴tanα＝2tanα21－tan2α2＝2×121－122＝43，而α∈(0，π)，∴α∈π4，π2.由tanα＝sinαcosα＝43及sin2α＋cos2α＝1得sinα＝45，cosα＝35；又sin(α＋β)＝51322，∴α一折网作文录＋β∈(3π4，π)，cos(α＋β)＝－1213.∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－1213×35＋513×45＝－1665.1.已知函数f(x)＝sinx2cosx2＋cos2x2－12.(1)若f(α)＝24，α∈(0，π)，求α的值；(2)求函数f(x)在－π4，π上最大值和最小值．解：(1)f(x)＝12sinx＋1＋cosx2－12＝12(sinx＋cosx)＝22sinx＋π4.由题意知：f(α)＝22sinα＋π4＝24，即sinα＋π4＝12.∵α∈(0，π)，即α＋π4∈π4，5π4，∴α＋π4＝5π6，即α＝7π12.(2)∵－π4≤α≤π，即0≤α＋π4≤5π4，∴f(x)max＝fπ4＝22，f(x)min＝f(π)＝－12.2.已知ω＞0，a＝(2sinωx＋cosωx，2sinωx－cosωx)，b＝(sinωx，cosωx)．f(x)＝a·b.f(x)图象上相邻的两个对称轴的距离是π2.(1)求ω的值；(2)求函数f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值．解：f(x)＝a·b＝(2sinωx＋cosωx)sinωx＋(2sinωx－cosωx)cosωx＝2sin2ωx＋3sinωxcosωx－cos2ωx＝1－cos2ωx＋32sin2ωx－12(1＋cos2ωx)＝32(sin2ωx－cos2ωx)＋12＝322sin2ωx－π4＋12.(1)因为函数f(x)的图象上相邻的两个对称轴间的距离是π2，所以函数f(x)的最小正周期T＝π，则ω＝1.(2)ω＝1，f(x)＝322sin2x－π4＋12.∴x∈0，π2，∴2x－π4∈－π4，3π4，则当2x－π4＝－π4，即x＝0时，f(x)取得最小值－1；一折网作文录当2x－π4＝π2，即x＝3π8时，f(x)取得最大值32＋12.3.设函数f(x)＝(sinωx＋cosωx)2＋2cos2ωx(ω＞0)的最小正周期为2π3.(1)求ω的最小正周期；(2)若函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象向右平移π2个单位长度得到，求y＝g(x)的单调增区间．解：(1)f(x)＝(sinωx＋cosωx)2＋2cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＋sin2ωx＋1＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＋2＝2sin2ωx＋π4＋2，依题意得2π2ω＝2π3，故ω的最小正周期为32.(2)依题意得g(x)＝2sin3x－π2＋π4＋2＝2sin3x－5π4＋2，由2kπ－π2≤3x－5π4≤2kπ＋π2(k∈Z)，得23kπ＋π4≤x≤23kπ＋7π12(k∈Z)，故y＝g(x)的单调增区间为23kπ＋π4，23kπ＋7