2014年高考数学第一轮复习坐标系与简单曲线的极坐标方程

坐标系与简单曲线的极坐标方程1.极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是()A．两个圆B．两条直线C．一个圆和一条射线D．一条直线和一条射线解析：∵(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)，∴ρ＝1或θ＝π(ρ≥0)．ρ＝1表示圆心在原点，半径为1的圆，θ＝π(ρ≥0)表示x轴的负半轴，是一条射线，故选C.答案：C2．在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，－3)．若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是()A.1，－π3B.2，4π3C.2，－π3D.2，－4π3解析：∵ρ＝x2＋y2＝2，∠xOP＝π3，∴点P的极坐标可以是2，－π3.故选C.答案：C3．在直角坐标系xOy中，已知点C(－3，－3)，若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则点C的极坐标(ρ，θ)(ρ0，－πθ0)可写为________．解析：由题意知ρ＝23，θ＝－56π.答案：23，－56π4．设直线过极坐标系中的点M(2,0)，且垂直于极轴，则它的极坐标方程为________．解析：设所求直线的任一点的极坐标为(ρ，θ)，由题意可得ρcosθ＝2.答案：ρcosθ＝25．在极坐标系中，直线ρsinθ＋π4＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．解析：直线ρsinθ＋π4＝2可化为x＋y－22＝0，圆ρ＝4可化为x2＋y2＝16，由圆中的弦长公式得2r2－d2＝242－2222＝43.答案：436．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为x′＝12x，y′＝3y，则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sinx的方程变为________．解析：∵x′＝12x，y′＝3y，∴x＝2x′，y＝13y′.代入y＝sinx得y′＝3sin2x′.答案：y′＝3sin2x′7．在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为3，π3，4，π6，则△AOB(其中O为极点)的面积为________．解析：结合图形，△AOB的面积S＝12OA·OB·sinπ3－π6＝3.答案：38．在极坐标系中，直线θ＝π6截圆ρ＝2cosθ－π6(ρ∈R)所得的弦长是________．解析：把直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程分别为y＝33x和x－322＋y－122＝1.显然圆心32，12在直线y＝33x上．故所求的弦长等于圆的直径的大小，即为2.答案：29．直线2x＋3y－1＝0经过变换可以化为6x＋6y－1＝0，则坐标变换公式是________．解析：设直线2x＋3y－1＝0上任一点的坐标为(x，y)，经变换后对应点的坐标为(x′，y′)，设坐标变换公式为x′＝kxy′＝hy.∴x＝1kx′y＝1hy′，将其代入直线方程2x＋3y－1＝0，得2kx′＋3hy′－1＝0，将其与6x＋6y－1＝0比较得k＝13，h＝12.∴坐标变换公式为x′＝13xy′＝12y.答案：x′＝13xy′＝12y10．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ2π)中，曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1的交点的极坐标为________．解析：由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，其普通方程为x2＋y2＝2y，ρcosθ＝－1的普通方程为x＝－1，联立x2＋y2＝2yx＝－1，解得x＝－1y＝1，点(－1,1)的极坐标为2，3π4.答案：2，3π411．求极坐标方程ρ＝cosπ4－θ所表示的曲线．解析：所给方程可化为ρ＝22()cosθ＋sinθ，所以ρ2＝22(ρcosθ＋ρsinθ)．转化为直角坐标方程为x2＋y2＝22(x＋y)，即x－242＋y－242＝14，即以24，24为圆心，12为半径的圆．12．同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换x′＝12xy′＝13y后，曲线C：x2＋y2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．解析：圆x2＋y2＝36上任一点为P(x，y)，伸缩变换后对应的点的坐标为P′(x′，y′)，则：x＝2x′y＝3y′∴4x′2＋9y′2＝36，即x′29＋y′24＝1.∴曲线C在伸缩变换后得椭圆x′29＋y′24＝1，其焦点坐标为(±5，0)．13．已知两点A，B的极坐标分别为4，π2，4，π6.(1)求A，B两点间的距离；(2)求直线AB的极坐标方程．解析：(1)∠AOB＝π2－π6＝π3，△OAB为正三角形，故AB＝4.(2)设O在直线AB上的射影为H，则H的坐标为23，π3.直线AB的极坐标方程33ρcosθ＋ρsinθ－4＝0.14．在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C2，π3，半径R＝5，求圆C的极坐标方程．解析：将圆心C2，π3化成直角坐标为(1，3)，半径R＝5，故圆C的方程为(x－1)2＋(y－3)5＝5.再将C化成极坐标方程，得(ρcosθ－1)2＋(ρsinθ－3)2＝5.化简，得ρ2－4ρcosθ－π3－1＝0，此即为所求的圆C的极坐标方程．15．在极坐标系中，已知三点M2，53π，N(2,0)，P23，π6.(1)将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标．(2)判断M、N、P三点是否在一条直线上．解析：(1)由公式x＝ρcosθy＝ρsinθ，∴M的直角坐标为(1，－3)，N的直角坐标为(2,0)，P的直角坐标为(3，3)．(2)∵kMN＝32－1＝3，kNP＝3－03－2＝3，∴kMN＝kNP，∴M、N、P三点在同一条直线上．16．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsinθ－π4＝22.(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的极坐标．解析：(1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0，直线l：ρsinθ－π4＝22，即ρsinθ－ρcosθ＝1，则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.(2)由x2＋y2－x－y＝0x－y＋1＝0得x＝0y＝1，故直线l与圆O公共点的极坐标为1，π2.17．在极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R)，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为x＝2cosα，y＝1＋cos2α(α为参数)，求直线l与曲线C的交点P的直角坐标．解析：因为直线l的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R)，所以直线l的普通方程为y＝3x，①又因为曲线C的参数方程为x＝2cosα，y＝1＋cos2α(α为参数)，所以曲线C的直角坐标方程为y＝12x2(x∈[－2,2])，②联立①②解方程组得x＝0，y＝0或x＝23，y＝6.根据x的范围应舍去x＝23，y＝6，故P点的直角坐标为(0,0)．18．如图，在圆心的极坐标为A(4,0)，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点的轨迹的极坐标方程，并将其化为直角坐标方程．解析：设M(ρ，θ)是轨迹上任意一点，连结OM并延长交圆A于点P(ρ0，θ0)，则有θ0＝θ，ρ0＝2ρ.由圆心为(4,0)，半径为4的圆的极坐标方程为ρ＝8cosθ得ρ0＝8cosθ0，所以2ρ＝8cosθ，即ρ＝4cosθ，故所求轨迹方程是ρ＝4cosθ，它表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆．因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ，所以x2＋y2＝4x，即x2＋y2－4x＝0为圆的直角坐标方程．19．求证：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数．证明：建立如图所示的极坐标系，设抛物线的极坐标方程为ρ＝p1－cosθ.PQ是抛物线的弦，若点P的极角为θ，则点Q的极角为π＋θ.因此有FP＝p1－cosθ，FQ＝p1－cosπ＋θ＝p1＋cosθ.所以1FP＋1FQ＝1－cosθp＋1＋cosθp＝2p(常数)．20．如图，点A在直线x＝4上移动，△OPA为等腰直角三角形，△OPA的顶角为∠OPA(O，P，A依次按顺时针方向排列)，求点P的轨迹方程，并判断轨迹形状．解析：取O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x＝4的极坐标方程为ρcosθ＝4，设A(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，∵点A在直线ρcosθ＝4上，∴ρ0cosθ0＝4.①∵△OPA为等腰直角三角形，且∠OPA＝π2，而|OP|＝ρ，|OA|＝ρ0，以及∠POA＝π4，∴ρ0＝2ρ，且θ0＝θ－π4.②把②代入①，得点P的轨迹的极坐标方程为2ρcosθ－π4＝4.由2ρcosθ－π4＝4得ρ(cosθ＋sinθ)＝4，∴点P的轨迹的普通方程为x＋y＝4，是过点(4,0)且倾斜角为3π4的直线．