线性代数(第五版)课件

线性代数（第五版）线性代数(LinearAlgebra)东北师范大学计算机学院一、什么是线性代数？发线性代数主要研究有限维线性空间中的线性关系和线性映射,它秉承了一般代数学的实用性、抽象性和高度思辨性的特点,不但为其他课程和应用领域提供了处理多元问题的有力工具,而且为提高学生素质、适应信息时代提供了必要的思维训练.二、线性代数的课程特点高度的抽象性和严密逻辑性,并缺乏直观的思维模型.开设时间为大一、大二年级.线性代数课时短,内容多.理论多,例题少.三、学习线性代数的方法线性代数的灵魂是向量的线性关系、线性变换和欧氏空间的线性结构,各种算法要靠这个灵魂来支撑,即所谓“空间为体,矩阵为用”。矩阵的运算是学习线性代数的一把钥匙.四、教材及主要参考书目1.教材线性代数，同济大学数学系编，高等教育出版社2.主要参考书目•LinearAlgebraandItsApplications，3ed,DavidC.Lay，电子工业出版社•线性代数实践及Matlab入门，陈怀琛，龚杰民，电子工业出版社•高等代数(第二版)，丘维声，高等教育出版社.五、线性代数有什么用？1、如果你想顺利地拿到学位，线性代数的学分对你有帮助；2、如果你想继续深造，考研，必须学好线代。因为它是必考的数学科目，也是研究生科目《矩阵论》、《泛函分析》的基础。3、如果你想提高自己的科研能力，不被现代科技发展潮流所抛弃，也必须学好，因为瑞典的L.戈丁说过，没有掌握线代的人简直就是文盲。4、如果毕业后想找个好工作，也必须学好线代：•想搞数学，当个数学家,恭喜你，你的职业未来将是最光明的.如果到美国打工的话你可以找到最好的职业.•想搞电子工程，好，电路分析、线性信号系统分析、数字滤波器分析设计等需要线代，进行IC集成电路设计时，对付数百万个集体管的仿真软件就需要依赖线性方程组的方法;想搞光电及射频工程，好，电磁场、光波导分析都是向量场的分析，比如光调制器分析研制需要张量矩阵，手机信号处理等等也离不开矩阵运算。•想搞软件工程，好，3D游戏的数学基础就是以图形的矩阵运算为基础；当然，如果你只想玩3D游戏可以不必掌握线代；想搞图像处理，大量的图像数据处理更离不开矩阵这个强大的工具，《阿凡达》中大量的后期电脑制作没有线代的数学工具简直难以想象。•想搞经济研究。好，知道列昂惕夫（WassilyLeontief）吗？哈佛大学教授，1949年用计算机计算出了由美国统计局的25万条经济数据所组成的42个未知数的42个方程的方程组，他打开了研究经济数学模型的新时代的大门。这些模型通常都是线性的，也就是说，它们是用线性方程组来描述的，被称为列昂惕夫“投入-产出”模型。列昂惕夫因此获得了1973年的诺贝尔经济学奖。•相当领导，好，要会运筹学，运筹学的一个重要议题是线性规划。许多重要的管理决策是在线性规划模型的基础上做出的。线性规划的知识就是线代的知识啊。比如，航空运输业就使用线性规划来调度航班，监视飞行及机场的维护运作等；又如，你作为一个大商场的老板，线性规划可以帮助你合理的安排各种商品的进货，以达到最大利润。•对于其他工程领域，没有用不上线代的地方。如搞建筑工程，那么奥运场馆鸟巢的受力分析需要线代的工具；石油勘探，勘探设备获得的大量数据所满足的几千个方程组需要你的线代知识来解决.知道马尔科夫链吗？这个“链子”神通广大，在许多学科如生物学、商业、化学、工程学及物理学等领域中被用来做数学模型.•矩阵的特征值和特征向量可以用在研究物理、化学领域的微分方程、连续的或离散的动力系统中，甚至数学生态学家用以在预测原始森林遭到何种程度的砍伐会造成猫头鹰的种群灭亡；大名鼎鼎的最小二乘算法广泛应用在各个工程领域里被用来把实验中得到的大量测量数据来拟合到一个理想的直线或曲线上，最小二乘拟合算法实质就是超定线性方程组的求解；二次型常常出现在线性代数在工程（标准设计及优化）和信号处理（输出的噪声功率）的应用中，他们也常常出现在物理学（例如势能和动能）、微分几何（例如曲面的法曲率）、经济学（例如效用函数）和统计学（例如置信椭圆体）中，某些这类应用实例的数学背景很容易转化为对对称矩阵的研究。第一章行列式第二章矩阵及其运算第三章矩阵的初等变换与线性方程组第四章向量组的线性相关性第五章相似矩阵及二次型第六章*线性空间与线性变换线性代数求解模型帮助在以往的学习中，我们接触过二元、三元等简单的线性方程组.但是，从许多实践或理论问题里导出的线性方程组常常含有相当多的未知量，并且未知量的个数与方程的个数也不一定相等.我们先讨论未知量的个数与方程的个数相等的特殊情形.在讨论这一类线性方程组时，我们引入行列式这个计算工具.第一章行列式内容提要§1二阶与三阶行列式§2全排列及其逆序数§3n阶行列式的定义§4对换§5行列式的性质§6行列式按行（列）展开§7克拉默法则行列式的概念.行列式的性质及计算.——线性方程组的求解.（选学内容）•行列式是线性代数的一种工具！•学习行列式主要就是要能计算行列式的值.§1二阶与三阶行列式我们从最简单的二元线性方程组出发，探求其求解公式，并设法化简此公式.一、二元线性方程组与二阶行列式二元线性方程组11112212112222axaxbaxaxb由消元法，得211211221122211)(abbaxaaaa212221121122211)(baabxaaaa当时，该方程组有唯一解021122211aaaa211222112122211aaaabaabx211222112112112aaaaabbax求解公式为11112212112222axaxbaxaxb122122111221221112121211221221baabxaaaaabbaxaaaa二元线性方程组请观察，此公式有何特点？分母相同，由方程组的四个系数确定.分子、分母都是四个数分成两对相乘再相减而得.其求解公式为11112212112222axaxbaxaxb122122111221221112121211221221baabxaaaaabbaxaaaa二元线性方程组我们引进新的符号来表示“四个数分成两对相乘再相减”.1112112212212122aaDaaaaaa11122122aaaa记号11122122aaaa数表表达式称为由该数表所确定的二阶行列式，即11221221aaaa其中，称为元素.(1,2;1,2)ijaiji为行标，表明元素位于第i行；j为列标，表明元素位于第j列.原则：横行竖列二阶行列式的计算11122122aaaa11221221aaaa主对角线副对角线即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积——对角线法则二元线性方程组11112212112222axaxbaxaxb若令11122122aaDaa1211222bbaDa1221121baDab(方程组的系数行列式)则上述二元线性方程组的解可表示为1122122111221221DDbaabxaaaa1121212211221221abbaDxaaaaD例1求解二元线性方程组1212232121xxxx解因为1223D07)4(314)2(12112121D21243121232D所以11142,7DxD222137DxD二、三阶行列式定义设有9个数排成3行3列的数表原则：横行竖列引进记号称为三阶行列式.111213212223313233aaaaaaaaa112233122331132132132231122133112332aaaaaaaaaaaaaaaaaa111213212223313233aaaaaaaaa主对角线副对角线二阶行列式的对角线法则并不适用！三阶行列式的计算——对角线法则111213212223313233aaaDaaaaaa132132aaa112233aaa122331aaa132231aaa122133aaa112332aaa注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.实线上的三个元素的乘积冠正号，虚线上的三个元素的乘积冠负号.12-4-221-34-2D例2计算行列式解按对角线法则，有D4)2()4()3(12)2(21)3(2)4()2()2(241124843264.14方程左端解由得2111230.49xx例3求解方程1229184322xxxxD,652xx2560xx3.2xx或§2全排列及其逆序数问题把n个不同的元素排成一列，共有多少种不同的排法？定义把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列.n个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn表示.(1)(2)321!nPnnnn显然即n个不同的元素一共有n!种不同的排法.所有6种不同的排法中，只有一种排法（123）中的数字是按从小到大的自然顺序排列的，而其他排列中都有大的数排在小的数之前.因此大部分的排列都不是“顺序”，而是“逆序”.3个不同的元素一共有3!=6种不同的排法123，132，213，231，312，321对于n个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序.n个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.定义当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就称这两个元素组成一个逆序.例如在排列32514中，32514逆序逆序逆序思考题：还能找到其它逆序吗？答：2和1，3和1也构成逆序.定义排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.排列的逆序数通常记为.12niii12()ntiii奇排列：逆序数为奇数的排列.偶排列：逆序数为偶数的排列.思考题：符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？答：符合标准次序的排列（例如：123）的逆序数等于零，因而是偶排列.计算排列的逆序数的方法则此排列的逆序数为12ntttt设是1,2,…,n这n个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序.先看有多少个比大的数排在前面，记为；再看有多少个比大的数排在前面，记为;……最后看有多少个比大的数排在前面，记为;12nppp1p1p1t2p2p2tnpnpnt例1：求排列32514的逆序数.解：(32514)010315t练习：求排列453162的逆序数.9t解：§3n阶行列式的定义一、概念的引入111213212223313233aaaDaaaaaa112233122331132132132231122133112332aaaaaaaaaaaaaaaaaa规律：1.三阶行列式共有6项，即3!项．2.每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．3.每一项可以写成（正负号除外），其中是1、2、3的某个排列.4.当是偶排列时，对应的项取正号；当是奇排列时，对应的项取负号.123123pppaaa123ppp123ppp123ppp所以，三阶行列式可以写成123123123()123(1)tpppppppppaaa其中表示对1、2、3的所有排列求和.123ppp二阶行列式有类似规律.下面将行列式推广到一般的情形.111213212223313233aaaDaaaaaa112233122331132132132231122133112332aaaaaaaaaaaaaaaaaa二、n阶行列式的定义1.n阶行列式共有n!项．2.每一项都是位于不同行不同列的n个元素的乘积．3.每一项可以写成（正负号除外），其中是1,2,…,n的某个排列.4.当是偶排列时，对应的项取正号；当是奇排列时，对应的项取负号.1212nppnpaaa12nppp12nppp12nppp1212121112121222()1212(1)nnnnntpppppnppppnnnnaaaaaaDaaaaaa