2014广东高考理科数学立体几何试题1

36．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB＝CB＝2，A1C＝6，求三棱柱ABC­A1B1C1的体积．38．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝22AB.(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)求二面角D­A1C­E的正弦值．39．(2013·高考陕西卷)如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝2.(1)证明：A1C⊥平面BB1D1D；(2)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．40．(2013·高考湖南卷)如图，在直棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.(1)证明：AC⊥B1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．41．(2013·高考大纲全国卷)如图，四棱锥P­ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是边长为2的等边三角形．(1)证明：PB⊥CD；(2)求点A到平面PCD的距离．42．(2013·高考山东卷)如图，四棱锥P­ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：CE∥平面PAD；(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.43．(2013·高考江西卷)如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA＝EB＝AB＝1，PA＝32，连接CE并延长交AD于F.(1)求证：AD⊥平面CFG；(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．44．(2013·高考江苏卷)如图，在三棱锥S­ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.45．(2013·高考江苏卷)如图，在直三棱柱A1B1C1­ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．46．(2013·高考湖北卷)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．(1)记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；(2)设(1)中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足DQ→＝12CP→.记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E­l­C的大小为β，求证：sinθ＝sinαsinβ.47．(2013·高考浙江卷)如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝BC＝2,AD＝CD＝7，PA＝3，∠ABC＝120°，G为线段PC上的点．(1)证明：BD⊥平面APC；(2)若G为PC的中点，求DG与平面APC所成的角的正切值；(3)若G满足PC⊥平面BGD，求PGGC的值．48．(2013·高考北京卷)如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.49．(2013·高考天津卷)如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点.(1)证明EF∥平面A1CD;(2)证明平面A1CD⊥平面A1ABB1;(3)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.50．(2013·高考四川卷)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点．(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；(2)设(1)中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A­A1M­N的余弦值．51．(2013·高考福建卷)如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC＝5，DC＝3，AD＝4，∠PAD＝60°.(1)当正视方向与向量AD→的方向相同时，画出四棱锥P­ABCD的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；(2)若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC；(3)求三棱锥D­PBC的体积.52．(2013·高考辽宁卷)如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在平面，C是圆O上的点．(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.证明：53．(2013·高考陕西卷)如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝2.(1)证明：底面A1BD//平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD­A1B1D1的体积.54．(2013·高考湖南卷)如图，在直棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．(1)证明：AD⊥C1E；(2)当异面直线AC，C1E所成的角为60°时，求三棱锥C1­A1B1E的体积．55．(2013·高考重庆卷)如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC＝CD＝2，AC＝4，∠ACB＝∠ACD＝π3，F为PC的中点，AF⊥PB.(1)求PA的长；(2)求二面角B­AF­D的正弦值．56．(2013·高考广东卷)如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，CD＝BE＝2，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图②所示的四棱椎A′­BCDE，其中A′O＝3.(1)证明：A′O⊥平面BCDE；(2)求二面角A′­CD­B的平面角的余弦值．.57．(2013·高考江西卷)如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.(1)证明：BE⊥平面BB1C1C；(2)求点B1到平面EA1C1的距离．58．(2013·高考湖北卷)如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2＝d1，同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为B1B2＝d2，C1C2＝d3，且d1d2d3，过AB，AC的中点M，N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1­A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S中．(1)证明：中截面DEFG是梯形；(2)在△ABC中，记BC＝a，BC边上的高为h，面积为S.在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量(即多面体A1B1C1­A2B2C2的体积V)时，可用近似公式V估＝S中·h来估算.已知V＝13(d1＋d2＋d3)S，试判断V估与V的大小关系，并加以证明．59．(2013·高考四川卷)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1＝2，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，点P是线段AD上异于端点的点．(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，请说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；(2)设(1)中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1­QC1D的体积．(锥体体积公式：V＝13Sh，其中S为底面面积，h为高)60．(2013·高考重庆卷)如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝23，BC＝CD＝2，∠ACB＝∠ACD＝π3.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若侧棱PC上的点F满足PF＝7FC，求三棱锥P­BDF的体积．61．(2013·高考广东卷)如图(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起，得到如图(2)所示的三棱锥A­BCF，其中BC＝22.(1)证明：DE∥平面BCF；(2)证明：CF⊥平面ABF；(3)当AD＝23时，求三棱锥F­DEG的体积VF­DEG.62.(2013·高考安徽卷)如图，四棱锥P­ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，已知PB＝PD＝2，PA＝6.(1)证明：PC⊥BD；(2)若E为PA的中点，求三菱锥P­BCE的体积．