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首页末页数学第7节一元二次方程及应用考点梳理课前预习课堂精讲广东中考首页末页数学课前预习C1.（2015•兰州）一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（）A．（x+4）2=17B．（x+4）2=15C．（x﹣4）2=17D．（x﹣4）2=15考点：解一元二次方程-配方法．专题：计算题．分析：方程利用配方法求出解即可．解答：解：方程变形得：x2﹣8x=1，配方得：x2﹣8x+16=17，即（x﹣4）2=17，故选C点评：此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．首页末页数学课前预习2.（2015•泉州）方程x2=2的解是．考点：解一元二次方程-直接开平方法．分析：利用直接开平方法求解即可．解答：解：x2=2，x=±．故答案为±．点评：本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，注意：（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．首页末页数学课前预习m＜﹣43.（2015•上海）如果关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是．考点：根的判别式．分析：根据关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，得出△=16﹣4（﹣m）＜0，从而求出m的取值范围．解答：解：∵一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，∴△=16﹣4（﹣m）＜0，∴m＜﹣4，故答案为m＜﹣4．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．首页末页数学课前预习14.（2015•六盘水）已知x1=3是关于x的一元二次方程x2﹣4x+c=0的一个根，则方程的另一个根x2是．考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系，由两根之和可以求出方程的另一个根．解答：解：设方程的另一个根是x2，则：3+x2=4，解得x=1，故另一个根是1．故答案为1．点评：本题考查的是一元二次方程的解，根据根与系数的关系，由两根之和可以求出方程的另一个根．首页末页数学课前预习5.（2015•宿迁）解方程：x2+2x=3；解：（1）由原方程，得x2+2x﹣3=0，整理，得（x+3）（x﹣1）=0，则x+3=0或x﹣1=0，解得x1=﹣3，x2=1；首页末页数学课前预习6.（2015•梧州）向阳村2010年的人均收入为12000元，2012年的人均收入为14520元，求人均收入的年平均增长率．考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：设这两年的平均增长率为x，2010年的人均收入×（1+平均增长率）2=2012年人均收入，把相关数值代入求得年平均增长率．解答：解：设这两年的平均增长率为x，由题意得：12000（1+x）2=14520，解得：x1=﹣2.1（不合题意舍去），x2=0.1=10%．答：这两年的平均增长率为10%．点评：本题考查了一元二次方程的运用，应明确增长的基数，增长的次数，根据公式增长后的人均收入=增长前的人均收入×（1+增长率）．首页末页数学1.(1)概念：只含有一个未知数，未知数的最高次数是二次，且系数不为0的整式方程，叫做一元二次方程.(2)一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项，a，b分别是二次项、一次项的系数，注意a≠0.2.(1)基本思路：解一元二次方程的基本思路是降次.(2)方法：①直接开平方法：(x+m)2=n(n≥0)的根是；②配方法：将ax2+bx+c=0(a≠0)化成形式，当时，用直接开平方法求解.③公式法：ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为.b2-4ac≥0考点梳理首页末页数学④因式分解法：将方程右边化为0，左边化为两个一次因式的积，令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程就得到原方程的解.3.ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是b2-4ac.(1)当b2-4ac＞0时，方程有的实数根；(2)当b2-4ac=0时，方程有的实数根；(3)当b2-4ac＜0时，方程.4.一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)，方程的两根为，则x1+x2=,x1·x2=.两个不相等两个相等无实数根考点梳理首页末页数学5.根与系数的关系(韦达定理)(1)已知一根求另一根及未知系数；(2)求与方程的根有关的代数式的值；(3)已知两根求作方程；(4)已知两数的和与积，求这两个数；(5)确定根的符号.应用根与系数的关系时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负；求作一元二次方程时，一般把求作方程的二次项系数设为1，即以x1、x2为根的一元二次方程为x2-(x1+x2)x+x1x2=0；求字母系数的值时，需使二次项系数a≠0，同时满足Δ≥0；求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和x1+x2、两根之积x1x2的代数式的形式，整体代入.6.解应用题的关键是把握题意，找准等量关系，列出方程，最后还要注意求出的未知数的值，是否符合实际意义.考点梳理首页末页数学考点1一元二次方程及其解法课堂精讲A1.（2015•钦州）用配方法解方程x2+10x+9=0，配方后可得（）A．（x+5）2=16B．（x+5）2=1C．（x+10）2=91D．（x+10）2=109考点：解一元二次方程-配方法．专题：计算题．分析：方程移项，利用完全平方公式化简得到结果即可．解答：解：方程x2+10x+9=0，整理得：x2+10x=﹣9，配方得：x2+10x+25=16，即（x+5）2=16，故选：A．点评：此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．首页末页数学课堂精讲﹣32.（2015•丹东）若x=1是一元二次方程x2+2x+a=0的一个根，那么a=．考点：一元二次方程的解．分析：根据方程的根的定义将x=1代入方程得到关于a的方程，然后解得a的值即可．解答：解：将x=1代入得：1+2+a=0，解得：a=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题主要考查的是方程的解（根）的定义和一元一次方程的解法，将方程的解代入方程是解题的关键．首页末页数学课堂精讲x1=0，x2=23.（2015•聊城）一元二次方程x2﹣2x=0的解是．考点：解一元二次方程-因式分解法．分析：本题应对方程左边进行变形，提取公因式x，可得x（x﹣2）=0，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”，即可求得方程的解．解答：解：原方程变形为：x（x﹣2）=0，x1=0，x2=2．故答案为：x1=0，x2=2．点评：本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．首页末页数学课堂精讲4.（2015•大连）解方程：x2﹣6x﹣4=0．考点：解一元二次方程-配方法．分析：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．解答：解：移项得x2﹣6x=4，配方得x2﹣6x+9=4+9，即（x﹣3）2=13，开方得x﹣3=±，∴x1=3+，x2=3﹣．点评：本题考查了用配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．首页末页数学考点2一元二次方程的判别式课堂精讲m≤15.（2015•娄底）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，则m的取值范围是．考点：根的判别式．专题：探究型．分析：先根据一元二次方程x2+2x+m=0得出a、b、c的值，再根据方程有实数根列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．解答：解：由一元二次方程x2+2x+m=0可知a=1，b=2，c=m，∵方程有实数根，∴△=22﹣4m≥0，解得m≤1．故答案为：m≤1．点评：本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据题意列出关于m的不等式是解答此题的关键．首页末页数学课堂精讲6.（2015•福州）已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+4=0有两个相等的实数根，求m的值．考点：根的判别式．分析：先根据一元二次方程有两个相等的实数根得出△=0即可得到关于m的方程，解方程求出m的值即可．解答：解：∵x2+（2m﹣1）x+4=0有两个相等的实数根，∴△=（2m﹣1）2﹣4×4=0，解得m=﹣或m=．点评：本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据题意得出关于m的方程是解答此题的关键．首页末页数学考点3一元二次方程根与系数的关系课堂精讲27.（2015•内江）已知关于x的方程x2﹣6x+k=0的两根分别是x1，x2，且满足+=3，则k的值是．考点：根与系数的关系．分析：找出一元二次方程的系数a，b及c的值，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后利用完全平方公式变形后，将求出的两根之和与两根之积代入，即可求出所求式子的值．解答：解：∵3x2+2x﹣11=0的两个解分别为x1、x2，∴x1+x2=6，x1x2=k，解得：k=2，故答案为：2．点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系，对所求的代数式进行正确的变形是解决本题的关键．首页末页数学课堂精讲8.（2015•鄂州）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|=x1•x2，求k的值．考点：根的判别式；根与系数的关系．分析：（1）根据方程有两个不相等的实数根可得△=（2k+1）2﹣4（k2+1）=4k2+4k+1﹣4k2﹣4=4k﹣3＞0，求出k的取值范围；（2）首先判断出两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到2k+1=k2+1，结合k的取值范围解方程即可．首页末页数学课堂精讲解答：解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴△=（2k+1）2﹣4（k2+1）=4k2+4k+1﹣4k2﹣4=4k﹣3＞0，解得：k＞；（2）∵k＞，∴x1+x2=﹣（2k+1）＜0，又∵x1•x2=k2+1＞0，∴x1＜0，x2＜0，∴|x1|+|x2|=﹣x1﹣x2=﹣（x1+x2）=2k+1，∵|x1|+|x2|=x1•x2，∴2k+1=k2+1，∴k1=0，k2=2，又∵k＞，∴k=2．点评：本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是利用根的判别式△=b2﹣4ac＞0求出k的取值范围，此题难度不大．首页末页数学考点4一元二次方程的应用课堂精讲209.（2015•毕节市）一个容器盛满纯药液40L，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L，则每次倒出的液体是L．考点：一元二次方程的应用．分析：设每次倒出液体xL，第一次倒出后还有纯药液（40﹣x），药液的浓度为，再倒出xL后，倒出纯药液•x，利用40﹣x﹣•x就是剩下的纯药液10L，进而可得方程．首页末页数学课堂精讲解答：解：设每次倒出液体xL，由题意得：40﹣x﹣•x=10，解得：x=60（舍去）或x=20．答：每次倒出20升．故答案为：20．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．首页末页数学课堂精讲10.（2015•广州）某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元．（1）求2013年至2015年该地区投入教育经费的