2014级《概率论与数理统计》第二与三章练习答案

1《概率论与数理统计》第二、三章练习学院班级、学号姓名成绩一、单项选择题（每小题2分，共20分）1.设)(1xF与)(2xF分别为随机变量1X与2X的分布函数，为使)()()(21xbFxaFxF是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取()(A)52,53ba(B)32,32ba(C)23,21ba(D)23,21ba2.设随机变量X的分布函数11102100)(xexxxFx，则}1{XP()(A)0(B)21(C)121e(D)11e3.设)(x为标准正态分布的概率密度函数，)(xf为]3,1[上均匀分布的概率密度函数，若0)(0)()(xxbfxxaxg（0,0ba）为概率密度函数，则ba,应满足()(A)432ba(B)423ba(C)1ba(D)2ba4.设随机变量X服从正态分布),(2N，则随的增大，概率}|{|XP()(A)单调增大(B)单调减少(C)保持不变(D)增减不定5.假设随机变量X服从指数分布，则随机变量}2,min{XY的分布函数()(A)是连续函数(B)至少有两个间断点(C)是阶梯函数(D)恰好有一个间断点6.设两个随机变量X与Y相互独立且同分布：21}1{}1{YPXP，}1{XP21}1{YP，则下列各式中成立的是()(A)21}{YXP(B)1}{YXP(C)41}0{YXP(D)41}1{XYP7.设随机变量412141101~iX（2,1i），且满足1}0{21XXP，则}{21XXP()(A)0(B)41(C)21(D)18.设随机变量),(YX服从二维正态分布且X与Y相互独立，)(xfX，)(yfY分别表示X、Y的概率密度，则在yY的条件下，X的条件概率密度)|(|yxfYX为()(A))()(yfxfYX(B))()(yfxfYX(C))(yfY(D))(xfX9.设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布)1,0(N，Y的概率分布为}0{YP21}1{YP，记)(zFZ为随机变量XYZ的分布函数，则函数)(zFZ的间断点个数为()(A)0(B)1(C)2(D)310.设随机变量X服从正态分布),(211N，随机变量Y服从正态分布),(222N，且}1|{|}1|{|21YPXP，则必有()(A)21(B)21(C)21(D)212二、填空题（每小题2分，共10分）1.设随机变量X的概率密度为其他063921031)(xxxf，若k使得32}{kXP，则k的取值范围是2.设随机变量X服从二项分布),2(pB，随机变量Y服从二项分布),3(pB，若95}1{XP，则}1{YP3.设二维随机变量),(YX的概率分布为若随机事件}0{X与}1{YX相互独立，则a，b4.在天平上重复称量一重为a的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布)2.0,(2aN。若以nX表示n次称量结果的算术平均值，则为使95.0}1.0|{|aXPn，n的最小值应不小于自然数5.设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间]3,0[上的均匀分布，则}1},{max{YXP三、解答题（每题7分，共49分）1.从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是52。设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的概率分布和分布函数。2.假设随机变量X的绝对值不大于1，81}1{XP，41}1{XP，在事件}11{X出现的条件下，X在)1,1(内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比。试求X的分布函数)(xF。3.设随机变量X的概率密度为其他08131)(32xxxf，)(xF是X的分布函数，求)(xF及随机变量)(XFY的分布函数。4.假设二维随机变量),(YX在矩形}10,20|),{(yxyxG上服从均匀分布，记YXYXU若，若，10，YXYXV2120若，若，求：U和V的联合概率分布。【解】U和V的联合概率分布为：XY0100.4a1b0.1UV0104101412135.设二维随机变量),(YX的概率密度为其他00),(xyeyxfx，求：（1）条件概率密度)|(|xyfXY；（2）条件概率}1|1{YXP。6.已知随机变量X和Y的联合概率密度为其他010,104),(yxxyyxf，求X和Y的联合分布函数为),(yxF。7.设二维离散型随机变量),(YX的概率分布如右图，试求：（1）分别关于、XY的边缘概率分布,并判断X与Y的独立性；（2）在1X的条件下Y的条件分布律；（3）随机变量22YXZ的概率分布。【解】（1）X－301Y－2－10ip612131jp414121因为}2{}1{}2,1{YPXPYXP，所以X与Y不独立。（2）jyY－2－10}1|{XyYPj04143（3）22YXZ－6－5－2012346p12101211221221231211220四、综合与应用题（每题7分，共14分）1.两台同样的自动记录仪（相互独立），每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布。若先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自行开动。试求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度)(tf。2.来某城市的旅游者其消费额X（单位：元）服从正态分布)100,1800(2N，试求：（1）某旅游者消费额在1700～2000元的概率1p；（2）8个旅游者中至多有一人消费额在1700～2000元的概率2p。【解】（1）（2）五、证明题（本题7分）1.假设随机变量X服从参数为2的指数分布。证明：XeY21在区间)1,0(上服从均匀XY301212112201012212101211221234分布。【提示】需证明随机变量Y的概率密度为其他0101)(yyfY或证明Y的分布函数为