2014考研数学备考重点解析二维随机变量联合分布边缘分布与条件分布

2014考研数学备考重点解析——二维随机变量联合分布、边缘分布与条件分布一、联合分布函数：(,){,}FxyPXxYy（1）性质：1非负性：对于任意实数,xyR，0(,)1Fxy；2规范性：(,)lim(,)0xFyFxy，(,)lim(,)0yFxFxy，(,)lim(,)0xyFFxy，(,)lim(,)1xyFFxy；3单调不减性：(,)Fxy分别关于x和y单调不减；4右连续性：(,)Fxy分别关于x和y右连续，即(,)(0,),(,)(,0)FxyFxyFxyFxy,xyR.（2）二维离散型随机变海文考研钻石卡量①概率分布,,(,1,2,)ijijPXxYypij10,1,2,ijpij，2111ijijp②分布函数(,)ijijxxyyFxyP（3）二维连续型随机变量①概率密度(,)fxy1(,)0fxy；2(,)1fxydxdy②分布函数(,)(,)xyFxyfuvdudv注：(,)(,)DPXYDfxydxdy二、边缘分布①定义：()(,)XFxFx，()(,)YFyFy②离散型1(1,2,)iijijPXxppi1(1,2,)iijjiPYyppj③连续型()(,)Xfxfxydy()(,)Yfyfxydx三、条件分布①离散型.,,1,2,ijijijjjPXxYypPXxYyipPYy.,,1,2,ijijjiiiPXxYypPYyXxiPXxp②连续型(,)()()XYYfxyfxyfy(,)()()YXXfxyfyxfxX和Y相互独立(,)()()XYFxyFxFy离散型,,,1,2,.ijijPXxYyPXxPYyij连续型(,)()()XYfxyfxfy【例1】设平面区域D由曲线所围成及直线2,1,01exxyxy，二维随机变量海文考研钻石卡(,)XY在区域D上服从均匀分布，则(,)XY关于X的边缘概率密度在2X处的值为.【解析】设区域D的面积为2121eDdxxSDyxDyxyxf),(,0),(,21),(,其中}10,1),{(2xyexyxD求关于X的边缘概率密度.当0)(,12xfexxX时或当xdydyyxfxfexxX2121),()(1102时，因而得41)2(Xf.【例2】设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N（0，1）和N（1，1），则（A）21}0{YXP（B）21}1{YXP（C）21}0{YXP（D）21}1{YXP【解析】)2,1(~NYX，210211}1{YXP，选B.【例3】随机变量X的概率密度为21,1021,02,,40,xxfxxyxFxy令其他为二维随机变量(,)XY的分考研政治布函数.(Ⅰ)求Y的概率密度Yfy(Ⅱ)1,42F【解析】（1）由于1}21{XP，所以1}40{YP当,0}{0yYPy时，当,1}{4yYPy时，当,0110yy时，yyyyXPXyPyXyPyXPyYPyFY4342}0{}0{}{}{}{)(2当1,2141yyy时，421}0{}01{}{}{}{)(2yyXPXPyXyPyXPyYPyFY于是，Y的分布函数为4,141,42110,430,0)(yyyyyyyFY所以，Y的概率密度为其他,041,8110,83)()('yyyyyFyfYY（2）41}21{}4,21{}4,21{)4,21(2XPXXPYXPF【例4】设随机变量),(YX服从二维正态分布，且YX与不相关，)(),(yfxfYX分考研政治别表示YX与的概率密度，则在yY的条件下，X的条件概率密度)(yxfYX为（）(A))(xfX(B))(yfY(C))()(yfxfYX(D))(/)(yfxfYX【解析】选A，由于随机变量),(YX服从二维正态分布，因此从YX与不相关可知YX与相互独立，于是有)(yxfYX=)(xfX【例5】设二维随机变量（X，Y）的密度函数为.,0,0),(其他xyeyxfx试求：（1）求条件分布密度)(xyfXY；（2）求条件概率}11{YXP.【解析】（1）dyyxfxfX),()(其他,00,0xxedyexxx)(),()(xfyxfxyfXXY其他00,x1xy（3）xxyxdyedxdxdyyxfYXP01011),(}1,1{11021edxxex1010111),(}1{edxedydxdyyxfYPyxy所以，}1{}1,1{}11{YPYXPYXP12ee