数学建模-降落伞的选择

降落伞的选择摘要本文讨论并确定了降落伞的最佳选购方案，使费用最低。通过对问题的分析，以牛顿第二定律建立微分方程模型，通过以救灾物资2000kg，5种不同半径的降落伞的最大载重量为限制条件，建立优化模型。通过优化模型最终解出最佳方案，以及最小费用。继而我们继续讨论了在投放降落伞与救灾物资时，风速、偏角对降落伞下降时绳索拉直的影响。在绳索拉直的情况下，我们才能确保救灾物资能在已有的约束条件下到达目的地。所以最后我们通过数据的拟合，找出了最适合投放降落伞的风速及偏角范围，以此来增加救灾物资到达灾区的可靠性。首先，我们要确定阻力系数。通过对表二的数据分析，以牛顿第二定律建立微分方程模型，运用matlab插点作图进行数据拟合，得到半径为3m，载重为500kg的降落伞从500m高度下落的运动曲线，发现物体在运动后期做了直线运动，通过对图形的分析得出了阻力系数2.959,.落地速度为17.5794m/s.其次，我们要确定不同半径的降落伞的最大载重。通过对表一的数据分析，以牛顿第二定律建立微分方程模型，通过以空投高度为500m，以降落伞落地的速度不能超过20m/s为约束条件，代入阻力系数及相关数据求的每种半径下的降落伞最大载重。运用优化模型的解题方法，我们得出最低费用为4932元，降落伞的最佳选购方案为半径为3m的降落伞数量为6个，其他半径的降落伞不予选购。最后，我们根据查找数据，得到风速、偏角与降落伞下降时绳索拉直的关系，得到相关图片，然后进行拟合得到，从而在已选条件下，选择降落伞最好的投放地点（该地点要符合风速、偏角对绳索拉直的最佳状态）。关键字：降落伞的选择、拉直问题、微分方程、matlab、数据拟合问题重述为了向灾区空投救灾物资，需要选择不同类型的降落伞。降落伞根据半径不同分为半径为2米、2.5米、3米、3.5米、4米五种型号，降落伞的造价由伞面费用，绳索费用和固定费用三部分组成。每个降落伞均是半径为的球形，并且用长为l的16跟绳索连接重物，重物位于球心正下方的球面处，降落伞在下降过程中除了受到重力的影响外，还受到空气的阻力。并且可以认为阻力的大小与降落伞的速度和伞的面积成正比。其阻力系数可由用半径为3米，载重300千克的降落伞从500米高度处所做的降落实验得出的数据确定,得出各个时刻的高度实验数据。为了确保救灾物资顺利的到达地面，我们对降落伞的投放环境进行研究。我们发现风速和偏角是影响降落伞下降时绳索拉直时间的关键因素，因此我们对已知数据进行拟合，得到风速，偏角与降落伞绳索拉直时间的关系函数，在以确定降落伞的大小与投放高度的条件下，选择最好的投放地点（该地点要符合风速、偏角对绳索拉直的最佳状态）。问题的提出为向灾区空投救灾物资共2000kg，需选购一些降落伞，已知空投高度为500m，要求降落伞落地时的速度不能超过20m/s。降落伞面为半径r的半球面，用每根长为l的16根绳索连接着载重m的物体位于球心正下方球面处，如图所示。每个降落伞的价格由三部分组成。伞面费用由伞的半径r决定；绳索费用由绳索总长度及单价4元/米决定；其他费用为200元。降落伞在降落过程中受到空气的阻力，为了确定阻力的大小，用半径3m、载重300kg的降落伞从500m高度做降落实验，测得各时刻的高度。确定降落伞的选购方案，即共需多少个，每个伞半径多大，在满足空投要求的条件下，是费用最低。半径r/m22.533.54费用/元651703506601000表格1不同半径的降落伞伞面价格t/s036912151821242730x/m500470425372317264215160108551mrl表格2降落伞试验的时刻t与高度x的观测值问题的分析这是一个有约束的优化问题，目标函数是降落伞的总费用，为了实用上的方便，不妨只选一种规格（伞半径）的降落伞，于是总费用是降落伞的个数与每个降落伞价格的乘积，而你决策变量是降落伞数量（记作n）和每个伞的半径r。虽然r和n都只能取有限个离散值，但是，对n和r的各种组合进行枚举计算，逐个验算是否满足约束条件，比较费用，是相当繁琐的，并且缺乏一般性。我们宁可先将n和r看作连续变量，建立优化模型，求得最优解后，再按题目要求做适当调整。约束条件主要是伞的落地速度不能超过20m/s，为表述这一条件需要建立并求解降落伞速度满足的微分方程，而方程中的重要参数——空气阻力系数——又要通过测量数据（表格2）作拟合得到。显然，由于测量数据是时间和高度，所以需要找出速度和高度之间的关系。确定费用函数的关键是找出伞面价格与伞半径的关系，它可以根据所给数据（表格1）用适当的函数来拟合，观察这些数据的散点图，用幂函数拟合比较合适。建立降落伞下落的微分方程时，关键是对所受阻力的分析，显然，阻力随着降落速度和伞面积的增加而变大。模型假设（1）伞面价格c1与伞半径r的关系，用幂函数c1=arb（a,b为待定参数）按照表格1数据来拟合；载重m位于球心下方面处，每根绳索的长度l=2r。（2）降落伞在空中只受到向下的重力和向上的空气阻力的作用，阻力与降落速度和伞面积的乘积成正比，阻力系数用表格2数据作拟合；降落伞初速为零。符号说明n降落伞数目m所投物的质量x(t)物体在t时刻的高度v(t)物体在t时刻的速度k阻力系数s降落伞的面积g重力加速度t时间r降落伞的半径C降落伞的总费用1C每个降落伞的三面价格2C每个降落伞的绳索价格3C其他费用模型建立（1）目标函数n个降落伞的总费用，记作C。每个降落伞的费用由伞面价格c1=arb,绳索价格rrc5.9021642和其他费用c3=200组成，于是)2005.90()(321rannCrcccb（20）（2）伞的速度和高度记时刻t伞的速度为v(t),高度为x(t),空气阻力为kr2v,k是待定参数，按照牛顿第二定律，v(t)满足,2vkrmgdtdvm（21）,0)0(v其中，m=2000/n（一个降落伞的载重），g=9.8m/s2,方程（21）的解为))2000exp(1(200022tnkrnkrgv（22）对速度函数积分，并注意到t=0时x=500，得到伞的高度x(t)为))2000exp(1(20002000500224222tnkrnrkgtnkrgx（23）（3）约束条件降落伞落地速度不超过20m/s,即当（23）式的x=0时的解得的根t,代入（22）式后满足20,v(0)，此外还有,1n的附加条件，整个优化模型可记作,1,20))2000exp(1(20000))2000exp(1(20002000500..)2005.90(min22224222ntnkrnkrgtnkrnrkgtnkrgtsrarnCb（24）当参数a,b,k用所给数据拟合确定后，即可求解模型（24）得到n，r（实数值），然后再作适当调整。模型求解（1）参数估计a，b的估计：先将然后对于表14.5数据用线性最小二乘法和MATLAB软件编程[1]得到a=4.3039，b=3.9779与数据的拟合效果见图14.5..42r,lnlnln11rbacarcb转化为.42r图表1由表14.5数据拟合参数a,b下面取a=4.3b=4K的估计：用表14.6数据估计k，注意到作降落试验时n=1，m=300，r=3，于是（23）式应改为))1003exp(1(910310050024tkkgtkgx（25）有表14.6数据利用MATLAB软件作非线性最小二乘法拟合，编程[2]：得到k=18.4583与数据的拟合效果见图14.6.下面取k=18.5图表2由表14.6数据拟合参数k（2）优化模型求解将参数估计得到的a=4.3，b=4，k=18.5代入优化模型（24），用MATLAB的优化工具箱求解编程[3]得到x=6.00722.969527.0408c=4.8245e+003根据题目要求，将结果调整为n=6，r=3，验证落地速度是否不超过20m/s,为此，先由(23)求解非线性方程：))2000exp(1(200020005000224222tnkrnrkgtnkrg（26）再将得到的t代入（22）式计算出落地速度，编程[4]：得到t=27.4867v=19.6196落地速度符合要求。最后，按照（20）式计算总费用（其中c1用实际价格350元），得到C=6*（350+90.5*3+200）=4920（元）。添加问题风速偏向与风速大小将影响降落伞下降过程中的拉直时间，从而影响降落伞落地时的速度大小，请分析出风向与风速对拉直时间的关系，确定适合利用降落伞空投物资的风速范围以及风速的偏向。问题分析降落伞拉直过程是降落伞开伞过程的一个重要阶段，早起拉直过程动力学模型，都是假设伞系统和气流方向一致，处于理想的直线状态。但实际上降落伞在拉直过程中，会收到各种因素的影响，导致降落伞的拉直方向几乎不可能与气流速度方向一致。当在拉直过程中受到风的影响时，拉直时间会随之改变，从而影响落地的速度，为了保证物资可以安全的抵达地面，我们需要建立风速与风向对降落伞拉直时间的关系模型，从中解出适合利用降落伞空投物资的风速与风向范围。由于限制条件要求降落伞落地时的速度不能超过20m/s，以及上面已经求出的最优解的限制，我们可以得出在高度H处必须将降落伞打开，于是对拉直时间T做出了要求，即221500gTH。所以我们需要先利用已知的数据，做出模型，在221500gTH的范围内，求解出风速与风向的范围模型假设（1）在降落伞拉直打开的过程中，我们假设此时降落伞做的是自由落体运动，即此时不受阻力的影响。（2）假设在伞面打开以后，降落伞的运动过程与上一问中的运动情况完全相同。符号说明T拉直时间H最低开伞高度风向偏角v风速大小x(t)物体在t时刻的高度g重力加速度约束条件上一问题中，在不加拉直时间的情况下，我们求出费用最低的最优解，此时k=18.5，n=6，r=3，代入下式中：))2000exp(1(200022tnkrnkrgv))2000exp(1(20002000224222tnkrnrkgtnkrgHx（27）假设落地速度v=20m/s，我们可以解出t=27.0860s,H-=491.6858m又因为拉直过程做的是自由落体运动，有221500gTH（28）解得，sT3026.1（29）模型求解(1)变量说明在该模型中，我们只研究风速偏向，以及风速大小对拉直时间的影响，其他外界环境因素可先忽略。在此，我们对风速偏向做出三维图解，如下图所示：(2)数据分析经过网络数据统计，我们得到表1-1、表1-2表1-1拉直时间随风速偏角的变化偏角风速0°20°40°60°80°100°120°140°160°180°0m/s1.271.271.271.271.271.271.271.271.271.2730m/s1.371.351.291.221.161.151.181.191.201.2160m/s1.501.401.261.100.910.821.071.141.181.19风速(m/s)051015202530拉直时间(s)/0度顺风1.271.281.31.321.341.351.37拉直时间(s)/90度顺风1.271.261.251.241.211.181.15拉直时间(s)/180度逆风1.271.261.251.241.231.221.22风速(m/s)354045505560拉直时间(s)/0度顺风1.41.431.451.471.491.5拉直时间(s)/90度顺风1.111.081.051.010.980.95拉直时间(s)/180度逆风1.211.211.211.211.201.20表1-2拉直时间随风速大小的变化利用MATLAB，导入数据得到图1-1、图1-2图1-1图1-2(3)数据处理风速偏向与拉直时间关系由图1-1我们可以看出，风速0m/s与风速60m/s是两个边界图像，即0m/s~60m/s之间的风速值所对应的图像都在0m/s图像和60