2014走向高考二轮复习2,1

基本素能训练一、选择题1．(2013·北京海淀期中)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(π2，π)上为减函数的是()A．y＝sin2xB．y＝2|cosx|C．y＝cosx2D．y＝tan(－x)[答案]D[解析]逐个判断，用排除法．y＝cosx2的最小正周期为4π，故C排除；函数y＝sin2x在区间(π2，π)上不具有单调性，故A排除；函数y＝2|cosx|在区间(π2，π)上是增函数，故B排除；D正确．2．(2013·浙江理，4)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A0，ω0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝π2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案]B[解析]若f(x)是奇函数，则f(x)＋f(－x)＝0，即Acos(ωx＋φ)＋Acos(－ωx＋φ)＝0，整理得cosωxcosφ＝0恒成立，故cosφ＝0，φ＝kπ＋π2，k∈Z，故“f(x)是奇函数”是“φ＝π2”的必要不充分条件．3．(文)(2013·昆明一检)已知角α的终边上一点的坐标为(sin5π6，cos5π6)，则角α的最小正值为()A.5π6B.2π3C.5π3D.11π6[答案]C[解析](sin5π6，cos5π6)可化为(12，－32)，∴sinα＝－32，cosα＝12，∴α＝－π3＋2kπ，k∈Z，故角α的最小正值为5π3.(理)(2013·浙江理，6)已知α∈R，sinα＋2cosα＝102，则tan2α＝()A.43B.34C．－34D．－43[答案]C[解析]本题考查三角函数同角间的基本关系．将sinα＋2cosα＝102两边平方可得，sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α＝52，∴4sinαcosα＋3cos2α＝32.将左边分子分母同除以cos2α得，3＋4tanα1＋tan2α＝32，解得tanα＝3或tanα＝－13，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝－34.4．(文)(2013·乌鲁木齐模拟)为了得到函数y＝sin2x＋cos2x的图象，只需把函数y＝sin2x－cos2x的图象()A．向左平移π4个单位长度B．向右平移π4个单位长度C．向左平移π2个单位长度D．向右平移π2个单位长度[答案]A[解析]y＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋π4)，y＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－π4)，只需把函数y＝sin2x－cos2x的图象向左平移π4个单位长度，即可得到y＝sin2x＋cos2x的图象．(理)(2012·天津文，7)将函数f(x)＝sinωx(其中ω0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点(3π4，0)，则ω的最小值是()A.13B．1C.53D．2[答案]D[解析]本题考查三角函数图象的平移变换．平移之后y＝sin[ω(x－π4)]＝sin(ωx－ωπ4)，由图象过点(3π4，0)得，sin(ω×3π4－ωπ4)＝0，∴ω(3π4－π4)＝kπ，k∈Z，∴ω＝2k，又ω0，∴ωmin＝2.[点评]平移是对“x”来说的，不要出现y＝sin(ωx－π4)这样的错误．5．(文)(2012·洛阳检测)如果sinα＝45，那么sin(α＋π4)－22cosα等于()A.225B．－225C.425D．－425[答案]A[解析]sin(α＋π4)－22cosα＝sinαcosπ4＋cosαsinπ4－22cosα＝45×22＝225.(理)(2013·新课标Ⅱ文，6)已知sin2α＝23，则cos2(α＋π4)＝()A.16B.13C.12D.23[答案]A[解析]本题考查半角公式及诱导公式．由半角公式可得，cos2(α＋π4)＝1＋cos2α＋π22＝1－sin2α2＝1－232＝16，故选A.6．(文)(2013·天津文，6)函数f(x)＝sin(2x－π4)在区间[0，π2]上的最小值为()A．－1B．－22C.22D．0[答案]B[解析]本题考查正弦型函数的最值.令t＝2x－π4，因为x∈[0，π2]，所以t∈[－π4，3π4]，f(x)＝sin(2x－π4)变为y＝sint，由正弦函数的图象可知，当t＝－π4，即x＝0时，f(x)取得最小值为－22.(理)用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的简图时，若所得五个点的横坐标从小到大依次为x1、x2、x3、x4、x5且x1＋x5＝3π2，则x2＋x4()A.π2B．πC.3π2D．2π[答案]C[解析]由函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象性质可知x1、x5关于x3对称，x2、x4也关于x3对称，∴x2＋x4＝x1＋x5＝3π2，故选C.二、填空题7．已知α为锐角，tan2α＝－43，则sin2π－α－cosπ＋αsin3π2－α＋cosπ2＋α＝________.[答案]13[解析]由tan2α＝2tanα1－tan2α＝－43得，tanα＝2或－12，∵α为锐角，∴tanα0，∴tanα＝2.∴sin2π－α－cosπ＋αsin3π2－α＋cosπ2＋α＝－sinα＋cosα－cosα－sinα＝tanα－11＋tanα＝2－11＋2＝13.8．(2013·宝鸡二模)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2)的部分图象如图所示，则f(x)＝________.[答案]2sin(π8x＋π4)[解析]由题意得A＝2，函数的周期为T＝16，又T＝2πω⇒ω＝π8，此时f(x)＝2sin(π8x＋φ)，又f(2)＝2，即sin(π8×2＋φ)＝sin(π4＋φ)＝1，解得π4＋φ＝2kπ＋π2⇒φ＝2kπ＋π4，k∈Z，又|φ|π2，所以φ＝π4.所以函数的解析式为f(x)＝2sin(π8x＋π4)．9．(文)如果两个函数的图象平移后能够重合，那么称这两个函数为“互为生成”函数．给出下列四个函数：①f(x)＝sinx＋cosx;②f(x)＝2(sinx＋cosx)；③f(x)＝sinx;④f(x)＝2sinx＋2.其中为“互为生成”函数的是________(填序号)．[答案]①④[解析]首先化简题中的四个解析式可得：①f(x)＝2sin(x＋π4)，②f(x)＝2sin(x＋π4)，③f(x)＝sinx，④f(x)＝2sinx＋2，可知③f(x)＝sinx的图象要与其他的函数图象重合，单纯经过平移不能完成，必须经过伸缩变换才能实现，所以③f(x)＝sinx不能与其他函数成为“互为生成”函数，同理①f(x)＝2sin(x＋π4)的图象与②f(x)＝2sin(x＋π4)的图象也必须经过伸缩变换才能重合，而④f(x)＝2sinx＋2的图象向左平移π4个单位，再向下平移2个单位即可得到①f(x)＝2sin(x＋π4)的图象，所以①④为“互为生成”函数．(理)(2012·山西省高考联合模拟)设f(x)＝asin(π－2x)＋bsin(π2＋2x)，其中a、b∈R，ab≠0，若f(x)≤|f(π6)|对一切x∈R恒成立，则①f(5π12)＝0；②f(x)的周期为2π；③f(x)既不是奇函数也不是偶函数；④存在经过点(a，b)的直线与函数f(x)的图象不相交．以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号)[答案]①③[解析]f(x)＝asin(π－2x)＋bsin(π2＋2x)＝asin2x＋bcos2x＝a2＋b2sin(2x＋φ)，其中，tanφ＝ba，∵f(x)≤|f(π6)|对一切x∈R恒成立，∴|f(π6)|＝a2＋b2，∴2×π6＋φ＝kπ＋π2，∴φ＝kπ＋π6，又f(x)的周期T＝π，故①③正确，②④错误．三、解答题10．(文)(2013·北京文，15)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋12cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若α∈π2，π，且f(α)＝22，求a的值．[解析](1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋12cos4x＝cos2xsin2x＋12cos4x＝12(sin4x＋cos4x)＝22sin(4x＋π4)所以f(x)的最小正周期为π2，最大值为22.(2)因为f(α)＝22，所以sin(4α＋π4)＝1.因为α∈(π2，π)，所以4α＋π4∈(9π4，17π4)，所以4α＋π4＝5π2，故α＝9π16.(理)(2013·天津理，15)已知函数f(x)＝－2sin(2x＋π4)＋6sinxcosx－2cos2x＋1，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[0，π2]上的最大值和最小值．[解析](1)f(x)＝－2sin2x·cosπ4－2cos2x·sinπ4＋3sin2x－cos2x＝2sin2x－2cos2x＝22sin(2x－π4)．所以，f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)因为f(x)在区间[0，3π8]上是增函数，在区间[3π8，π2]上是减函数．又f(0)＝－2，f(3π8)＝22，f(π2)＝2，故函数f(x)在区间[0，π2]上的最大值为22，最小值为－2.能力提高训练一、选择题1．(2012·吉林模拟)若f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋m，对任意实数t都有f(π8＋t)＝f(π8－t)，且f(π8)＝－3，则实数m的值等于()A．－1B．±5C．－5或－1D．5或1[答案]C[解析]依题意得，函数f(x)的图象关于直线x＝π8对称，于是x＝π8时，函数f(x)取得最值，因此有±2＋m＝－3，∴m＝－5或m＝－1，选C.2．(2013·浙江文，6)函数f(x)＝sinxcosx＋32cos2x的最小正周期和振幅分别是()A．π，1B．π，2C．2π，1D．2π，2[答案]A[解析]本题考查了辅助角公式、倍角公式和正弦型函数的性质．f(x)＝12sin2x＋32cos2x＝sin(2x＋π3)，周期T＝π，振幅为1，故选A.3．(2012·莱芜检测)若tan(π－α)＝－13，则cos2α2sinαcosα＋cos2α的值为()A．－83B.85C.815D．－87[答案]C[分析]先求tanα，再将所求三角函数式分子分母同除以cosα化成切的式子．[解析]由tan(π－α)＝－13得，tanα＝13，cos2α2sinαcosα＋cos2α＝cos2α－sin2α2sinαcosα＋cos2α＝1－tan2α2tanα＋1＝1－1923＋1＝815.4．(文)(2013·东城区模拟)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，(其中|φ|π2)的图象如图所示，为了得到g(x)＝sinωx的图象，则只要将f(x)的图象()A．向右平移π6个单位B．向右平移π12个单位C．向左平移π6个单位D．向左平移π12个单位[答案]A[解析]由图象可知，T4＝7π12－π3＝π4，∴T＝π，∴ω＝2ππ＝2，再由2×π3＋φ＝π，得φ＝π3.∴f(x)＝sin(2x＋π3)，故只需将f(x)＝sin2(x＋π6)的图象向右平移π6个单位，可得到g(x)＝sin2x的图象．(理)(2013·广东佛山二模)如图所示为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω0,0≤φ≤π)的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f(－1)等于()A．2B.3C．－3D．－2[答案]A[解析]设函数f(x)的最小正周期为T，因为A，B两点之间的距离为5，所以T22＋42＝5，解得T＝6.所以ω＝2πT＝π3.又图象过点(0,1)，代入得2sinφ＝1，所以φ＝2kπ＋π6或φ＝2kπ＋5π6(k∈Z)．又0≤φ≤π，所以φ＝π6或φ＝5π6.故f(x)＝2sin(π3x＋π6)或f(x)＝2sin(π3x＋5π6)．对于函数f(x)＝2sin(π3x＋π6)，当x略微大于0时，有f(x)2sinπ6＝1，与图象不符，故舍去；综上，f(x)＝2sin(π3x＋5π6)．故f(－1)＝2sin(－π3＋5π6)＝2.故选A.5．(2012·佛山模拟)函数f(x)＝Asin(