2014高三数学复习专题函数的奇偶性

多抽出一分钟时间学习，让你的人生更加精彩！2020-1-121高三数学一轮复习——函数的奇偶性函数的奇偶性、周期性是函数的重要性质，是高考命题热点之一，在考查时，常与其他性质(如单调性)综合在一起，从近几年各地区的高考信息可以看出考查多以客观题为主，一般为容易题，周期性与三角函数结合比较明显，但也常出现在抽象函数中，多为求值问题，以选择题或填空题形式出现．一、要点精讲1、函数的奇偶性的定义：对于函数)(xf定义域内定义域内任意一个x，若有__________________，则函数)(xf为奇函数；若有___________________，那么函数)(xf为偶函数.2、奇偶函数的性质：⑴定义域关于原点对称；⑵偶函数的图象关于y轴对称；⑶奇函数的图象关于原点对称；⑷奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇．⑸()fx为偶函数()(||)fxfx．⑹若奇函数()fx的定义域包含0，则(0)0f．3、判断函数奇偶性的途径：⑴依据图象的对称性进行判断．⑵依据常见函数奇偶性的结论进行判断．⑶运用定义法判断函数奇偶性，首先考虑定义域是否关于原点对称，其次看f(－x)是否等于－f(x)或f(x)．⑷对抽象函数奇偶性的判断，要注意挖掘函数“原形”，采用“赋值”等策略．4、周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．二、基本训练1．下面四个结论中，正确命题的个数是(）①偶函数的图象一定与y轴相交②奇函数的图象一定通过原点③偶函数的图象关于y轴对称④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)A.1B.2C.3D.4解:①不对；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f(x)=0〔x∈(-a,a)〕.多抽出一分钟时间学习，让你的人生更加精彩！2020-1-1222．下列各函数中是奇函数的是（A）Rxxxf2（B）,032xxxf（C）Rxxxxf3（D）,0lg3xxxf3.已知函数xf是奇函数，当0x时，xxxf1；当0x时，xf等于（A）xx1（B）xx1（C）xx1（D）xx14．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(2011)＝()A．－2B．2C．－98D．98解：由f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)的周期为4，∴f(2011)＝f(502×4＋3)＝f(3)＝f(－1)，又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，f(1)＝2×12＝2，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.5．已知函数y＝f(x)为奇函数，若f(3)－f(2)＝1，则f(－2)－f(－3)＝________.解：∵y＝f(x)为奇函数，∴f(－2)－f(－3)＝－f(2)＋f(3)＝1.6.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数，那么g(x)=ax3+bx2+cx是()A.奇函数B.偶函数C.既奇且偶函数D.非奇非偶函数解析:由f(x)为偶函数，知b=0，有g(x)=ax3+cx(a≠0)为奇函数.7、已知babxaxxf32为偶函数，且定义域为]2,1[aa，则a=，b=。解析:定义域应关于原点对称，故有a-1=-2a，得a=31.要使f(-x)=f(x)恒成立，应b=0.三、典例解析考点一：函数奇偶性的判断1、判断下列函数的奇偶性⑴2|2|1)(2xxxf；⑵221()lglgfxxx；⑶xxxxf11)1()(⑷22lg(1)()|2|2xfxx；⑸2)(2axxxf⑹f(x)＝x＋2(x－1)0(－1≤x≤1)－x＋2(x1)解：（1）由2210|2|20xx得定义域为(1,0)(0,1)，∴22lg(1)()(2)2xfxx22lg(1)xx奇(2)既是奇函数也是偶函数（3）由101xx，得定义域为[1,1)，关于原点不对称，∴()fx为非奇非偶函数．多抽出一分钟时间学习，让你的人生更加精彩！2020-1-123（4）∵2222lg[1()]lg(1)()()xxfxxx()fx∴()fx为偶函数（5）分0a与0a两种情况（6）解：当x－1时，f(x)＝x＋2，－x1，∴f(－x)＝－(－x)＋2＝x＋2＝f(x)．当x1时，f(x)＝－x＋2，－x－1，∴f(－x)＝(－x)＋2＝－x＋2＝f(x)．当－1≤x≤1时，f(x)＝0，－1≤－x≤1，∴f(－x)＝0＝f(x)．综上可知，对于定义域内的每一个x都有f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．2.（2010广东）若函数与的定义域均为R，则A.与与均为偶函数B.为奇函数，为偶函数C.与与均为奇函数D.为偶函数，为奇函数解：D．．考点二：函数奇偶性的证明3、已知函数()fx对一切,xyR，都有()()()fxyfxfy，⑴求证：()fx是奇函数；⑵若(3)fa，用a表示(12)f．解：（1）显然()fx的定义域是R，它关于原点对称．在()()()fxyfxfy中，令yx，得(0)()()ffxfx，令0xy，得(0)(0)(0)fff，∴(0)0f，∴()()0fxfx，即()()fxfx，∴()fx是奇函数．（2）由(3)fa，()()()fxyfxfy及()fx是奇函数，得(12)2(6)4(3)4(3)4ffffa．考点三：函数奇偶性的应用函数奇偶性常见的应用问题有：⑴利用奇、偶性求参数的取值或求代数式的值；⑵利用奇、偶性求函数解析式或化简解析式．4.（2010重庆）函数的图象A.关于原点对称B.关于直线y=x对称C.关于x轴对称D.关于y轴对称解：是偶函数，图像关于y轴对称5．(2010课标)设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x－2)0}＝()A．{x|x－2或x4}B．{x|x0或x4}C．{x|x0或x6}D．{x|x－2或x2}解：f(x－2)0等价于f(|x－2|)0＝f(2)，又∵f(x)＝x3－8(x≥0)为增函数，∴|x－2|2.解得x4或x0.xxxf33)(xxxg33)()(xf)(xg)(xf)(xg)(xf)(xg)(xf)(xg()33(),()33()xxxxfxfxgxgx412xxfx)(241214)(xfxfxxxx)(xf多抽出一分钟时间学习，让你的人生更加精彩！2020-1-1246、定义在R上的奇函数f（x）在(0，+∞)上是增函数，又f（－3）=0，则不等式xf（x）＜0的解集为A.（－3，0）∪（0，3）B.（－∞，－3）∪（3，+∞）C.（－3，0）∪（3，+∞）D.（－∞，－3）∪（0，3）解：由奇偶性和单调性的关系结合图象来解.7．若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0］上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)0的x的取值范围是()A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(-∞-2)∪(2,+∞)D.(-2,2)解：由图象法可解,由函数的性质可画出其图象如图所示.显然f(x)0的解集为{x|-2x2}8、已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f(12)＞0＞f(－3)，则方程f(x)＝0的根的个数为()A.0B.1C.2D.3解：由于函数是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，因此在(－∞，0)上单调递增，又因为f(12)＞0＞f(－3)＝f(3)，所以函数f(x)在(12，3)上与x轴有一个交点，必在(－3，－12)上也有一个交点，故方程f(x)＝0的根的个数为2.9.（10山东）设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则（A）-3（B）-1（C）1(D)3答案：A10、(2010江苏)设函数Rxaeexxfxx)(是偶函数，则实数a＝________.解法一：函数的定义域关于原点对称，令g(x)＝ex＋ae－x，由f(x)是偶函数，知g(x)为奇函数，即g(－x)＝－g(x)，e－x＋aex＝－ex－ae－x，即(1＋a)e－x＋(1＋a)ex＝0，对一切x∈R恒成立，故a＝－1.故填－1.解法二：∵f(x)是偶函数，∴g(x)＝ex＋ae－x为奇函数，∴g(0)＝e0＋ae0＝0，故a＝－1.故填－1.11、若函数)(xf是定义在R上的奇函数，且当),0(x时，)1()(3xxxf，那么当)0,(x时，)(xf=_______3(1)xx12.已知xf是奇函数，当1,0x时，xxf11lg，那么当0,1x时，xf的表达式是________.解：当x∈（－1，0）时，－x∈（0，1），∴f（x）=－f（－x）=－lgx11=lg（1－x）.13.若)(xf是奇函数，)(xg是偶函数，且,11)()(xxgxf则)(xf=．()fxR0x()22xfxxbb(1)f多抽出一分钟时间学习，让你的人生更加精彩！2020-1-12514、设f（x）是定义在R上的奇函数，若当x≥0时，f（x）=log3（1+x），则f（－2）=。解：因为x≥0时，f（x）=log3（1+x），又f（x）为奇函数，所以f（－x）=－f（x），设x＜0，所以f（x）=－f（－x）=－f（1－x），所以f（－2）=－log33=－1。点评：该题考察函数奇偶性的应用。解题思路是利用函数的奇偶性得到函数在对称区域上函数的取值。15.若f（x）=1222xxaa为奇函数，求实数a的值.解：∵x∈R，∴要使f（x）为奇函数，需f（x）+f（－x）=0，即a－122x+a－122x=0，得a=1.16.已知函数f（x）=cbxax12（a、b、c∈Z）是奇函数，又f（1）=2，f（2）＜3，求a、b、c的值.解：由f（－x）=－f（x），得－bx+c=－（bx+c）.∴c=0.由f（1）=2，得a+1=2b.由f（2）＜3，得114aa＜3，解得－1＜a＜2.又a∈Z，∴a=0或a=1.若a=0，则b=21，与b∈Z矛盾.∴a=1，b=1，c=0.17、设定义在2,2上的偶函数xg，当0x时，xg单调递减，若mgmg1成立，求实数m的取值范围.解：由g（1－m）＜g（m）及g（x）为偶函数，可得g（|1－m|）＜g（|m|）.又g（x）在（0，+∞）上单调递减，∴|1－m|＞|m|，且|1－m|≤2，|m|≤2，解得－1≤m＜21.说明：也可以作出g（x）的示意图，结合图形进行分析.18、已知函数21121xxxf，（1）判断xf的奇偶性；（2）证明：0xf。解：（1）f（x）＝x·)12(212xx，其定义域为x≠0的实数.又f（－x）＝－x·)12(212xx＝－x·)21(221xx＝x·)12(212xx＝f（x），∴f（x）为偶函数.（2）证明：由解析式易见，当x＞0时，有f（x）＞0.又f（x）是偶函数，且当x＜0时－x＞0，∴当x＜0时f（x）＝f（－x）＞0，即对于x≠0的任何实数x，均有f（x）＞0.考点四：函数的周期性函数的周期性是高考的热点之一，常考查的题型有：⑴判定函数的周期性，并求其最小正周期．⑵利用函数的周期性，求特定函数值或求