2014高中数学2-2-1-3换底公式能力强化提升新人教A版必修1

1【成才之路】2014高中数学2-2-1-3换底公式能力强化提升新人教A版必修1一、选择题1.log89log23＝()A.23B.32C．1D．2[答案]A[点拨]原式＝lg9lg8lg3lg2＝2lg33lg2lg3lg2＝23，故选A.2．log23·log3m＝12，则m＝()A．2B.2C．4D．1[答案]B[解析]log23·log3m＝log2m＝12∴m＝212＝2，故选B.3．log23·log34·log45·log56·log67·log78＝()A．1B．2C．3D．4[答案]C[解析]log23·log34·log45·log56·log67·log78＝lg3lg2×lg4lg3×lg5lg4×lg6lg5×lg7lg6×lg8lg7＝lg8lg2＝3，故选C.4．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则1x－1y＝()A.13B．3C．－13D．－32[答案]A[解析]x＝log2.51000，y＝log0.251000，∴1x＝log10002.5，1y＝log10000.25，∴1x－1y＝log10002.5－log10000.25＝log100010＝13，故选A.5．设lg2＝a，lg3＝b，则log512等于()A.2a＋b1＋aB.a＋2b1＋aC.2a＋b1－aD.a＋2b1－a[答案]C[解析]log512＝lg12lg5＝2lg2＋lg31－lg2＝2a＋b1－a，故选C.6．设，则x∈()A．(－2，－1)B．(1,2)C．(－3，－2)D．(2,3)[答案]D[解析]＝log310∈(2,3)，故选D.7．设a、b、c∈(0，＋∞)，且3a＝4b＝6c，则以下四个式子中恒成立的是()A.1c＝1a＋1bB.2c＝2a＋1bC.1c＝2a＋2bD.2c＝1a＋2b[答案]B[解析]设3a＝4b＝6c＝m，∴a＝log3m，b＝log4m，c＝log6m，3∴1a＝logm3，1b＝logm4，1c＝logm6，又∵logm6＝logm3＋logm2，1c＝1a＋12b，即2c＝2a＋1b，故选B.8．设方程(lgx)2－lgx2－3＝0的两实根是a和b，则logab＋logba等于()A．1B．－2C．－103D．－4[答案]C[解析]由已知得：lga＋lgb＝2，lgalgb＝－3，那么logab＋logba＝lgblga＋lgalgb＝lg2b＋lg2algalgb＝a＋lgb2－2lgalgblgalgb＝4＋6－3＝－103，故选C.二、填空题9．log22＋log927＋4log413＝________.[答案]15[解析]原式＝12＋log3233＋13＝15.10．log43·log13432＝________.[答案]－58[解析]原式＝log43·(－14log332)＝－14×log432＝－14×log2225＝－14×52＝－58.11．lg9＝a,10b＝5，用a、b表示log3645为________．[答案]a＋ba－2b＋2[解析]由已知b＝lg5，则log3645＝lg45lg36＝lg5＋lg9lg4＋lg9＝a＋ba＋2lg2＝a＋ba＋－b＝a＋ba－2b＋2.12．(山东淄博2012～2013高一期中试题)设3x＝4y＝36，则2x＋1y＝________.[答案]14[解析]由3x＝4y＝36得x＝log36，y＝log436，2x＋1y＝2log336＋1log436＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1.三、解答题13．(瓮安二中2012～2013学年度第一学期高一年级期末考试数学科卷)求下列各式的值：(1)log427·log258·log95；(2)(log43＋log83)(log32＋log92)．[解析](1)原式＝lg27lg4·lg8lg25·lg5lg9＝3lg32lg2·3lg22lg5·lg52lg3＝98(2)解法一：原式＝log43·log32＋log83·log32＋log43·log92＋log83·log92＝log223·log32＋log233·log32＋log223·log322＋log233·log322＝12log23·log32＋13log23·log32＋12log23·12log32＋13log23·12log32＝12＋13＋14＋16＝54.解法二：原式＝(log223＋log233)·(log32＋log322)＝(12log23＋13log23)(log32＋12log32)＝56log23×32log32＝54.14．计算：(log23＋log49＋log827＋…＋log2n3n)×log9n32.[分析]此题是不同底数的对数运算，也需用换底公式进行化简求值．[解析]原式＝(log23＋2log232log22＋3log233log22＋…＋nlog23nlog22)×log9n32＝(log23＋log23＋log23＋…＋log23)×log9n32＝n×log23×5n×12log32＝52.[点评](1)应用换底公式时，究竟换成以什么为底？①一般全都换成以10为底的对数．②根据情况找一个底数或真数的因子作为底．(2)直接利用换底公式的下面几个推论，加快解题速度．logab＝1logba，loganbm＝mnlogab，loganbn＝logab.515．某化工厂生产化工产品，去年生产成本为50元/桶，现使生产成本平均每年降低28%，那么几年后每桶的生产成本为20元(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，精确到1年)?[分析]设x年后每桶的生产成本为20元，由题意列出关于x,50,28%,20之间的关系式，解出x.[解析]设x年后每桶的生产成本为20元．1年后每桶的生产成本为50×(1－28%)，2年后每桶的生产成本为50×(1－28%)2，x年后每桶的生产成本为50×(1－28%)x＝20.所以，0.72x＝0.4，等号两边取常用对数，得xlg0.72＝lg0.4.故x＝lg0.4lg0.72＝－1－2＝lg4－1lg72－2＝2lg2－13lg2＋2lg3－2≈0.3010×2－13×0.3010＋2×0.4771－2＝－0.398－0.1428≈3(年)．所以，3年后每桶的生产成本为20元．16．设3x＝4y＝6x＝t1，求证：1z－1x＝12y.[分析]对数与指数的底数都不相同时，首先用换底公式将底数化为相同．[解析]证法一：∵3x＝4y＝6z＝t1，∴x＝lgtlg3，y＝lgtlg4，z＝lgtlg6，∴1z－1x＝lg6lgt－lg3lgt＝lg2lgt＝lg42lgt＝12y.证法二：∵3x＝4y＝6z＝t1，两边同时取以t为底的对数，得xlogt3＝ylogt4＝zlogt6＝1，∴1z－1x＝logt6－logt3＝logt2＝12logt4＝12y.[点评]化为同底与指对互化是解决指数、对数求值问题的常用策略．运用换底公式时，要注意选取合适的底数，以达到简化运算的作用．