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数学/高中学业水平测试(这是边文，请据需要手工删加)考点解读/全A计划(这是边文，请据需要手工删加)\x(专题八)立体几何)Ｋ考点解读逐个击破考点1空间几何体考试要求1．了解棱柱、棱锥、棱台的概念、底面、侧棱、侧面、顶点，了解圆柱、圆锥、圆台、球的概念、底面、母线、侧面、轴，了解球的球心、半径、直径．2．了解投影、投影线、投影面的概念，了解中心投影和平行投影的概念．3．了解几何体的正视图、侧视图、俯视图、三视图的概念，理解三视图画法的规则，理解画简单几何体的三视图．4．了解斜二测画法的概念，理解斜二测画法的步骤，理解简单几何体的直观图的画法，了解三视图所表示的空间几何体，理解三视图和直观图的联系及相互转化．5．了解表面积与展开图的关系，了解柱体、锥体、台体表面积公式、体积公式，了解柱体、锥体、台体的关系，了解三棱柱和三棱锥图形的变化关系．知识梳理1.柱、锥、台、球的结构特征(1)棱柱、棱锥、棱台①棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．②棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．③棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个仍然是棱锥，另一个称为棱台．(2)圆柱、圆锥、圆台、球①将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着一条边、一条直角边、垂直于底边的腰所在直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台．这条直线叫做轴，垂直于轴的边旋转一周而成的圆面叫做底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做母线．②一般地，一条平面曲线绕着它所在平面内的一条直线旋转形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，圆柱、圆锥、圆台、球都属于旋转体．③球的定义：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面．球面所围成的几何体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球心，连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径．2．空间几何体的三视图和直观图(1)平行投影与中心投影①立体几何中，投影是光线(投射线)通过物体向选定的面(投射面)投射，并在该面上得到图形的一种方法．②中心投影：光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影．③平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影．(2)空间几何体的三视图①三视图的安排规则是：正视图与侧视图分别在左右两边，俯视图画在正视图的下方．②画简单几何体的三视图(i)画几何体的三视图时，可以把垂直投射面的视线想象成平行光线，体会可见的轮廓线(包括被遮挡的，但可以经过想象透视到的光线)的投影就是要画出的视图，可见的轮廓线要画成实线，不可见的轮廓线要画成虚线．(ii)对于简单几何体的组合体的三视图，首先要确定正视、侧视、俯视的方向，其次要注意组合体由哪些几何体组成，弄清它们的生成方式，特别应注意它们的交线的位置．(3)空间几何体的直观图①用斜二测画法画直观图(i)画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下，长度和角度可适当选取．为了增强立体感，被挡住的部分通常用虚线表示．(ii)画图时要紧紧把握住“一斜”——在已知图形中垂直于x轴的线段，在直观图中均与x轴成45°或135°；“二测”——两种度量形式，即在直观图中，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段变为原长度的一半．②三视图和直观图有着密切的联系，我们能够由空间几何体的三视图得到它的直观图．同时，也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图．从投影的角度看，三视图和用斜二测画法画出的直观图都是在平行投影下画出来的空间图形．3．空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积公式：(1)圆柱的表面积公式：S＝2πr2＋2πrl＝2πr(r＋l)(2)圆锥的表面积公式：S＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)(3)圆台的表面积公式：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)(4)柱体的体积公式：V＝Sh(S为底面积，h为柱体高)(5)锥体的体积公式：V＝13Sh(S为底面积，h为锥体高)(6)台体的体积公式：V＝13(S′＋SS′＋S)h(S′、S分别为上、下底面的面积，h为台体的高)(7)球的表面积公式：S＝4πR2(8)球的体积公式：V＝43πR3.【例1】右下图是某几何体的三视图(尺寸如图，单位：cm)则该几何体的体积为______cm3.【分析】由该几何体的三视图可以看出这是一个下半部分为圆柱，上半部分为圆锥的混合几何体；求其体积可先分别求圆柱、圆锥的体积，然后相加即可．【答案】43π【解】圆柱和圆锥的高、底面半径均为1，则由体积公式可得V圆锥＝13Sh＝13·π·12＝π3，V圆柱＝Sh＝π·12×1＝π，所以V＝V圆柱＋V圆锥＝π3＋π＝43π.【点评】熟记直观图与三视图的区别与联系及柱、锥体积公式是解决此类题目的关键．【变式训练】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A.43πB．2πC.83πD.103π【例2】以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是()A．球B．圆台C．圆锥D．圆柱【分析】可以先考虑下哪种空间几何体的轴截面是矩形，然后结合题干以矩形的一边所在的直线为旋转轴，显而易见是圆柱．【答案】D【解】由圆柱的定义以及以矩形的一边所在的直线为旋转轴可以分析出，此几何体为圆柱，故本题选D.【点评】在日常的学习生活中，要注意通过平面图形旋转而得到空间几何体知识的积累．例如：以直角三角形的一直角边为轴旋转得到的是圆锥；以直角三角形的斜边为轴旋转得到的是两个圆锥的结合体等．【变式训练】三视图如下图的几何体是()A．三棱锥B．四棱锥C．四棱台D．三棱台考点2点、直线、平面之间的位置关系考试要求1．了解平面的概念、画法及表示方法，了解平面的基本性质，即公理1、2、3，理解“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”之间的转化．2．理解异面直线的概念与图形表示，理解公理4、等角定理、异面直线所成的角，了解两条直线垂直的概念．3．理解直线与平面的三种位置关系，理解平面与平面的位置关系．4．理解直线与平面的判定定理，理解平面与平面平行的判定定理，掌握直线与平面的性质定理，掌握平面与平面平行的性质定理．5．理解直线和平面垂直的定义及判定定理，理解直线与平面所成的角。6．了解二面角及其平面角的概念，理解二面角的平面角的计算，了解两个平面垂直的定义，理解两个平面垂直的判定定理．7．掌握直线和平面垂直的性质定理，掌握平面与平面垂直的性质定理．知识梳理1．平面的概念平面是一个只描述而不加定义的最基本的原始概念，常见的桌面、黑板面、海平面都给我们平面的形象．立体几何里所说的平面就是从这样的一些物体中抽象出来的．但是几何里所说的平面是无限延展的．2．平面的表示方法：①一般用一个希腊字母α，β，γ，…来表示平面，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示，如平面α，平面AC等．②点A在平面α内，记作A∈α；点A不在平面α内，记作A∉α.3．平面的基本性质三个公理及由公理2引出的三个推论公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．4．空间两条直线的位置关系空间两条直线存在三种位置关系：相交、平行、异面．5．公理4与等角定理(1)公理4：平行于同一直线的两条直线相互平行．(2)等角定理：空间中如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．6．异面直线所成的角异面直线所成的角：如图，直线a，b是异面直线，经过空间一点O，分别引直线a′∥a，b′∥b，相交直线a′、b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a、b所成的角．如果两条异面直线所成的角是直角，则称这两条异面直线互相垂直．注意：(1)异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°.(2)两条直线垂直不一定相交．(3)异面直线既不相交，也不平行．(4)不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线．7．空间中直线与平面之间的位置关系(1)直线在平面内(有无数个公共点)；(2)直线和平面相交(有且只有一个公共点)；(3)直线和平面平行(没有公共点)．直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外．8．平面与平面之间的位置关系(1)两个平面平行(无公共点)；(2)两个平面相交(有一条公共直线)．9．直线和平面平行的判定与性质(1)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．(2)性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和两平面的交线平行．10．平面与平面平行的判定与性质(1)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．(2)性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．11．直线和平面垂直的定义如果直线l和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．12．直线和平面垂直的有关定理(1)直线和平面垂直的判定①判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．②如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，即a∥ba⊥α⇒b⊥α.(2)直线和平面垂直的性质①性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．②如果一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线．③过一点有且只有一条直线和已知平面垂直；过一点有且只有一个平面和已知直线垂直．④如果一条直线与两个平面都垂直，那么这两个平面平行．13．二面角及其平面角、两个平面垂直的含义(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所形成的空间图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，两个半平面叫做二面角的面．(2)二面角的平面角：在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以O为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角∠AOB叫做二面角α－l－β的平面角．(3)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角．(4)两个平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直．14．平面与平面垂直的有关定理(1)判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．(2)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．【例3】下列命题中错误的是()A．若直线l⊥平面α，则平面α内所有直线都垂直于直线lB．若直线l⊥平面α，则过直线l的平面都垂直于平面αC．若平面α⊥平面β，则平面α内一定存在直线垂直于平面βD．若平面α⊥平面β，则平面α内所有直线都垂直于平面β【分析】可以通过线面、面面垂直的性质来解决问题，也可以通过举反例来验证．【答案】D【解】对于各个选项，可以通过举反例来判定命题的真假．D选项中，平面α与平面β的交线在平面β内，也在平面α内，即命题不成立，故本题选D.【点评】在解决此类题型时，举反例是快捷的解题办法之一．通过所举反例来否定命题比逐一判定简便．【变式训练】给定下列命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④【例4】设m表示直线，α，β表示不同的平面，则下列命题正确的是()A．若α∥β，m∥α，则m∥βB．若α⊥β，m⊥α，则m∥βC．若α⊥β，m∥α，则m⊥βD．若α∥β，m⊥α，则m⊥β【分析】利用直线与平面平行、垂直的判定定理与性质定理进行解题．【答案】D