智能控制--第5章自适应模糊控制的理论基础

第5章自适应模糊控制模糊控制的突出优点是能够比较容易地将人的控制经验溶入到控制器中，但若缺乏这样的控制经验，很难设计出高水平的模糊控制器。而且，由于模糊控制器采用了IF-THRN控制规则，不便于控制参数的学习和调整，使得构造具有自适应的模糊控制器较困难。自适应模糊控制是指具有自适应学习算法的模糊逻辑系统，其学习算法是依靠数据信息来调整模糊逻辑系统的参数。一个自适应模糊控制器可以用一个单一的自适应模糊系统构成，也可以用若干个自适应模糊系统构成。与传统的自适应控制相比，自适应模糊控制的优越性在于它可以利用操作人员提供的语言性模糊信息，而传统的自适应控制则不能。这一点对具有高度不确定因素的系统尤其重要。自适应模糊控制有两种不同的形式：(1)直接自适应模糊控制:根据实际系统性能与理想性能之间的偏差，通过一定的方法来直接调整控制器的参数；(2)间接自适应模糊控制:通过在线辨识获得控制对象的模型，然后根据所得模型在线设计模糊控制器。5.1模糊逼近5.1.1模糊系统的设计设二维模糊系统为集合上的一个函数，其解析式形式未知。假设对任意一个，都能得到，则可设计一个逼近的模糊系统。模糊系统的设计步骤为：步骤1：在上定义个标准的、一致的和完备的模糊集。)(xg22211,,RUUx)(xgii,2,1iNiiNiiiAAA,,,21步骤2：组建条模糊集IF-THEN规则：21NNM：如果为且为，则为21iiuR1x11iA2x22iAy21iiB其中，2211,,2,1,,,2,1NiNi将模糊集的中心（用表示）选择为21iiB21iiy212121,iiiieegy（5.1）步骤3：采用乘机推理机，单值模糊器和中心平均解模糊器，根据条规则来构造模糊系统21NNMxf112222112211112221N1iN1i2121N1iN1i))()(())()(()x(fxxxxyiAiAiAiAii（5.2）5.1.2模糊系统的逼近精度万能逼近定理表明模糊系统是除多项函数逼近器、神经网络之外的一个新的万能逼近器。模糊系统较之其它逼近器的优势在于它能够有效地利用语言信息的能力。万能逼近定理是模糊逻辑系统用于非线性系统建模的理论基础，同时也从根本上解释了模糊系统在实际中得到成功应用的原因。万能逼近定理令为式（5.2）中的二维模糊系统，为式（5.1）中的未知函数，如果在上是连续可微的，模糊系统的逼近精度为：xfxgxg2111,U2211hxghxgfg(5.3)2,1max111ieehjijiNjii(5.4)式中，无穷维范数定义为。xdxdUxsup由(5.4)式可知：假设的模糊集的个数为，其变化范围的长度为，则模糊系统的逼近精度满足ixiNiL1iiiNLh1iiihLN即：由该定理可得到以下结论：（1）形如式（5.2）的模糊系统是万能逼近器，对任意给定的，都可将和选得足够小，使成立，从而保证。（2）通过对每个定义更多的模糊集可以得到更为准确的逼近器，即规则越多，所产生的模糊系统越有效。（3）为了设计具有预定精度的模糊系统，必须知道关于和的导数边界，即和。同时，在设计过程中，还必须知道在处的值。01h2h2211hxghxgfgxfxgUxsupixxg1x2x1xg2xgxg),(2121iieex2211,,2,1,,,2,1NiNi5.1.3仿真实例实例1针对一维函数，设计一个模糊系统，使之一致的逼近定义在上的连续函数，所需精度为，即。xgxf3,3Uxxgsin2.0xfxgUxsup由于，由式（5.3）可知，，故取满足精度要求。取，则模糊集的个数为。在上定义31个具有三角形隶属函数的模糊集，如图5-1所示。所设计的模糊系统为：1cosxxghhxgfg2.0h2.0h311hLN3,3UjA311311sinjjAjjAjxxexf-3-2-1012300.20.40.60.81xMembershipfunction图5-1隶属函数一维函数逼近仿真程序见chap5_1.m。逼近效果如图5-2和5-3所示：-3-2-10123-1-0.500.51xApproaching图5-2模糊逼近-3-2-10123-505x10-3xApproachingerror图5-3逼近误差实例2针对二维函数，设计一个模糊系统，使之一致的逼近定义在上的连续函数所需精度为。xgxf1,11,1U212106.028.01.052.0xxxxxg1.0由于，由式（5.3）可知，取，时，有满足精度要求。由于，此时模糊集的个数为即和分别在上定义11个具有三角形隶属函数的模糊集。16.006.01.0sup21xxgUx34.006.028.0sup12xxgUx2.01h2.02h1.02.034.02.016.0fg2L111hLN1x2x1,1UjA所设计的模糊系统为：(5.6)该模糊系统由条规则来逼近函数11111121111111211221122121,iiiAiAiiiAiAiixxxxeegxf1211111xg二维函数逼近仿真程序见chap5_2.m。和的隶属函数及的逼近效果如图5-4至5-7所示1x2xxg-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8100.20.40.60.81x1Membershipfunction图5-4的隶属函数1x-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8100.20.40.60.81x2Membershipfunction图5-5的隶属函数2x图5-6模糊逼近图5-7逼近误差5.2间接自适应模糊控制5.2.1问题描述考虑如下阶非线性系统：(5.7)其中和为未知非线性函数，和分别为系统的输入和输出。设位置指令为，令(5.8)nuxxxgxxxfxnnn11,,,,,,fgnRunRymyxyyyemmTneee1,,,e选择，使多项式的所有根部都在复平面左半开平面上。取控制律为(5.9)将(5.9)代入(5.7)，得到闭环控制系统的方程：(5.10)由的选取，可得时，即系统的输出渐进地收敛于理想输出。Tnkk1,,knnnksks11eΚxxTnmyfgu)()(10)1(1)(ekekennnt0)(teymy如果非线性函数和是已知的，则可以选择控制来消除其非线性的性质，然后再根据线性控制理论设计控制器。)(xf)(xgu5.2.2控制器的设计如果和未知，控制律（5.9）很难实现。可采用模糊系统和代替和，实现自适应模糊控制。xfxgxfˆxgˆxfxg1.基本的模糊系统以来逼近为例，可用两步构造模糊系统：步骤1：对变量()，定义个模糊集合()。步骤2：采用以下条模糊规则来构造模糊系统：IFis…ANDisTHENis(5.11)其中，。xfixni,,2,1ipiliAiipl,,2,1niip1fxfˆ:jR1x11lAnxnlA1fˆnllE1iipl,,2,1ni,,2,1采用乘积推理机、单值模糊器和中心平均解模糊器，则模糊系统的输出为(5.12)其中为的隶属函数。11111111111|ˆplplniiAplplniiAllffnnilinnilinxxyxfiAxjiix令是自由参数，放在集合中。引入向量，(5.12)式变为(5.13)其中为维向量，其第个元素为(5.14)nllfy1niipfR1xxfTff|ˆxxniip1nll,11111111plplniiAniiAllnniliilinxxx2.自适应模糊滑模控制器的设计采用模糊系统逼近和，则控制律（5.9）变为(5.15),(5.16)其中为模糊向量，参数和根据自适应律而变化。fgeΚxxTnmfgyfguˆˆ1xxTfff|ˆxxTggg|ˆxTfTg设计自适应律为：(5.17)(5.18)自适应模糊控制系统如图5-8所示。xPbeTf1uTgxPbe2图5-8自适应模糊控制系统3.稳定性分析由式（5.15）代入式（5.7）可得如下模糊控制系统的闭环动态（5.19）令：,（5.20）uggffgfTn)(ˆ)(ˆ)(xxxxeΚe11100000000100000010kkknnΛ1000b则动态方程（5.19）可写为向量形式：(5.21)设最优参数为(5.22)(5.23)其中和分别为和的集合。uggffgf)()(ˆ)()(ˆxxxxbΛeenffRxffffxx|ˆsupminarg*nggRxggggxx|ˆsupminarg*fgfg定义最小逼近误差为(5.24)式（5.21）可写为：（5.25）将式（5.16）代入式(5.25),可得闭环动态方程：（5.26）该方程清晰地描述了跟踪误差和控制参数、之间的关系。自适应律的任务是为、确定一个调节机理，使得跟踪误差和参数误差、达到最小。uggffgfxxxx**|ˆ|ˆuggffggffxxxxbΛeeˆˆˆˆuTggTff)()(xxbΛeefgeffggfg定义Lyapunov函数(5.27)式中，是正常数，为一个正定矩阵且满足Lyapunov方程（5.28）其中是一个任意的正定矩阵，由式（5.20）给出。ggTggffTffTV21212121Pee12PQPΛPΛTQnnΛ取，，。令，则（5.26）式变为：PeeTV211ffTffV1221ggTggV2321uxxbMTggTff)()(MΛeeMMMMMMMVTTTTTTTTTTTTTTTPeQeePePeQeePePeePΛPΛeΛePePeΛeePePee212121212121212121211即的导数为：（5.29）uxxVTTggTTffTTPbePbePbeQee*121fTffV121gTggV*231VuVVVVTgTggTfTffTTxPbexPbePbeQee2*2113211)(121将将自适应律（5.17）和（5.18）代入上式，得：（5.30）由于，通