2.1-矩阵的概念

2.3矩阵的分块第2章矩阵2.1矩阵的概念2.2矩阵的运算2.4矩阵的初等变换2.5矩阵的秩内容小结2.1.2矩阵的定义2.1.1矩阵概念的引入2.1矩阵的概念矩阵的概念3/17矩阵的概念来源于线性方程组,并且与现实生活密切相关.对于mn线性方程组11112211211222221122,,,nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb2.1.1矩阵概念的引入矩阵的概念4/17它的数据按相对位置可以排成m行n1列的矩形数表11121121222212nnmmmnmaaabaaabaaab11112211211222221122,,,nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb2.1.1矩阵概念的引入矩阵的概念5/17例2.1在三家超市M1,M2,M3中,四种食品F1,F2,F3,F4第一周的销售量(单位:kg)如下表所示:F1F2F3F4M11501901100M213015012040M312020014060矩阵的概念6/17三家超市中四种食品一周的销售量可简化成一个三行四列的矩形数表15018011001301501204012020014060其中第i行第j列数字表示在超市Mi中食品Fj一周的销售量,i1,2,3;j1,2,3,4.F1F2F3F4M11501901100M213015012040M312020014060矩阵的概念7/17例2.2某航空公司在1,2,3,4四城市之间开辟了若干航线,如图所示表示四城市间的航线图:如果从i到j有直达航班,则用带箭头的线连接i到j.12341234发站到站0110101010010100②③①④矩阵的概念8/17则航线图可表示为矩形数表0110101010010100.011010101001010012341234矩阵的概念轾犏犏犏犏犏犏臌9/17称为mn矩阵,定义2.1由mn个数aij(i1,2,,m;j1,2,,n)排成的m行n列的矩形数表2.1.2矩阵的定义简记为A[aij]mn,或A[aij],或Amn.一阶矩阵[a]也可以记为a.111212122212nnmmmnaaaaaaaaa矩阵的概念10/17aij称为A的第i行第j列元,简称为A的(i,j)元.元都是实数的矩阵称为实矩阵,mn实矩阵的全体记作mn;元是复数的矩阵称为复矩阵,mn复矩阵的全体记作mn,用mn表示mn或者mn.注“矩阵”这个词是Sylvester于1850年首先使用的.Cayley公认是矩阵论的创立者,1855年首次把矩阵作为一个独立的数学概念提出来.矩阵的概念11/17两个矩阵的行数相等、列数也相等时,称为同型矩阵.例如,为同型矩阵.121435684373i9与如果两个矩阵A[aij]与B[bij]为同型矩阵,并且对应元相等,aijbij(i1,2,,m;j1,2,,n),则称矩阵A与B相等,记作AB.即矩阵的概念12/17(1)1n矩阵(a1,a2,,an)称为行矩阵或行向量.m1矩阵称为列矩阵或列向量.12mbbb(2)元全为零的矩阵称为零矩阵,记作0.元不全为零的矩阵称为非零矩阵.(3)一个元为1、其余元全为零的矩阵称为基本矩阵.(i,j)元为1的基本矩阵记作Eij.不同型的零矩阵是不同的.矩阵的概念13/17(4)行数与列数都为n的矩阵称为n阶矩阵或方阵.例如,是一个3阶复矩阵.1362i222222左上角与右下角间的连线称为它的主对角线,主对角线上的元称为主对角元.而右上角与左下角间的连线称为它的副对角线,副对角线上的元称为副对角元.矩阵的概念14/17kkk.1122nnaaa(5)方阵称为对角矩阵,记作1122diag(,,,)nnaaa.diagonal主对角元全相等的对角矩阵称为数量矩阵,即矩阵的概念15/17111E.11121222;nnnnaaaaaa主对角元全为1的对角矩阵称为单位矩阵,记为(6)主对角线左下方的元都为0的方阵称为上三角矩阵.矩阵的概念16/17主对角线右上方的元都为0的方阵称为下三角矩阵.11212212nnnnbbbbbb.上三角矩阵和下三角矩阵统称为三角矩阵.注1858年,Cayley定义了零矩阵、单位矩阵、矩阵相等.矩阵的概念17/17(1)矩阵的概念(2)特殊矩阵方阵(mn);行矩阵与列矩阵;单位矩阵;对角矩阵;零矩阵;内容小结三角矩阵.数量矩阵;m行m列的一个矩形数表