2.2-矩阵的运算

2.3矩阵的分块第2章矩阵2.1矩阵的概念2.2矩阵的运算2.4矩阵的初等变换2.5矩阵的秩2.2矩阵的运算2.2.1矩阵的线性运算2.2.2矩阵的乘法2.2.3矩阵的幂与多项式2.2.4矩阵的转置2.2.5矩阵的逆内容小结矩阵的运算3/57在例2.1中,设三家超市M1,M2,M3中四种食品F1,F2,F3,F4前两周的销售量(单位：kg)用两个34矩阵表示为1234123FFFF1501801100M13015012040M12020014060MA1234123FFFF11010012020M15030013040M10016015040MB2.2.1矩阵的线性运算矩阵的运算4/57从而这两周内三家超市中四种食品总的销售量可用一个34矩阵表示为2602802302028045025080220360290100C.150180110013015012040,12020014060A110100120201503001304010016015040BC的每个(i,j)元为矩阵A与B的(i,j)元之和.矩阵的运算5/57111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababababab定义2.2设mn矩阵A[aij]和B[bij],称mn矩阵注只有两个矩阵同型时,才能进行加法运算.为矩阵A与B的和,记作AB.矩阵的运算6/57()BBAA.例如,为了比较三家超市中四种食品两周内的销售量,只需求出两矩阵的差定义矩阵A[aij]的负矩阵为[aij],记为A.从而规定矩阵B与A的差为408010202015010020401020BA.矩阵的运算7/5799901081813527011736,9014413536D110100120201503001304010016015040B假设在三家超市中四种食品第三周的销售量均比第二周减少10%,D的每个(i,j)元正好是矩阵B的(i,j)元乘以0.9.那么第三周的销售量用矩阵表示为矩阵的运算8/57111212122211nnmmmnkakakakakakakakaka为矩阵A与数k的乘积,简称数乘,记作kA.定义2.3设有mn矩阵A[aij]和数k,称mn矩阵矩阵的加法与数乘统称为矩阵的线性运算.矩阵的运算9/57;ABBA(1)()();ABCABC(2);AA()03矩阵线性运算的运算规律();AA()041;AA(5)()();klklAA(6)();klklAAA(7)()kkkABAB(8).在矩阵加法中,矩阵0类似数0矩阵的运算10/57例2.3已知34,ABAC其中1102,31A1101,10B求C.解由34,ABAC得43CAAB3(11)3(11)3(00)3(21)3(31)3(10)660963.3()AB矩阵的运算11/57例2.4三家超市M1,M2,M3中四种食品F1,F2,F3,F4的单位售价(单位:元)用矩阵表示为1234123FFFF1771120M1591318M1861516MA2.2.2矩阵乘法甲、乙两人希望在某个超市一次性购齐四种食品,他俩需要四种食品的数量(单位:kg)分别为2,3,2,1和2,1,2,3,那么他们应到哪个超市去采购,所花的钱最少？矩阵的运算12/57甲在每个超市中购齐这四种食品所需的花费:1M:1727311220197,2M:15293132181101,3M:18263152161100;√17711201591318,1861516A2321甲去M1购买比较经济.矩阵的运算13/5717711201591318,1861516A乙在每个超市中购齐这四种食品所需的花费:1M:17271112203123,2M:15291132183119,3M:18261152163120,√乙去M2购买比较经济.2123矩阵的运算14/57甲、乙两人对四种食品的需求量可用一个矩阵表示:他俩在每个超市中购齐四种食品所需的花费可表示为97123101119,100120C2231,2213B矩阵的运算15/57他俩在每个超市中购齐四种食品所需的花费可表示为2231,2213B2231,2213B17711201591318,1861516A97123101119,100120CC的(i,j)元是A的第i行与B的第j列对应元乘积之和.矩阵的运算16/571,2,;1,2,,,imjn定义2.4设A[aij]ms,B[bij]sn为两个矩阵,记为CAB.1122ijijijissjcababab称mn矩阵C[cij]mn为A与B的乘积,注只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘.令1,sikkjkab111211111212212112sjnjniiisssjsnmmmsaaabbbbbbaaabbbaaa矩阵的运算17/573(1,2,3)21例如,没有意义.123168321601589132231[10].矩阵的运算18/57例2.5求AB,其中03410121211130,3110514121AB.解034101212111303110514121AB=.567102621710矩阵的运算19/57矩阵乘法的运算规律(假设运算都有意义),mnmmnmnnAEAAE(4)(2)()()();kkkABABAB()()mnmmnmnnkkkAEAAE.();BCDBDCD()();ABCABC(1)(),ABCABAC(3)注同数的运算一样,矩阵的运算顺序是先算括号,后算乘法或数乘,再算加减法.在矩阵乘法中,矩阵E类似数1.矩阵的运算20/57注矩阵乘法不满足交换律,即ABBA.(1)AB有意义时,BA未必有意义;(2)即使AB,BA皆有意义,两者未必同型,从而未必相等;(3)即使AB,BA皆有意义,且两者同型,也未必有ABBA.注矩阵乘法分为左乘和右乘.矩阵的运算21/57则故ABBA.注从AB0一般不能推出A0或B0.例如,设1111,,0011AB00,00AB11,11BA矩阵的运算22/57如果矩阵A与矩阵B满足ABBA则称矩阵A与B是可交换的例如,对于矩阵1212,,3432AB有56,914AB56,914BA即知ABBA,故A与B是可交换的矩阵的运算23/57下面的例2.6说明它的逆命题也成立.例2.6证明:矩阵A能与所有n阶矩阵可交换的充要条件是A为n阶数量矩阵.由可知()()nnnnnnkkEAAEn阶数量矩阵与任何n阶矩阵都是可交换的.证只需证明必要性设A[aij]与所有n阶矩阵可交换,则A为n阶矩阵.特别地,A与n阶基本矩阵E1j可交换,即E1jAAE1j(j1,2,,n).而矩阵的运算24/5711111111010000000000000,jnjjjjnjjjjnjnjjnnaaaaaaaaaaaaEA1121111112121222120001000000,00000jnnnmmmnaaaaaaaaaaaaAE于是对一切j1,2,,n,有11,0(),jjjkaaakj因此A为n阶数量矩阵.矩阵的运算30/57A1A注只有方阵它的幂才有意义.设A是n阶矩阵定义A的幂为A2AA,Ak1AkA.A0E2.2.3矩阵的幂与多项式不难验证对任何非负整数k,有11112222kkknnnnkaaaaaa.矩阵的运算31/57解例2.7设1001,00cccA求kA.2101001010000ccccccA2222012,00ccccc23222211002010000ccccccccAAA32323303,003cccccc矩阵的运算32/57由此猜测110(2)00kkkkkkckcckckcA.用数学归纳法证明.当k2时,显然成立.假设kn时成立,则kn1时,有2(1)2kkkc?矩阵的运算33/571211(1)2100010000nnnnnnnnnncnccccnccccAAA1111(1)(1)20(1),00nnnnnnnncncccncc矩阵的运算34/57所以对于任意的正整数k2,都有121(1)2000kkkkkkkkkckccckccA.矩阵的运算35/57(1)若A与B不是可交换的,则不一定有(AB)kAkBk.例子如下:222,();ABBAABAB1011,,0101AB(a)设则1001,,0100AB(b)设则222,()ABBAABAB.矩阵的运算36/57(2)如果矩阵A与B可交换则(AB)kAkBk(AB)(AB)A2B2,0011110()CCCCkkkkkkkkkkkABABABABAB.矩阵的运算37/57例2.8计算0kaba.解令00,,000abaAB则A为数量矩阵,()0kkabaAB因此从而ABAB,0011110CCCCkkkkkkkkkkABABABAB.矩阵的运算38/57因为B20,所以B2B3Bk0.于是10kkkabkaAAB110000000kkkkbaakaa11000000kkkkkkakbaakbaaa.矩阵的运算39/57设多项式1110(),mmmmfxaxaxaxa则称1110()mmmmaaaafAAAEA为矩阵A的多项式.注设f(x),g(x)为两个多项式,A是方阵,则f(A)g(A)g(A)f(A),这说明矩阵多项式可像多项式一样相乘和分解因式.A为n阶矩阵,