2.3-分块矩阵

2.3矩阵的分块第2章矩阵2.1矩阵的概念2.2矩阵的运算2.4矩阵的初等变换2.5矩阵的秩内容小结2.3.2分块矩阵的运算2.3.1分块矩阵的概念2.3矩阵的分块2.3.3线性方程组的矩阵表示矩阵的分块3/24A111212122212ttssstAAAAAAAAA常常采用分块技术将大矩阵分成若干个小矩阵.在矩阵A的行之间加入s1条横虚线、列之间加入t1条竖虚线将其分成st个小矩阵,每个小矩阵称为A的子块,把A视为以子块为元的st矩阵,称之为st分块矩阵.2.3.1分块矩阵的概念矩阵的分块4/24例如,对于56矩阵在A的第二行与第三行之间画一条横虚线,第三列与第四列之间画一条竖虚线,204216132457000100000010000001AA1A20E3则A分割成22分块矩阵.(1)按矩阵的特点分块矩阵的分块5/24下面的方阵A可以分块如下:0cos0000sin10000001100001130000210000004AA1A2A3矩阵的分块6/24111212122212nnmmmnaaaaaaaaaA1α2αnα(3)按行分块111212122212nnmmmnaaaaaaaaaA1β2βmβ(2)按列分块矩阵的分块7/24注究竟选择哪种分块方法,这取决于矩阵的特点和问题的需要,应尽可能使得更多的子块成为零矩阵、单位矩阵、对角矩阵或三角矩阵.矩阵的分块8/24与普通矩阵相对应,具有如下形式1112111222212212,,ssssssssAAAAAAAAAAAA1122ssAAA矩阵的分块9/24的分块矩阵依次称为分块上三角矩阵,分块下三角矩阵,分块对角矩阵,其中Aii都是方阵,i1,2,,s.分块上三角矩阵和分块下三角矩阵统称为分块三角矩阵.上述分块对角矩阵记作diag(A11,A22,,Ass).矩阵的分块10/2411111111,,ttsstsstAABBABAABB11111111ttssststABABABABAB.(1)分块矩阵的加法其中Aij,Bij(i1,2,,s;j1,2,,t)为同型矩阵,2.3.2分块矩阵的运算则设矩阵的分块11/24设分块矩阵1111,tsstAAAAAk为常数,则1111tsstkkkkkAAAAA.(2)分块矩阵的数乘矩阵的分块12/24(3)矩阵的乘法其中A的列的分块法和B的行的分块法完全相同,11111111,,trsstttrAABBABAABB1111,rssrCCABCC则这里1(1,2,,;1,2,,)tijikkjkisjrCAB.设矩阵的分块13/24例2.12设矩阵A,B分别为1000001000,121001101020001A2301012001,100000100000100B解213,EAAE0求AB.B的行与A的列的分块法要一致,但B的列可任意分.123,BEBE0矩阵的分块14/241230120B.于是212133EBEABAEE002301012001370121201146120.可以验证:AB直接乘与分块相乘所得的结果一致.11211,20A其中B1E2A1B1E3A1矩阵的分块15/24(4)分块矩阵的转置111212122212,ttssstAAAAAAAAAA则TTT11211TTTT12222TTT12ssttstAAAAAAAAAA.设矩阵的分块16/24(5)分块矩阵的逆利用待定系数法,可以求出某些分块矩阵的逆矩阵.例2.13设A,B均可逆,证明可逆,并求逆.ADCB0解考虑mn阶矩阵设A,B的阶数分别为m,n,1234,XXXXX采用待定系数法.其中X1和X4分别为m阶和n阶矩阵,使得DXEmn,即矩阵的分块17/241234,mnXXEAXXECB000121324,mnAXAXECXBXCXBXE00故121324,,,,mnAXEAXCXBXCXBXE00于是11211314,,,,XAXXBCAXB0矩阵的分块18/24容易验证还有XDEmn.因此11111ADBCAB0.这个结果可以作为公式使用.矩阵的分块19/24应用待定系数法同样可证:分块对角矩阵12sAAAA可逆的充要条件是A1,A2,,As都可逆,111121sAAAA.当A可逆时,矩阵的分块20/242.3.3线性方程组的矩阵表示系数矩阵常数项向量未知量向量11112211211222221122,,,nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb111212122212,nnmmmnaaaaaaaaaAAxb.12,nxxxx12mbbbb.矩阵的分块21/2411121121222211nnmmmnmaaabaaabaaabA,增广矩阵[],|AAb记为[].AAb或注1861年,Smith引进了增广矩阵.对方程组做初等变换时,只是对系数和常数项进行了运算,未知量实质上没有参与运算.这等同于对增广矩阵的行做相应的变换.矩阵的分块22/241212[],nnxxxαααb1122nnxxx.αααb12[],nAααα如果将系数矩阵A按列分块为即则线性方程组Axb可写作矩阵的分块23/24在mn线性方程组Axb中,将未知量向量x换成ns未知量矩阵X、常数项向量b换成ms矩阵B,就得到所谓的矩阵方程AXB,并且称[AB]为增广矩阵.矩阵的分块24/24分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似:(1)加法同型矩阵,采用相同的分块法.(2)数乘数k乘矩阵,需数k乘矩阵的每个子块.(3)乘法要求A的列分块法和B的行分块法一致.(4)转置行变为相应的列,每个子块都转置.(5)分块对角阵和分块三角矩阵的逆矩阵.(6)线性方程组的矩阵表示,矩阵方程内容小结