2014高考函数的奇偶性与周期公式推导方法

1迎战2014年高考数学函数的奇偶性与周期公式推导方法一、奇函数、偶函数对于函数)(xf，其定义域关于原点对称：1、对于函数)(xf的定义域内任意一个x，都有f（－x）=－f（x）〔或f（x）+f（－x）=0〕，则称)(xf为奇函数.2、对于函数)(xf的定义域内任意一个x，都有f（－x）=f（x）〔或f（x）－f（－x）=0〕，则称)(xf为偶函数.二、判断函数的奇偶性1、定义法①判断有解析式的函数的奇偶性例1、判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（1+x）·11xx；（3）21()|2|2xfxx；（4）(1)(0),()(1)(0).xxxfxxxx剖析：根据函数奇偶性的定义进行判断.解：（1）函数的定义域x∈（－∞，+∞），对称于原点.∵f（－x）=|－x+1|－|－x－1|=|x－1|－|x+1|=－（|x+1|－|x－1|）=－f（x），∴f（x）=|x+1|－|x－1|是奇函数.先确定函数的定义域.由11xx≥0，得－1≤x＜1，其定义域不对称于原点，所以)(xf既不是奇函数也不是偶函数。解：：函数1()(1)1xfxxx定义域－1＜x＜1∵1()(1)1xfxxx＝221.(1)11xxxx2∴22()1()1()fxxxfx∴1()(1)1xfxxx是偶函数（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.由,02|2|,012xx得.40,11xxx且故f（x）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x+2＞0.从而有f（x）=2122xx=21xx，这时有f（－x）=21()xx=－21xx=－f（x），故f（x）为奇函数.（4）∵函数f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x＞0时，－x＜0，∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1+x）=－f（x）（x＞0）.当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）.故函数f（x）为奇函数.评述：（1）分段函数的奇偶性应分段证明.（2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.②证明抽象函数的奇偶性例2、已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足：f（a·b）=af（b）+bf（a）．求f（0），f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论．分析：应用公式f（a·b）=af（b）+bf（a），取a、b的一些特殊的值进行计算．解：（1）f（0）=f（0·0）=0·f（0）+0·f（0）=0；由f（1）=f（1·1）=1·f（1）+1·f（1），得f（1）=0．（2）f（x）是奇函数．证明：因为f（1）=f［（－1）2］=－f（－1）－f（－1）=0，所以f（－1）=0，f（－x）=f（－1·x）=－f（x）+xf（－1）=－f（x）．因此，f（x）为奇函数．3点评：研究抽象函数的奇偶性，应紧紧围绕题目所给的抽象函数的性质进行研究．如果觉得所给抽象函数的性质符合某些已知函数（如二次函数等）的性质，可以用已知函数替代抽象函数进行思考，探索求解思路。例3、定义在区间)1,1(上的函数)(xf满足：对任意的)1,1(,yx，都有()()()1xyfxfyfxy.求证：()fx为奇函数；[思路点拨]欲证明()fx为奇函数，就要证明()()fxfx，但这是抽象函数，应设法充分利用条件“对任意的)1,1(,yx，都有()()()1xyfxfyfxy”中的yx,进行合理“赋值”[解析]令x=y=0，则f(0)+f(0)=00()10f=f(0)∴f(0)=0令x∈(－1,1)∴－x∈(－1,1)∴)(xf+f(－x)=f(21xxx)=f(0)=0∴f(－x)=－()fx∴()fx在(－1，1)上为奇函数点评：对于抽象函数的奇偶性问题，解决的关键是巧妙进行“赋值”，而抽象函数的不等式问题，要灵活利用已知条件，尤其是f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)奇偶函数的性质及其应用1、奇偶函数图象的对称性（1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。（2）若)(xafy是偶函数)()(xafxaf)(xf的图象关于直线ax对称；若)(xbfy是奇函数)()(xbfxbf)(xf的图象关于点)0,(b中心对称；4例、若函数)(xf在),4(上为减函数，且对任意的Rx，有)4()4(xfxf，则A、)3()2(ffB、)5()2(ffC、)5()3(ffD、)6()3(ff2、（1）偶函数的和、差、积、商（分母不为0）仍为偶函数。（2）奇函数的和、差仍为奇函数，奇数（偶数）个奇函数的积、商（分母不为0）为奇（偶）函数。（4）奇函数与偶函数的积为奇函数。（5）定义在（－∞，+∞）上的任意函数)(xf都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和。（1）若)(xf是奇函数且在0x处有定义，则0)0(f。（逆否命题可判断一个函数不是奇函数）（2）奇函数的反函数也为奇函数。（3）若0)(xf，则)(xf既是奇函数又是偶函数，若)0()(mmxf,则)(xf是偶函数。函数的周期性1、定义：对于函数()fx，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足)()(xfTxf，那么函数()fx就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。周期性不仅仅是三角函数的专利，抽象函数的周期性是高考热点，主要难点是抽象函数周期的发现，主要有几种情况：2、抽象函数的周期（1）若函数)(xf满足)()(xbfxaf)(ba，则)(xf的周期是Tba（2）若函数)(xf满足)()(xbfxaf)(ba，则)(xf的周期是2Tba（3）若函数)(xf满足1)()(xbfxaf)(ba，则)(xf的周期是2Tba（4）函数图象有ax，)(babx两条对称轴型，即()fxa=()fax，()fbx=()fbx，则()fx的周期是2Tba（5）函数()fx满足1()()()1()fxafxaabfxb，则()fx的周期是2Tba5证明：（1）（2）对于定义域中任意x满足)(0)()(baxbfxaf，则有)()]22([xfabxf，故函数)(xf的周期是)(2abT（3）若)(1)()(babxfaxf，则得)]22()2[()2(abaxfaxf，所以函数)(xf的周期是abT22；同理若)(1)()(babxfaxf，则)(xf的周期是)(2abT（4）函数图象有ax，)(babx两条对称轴，即)()(xafxaf，)()(xbfxbf，从而得)()]22([xfabxf，故函数)(xf的周期是)(2abT（5）由)()(1)(1)(babxfbxfaxf得)2(1)2(bxfaxf，进而得1)2()2(bxfaxf，由前面的结论得)(xf的周期是)(4abT例、已知定义在R上的偶函数()fx满足(2)()1fxfx对于xR恒成立，且()0fx，则(119)f[解析]由(2)()1fxfx得到)(1)2(xfxf，从而得)()4(xfxf，可见)(xf是以4为周期的函数，从而)3()3294()119(fff，又由已知等式得)1(1)3(ff又由()fx是R上的偶函数得)1()1(ff，又在已知等式中令1x得1)1()1(ff，即1)1(f，所以1)119(f例、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x)，则f(6)的值为（）．A．－1B.0C.1D.26函数的周期公式推导步骤及习题f(x+a)=-f(x),f(x+a)=1f(x),f(x+a)=-1f(x),这几个式子的周期为什么是2a?1.f(x+a)=-f(x)2.f(x+a)=1f(x)3.f(x+a)=-1f(x)4.f(x+a)=f(x)+1f(x)-15.f(x+a)=f(x+a)=1-f(x)1+f(x)6.f(x+a)=f(x+a)=f(x-a)这几个式子的周期为什么是2a?推导步骤如下1.f(x+a)=-f(x)............(1)两边x用x-a代左边=f(x)=右边=-f(x-a)................(2)把(2)带入(1)得f(x+a)=-f(x)=f(x-a)即f(x+a)=f(x-a)x用x+a代得f(x)=f(x+2a)所以周期是2a这类的题目都是x用另一个函数带只要最后是f(x)=f(x+周期)习题练习1.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x+4)=f(x)，当x∈（0.2）时，f(x)＝2x2则，f(7)＝（）A.-2B.2C.-98D.9872.设定义在R上的函数f(x)满足f(x).f(x+2)＝13.若f(1)＝2求f(99)＝A.13B.2C.13/2D.2/133.已知f(x)在R上是奇函数，且f(x)满足f(x+2)=-f(x)，f(6)＝（）A.－1B.0C.1D.24.设f(x)在R上是任意函数，下列叙述是正确的是（）A.f(x).f(-x)是奇函数B.f(x).|f(-x)|是奇函数C.f(x)-f(-x)是偶函数D.f(x)+f(-x)是偶函数