2014高考数学(全国通用)二轮复习钻石卷专题综合测试2Word版含解析

无限精彩在大家专题二综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为()A．－3B．－1C．1D．3解析由题意可知tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－3.答案A2．若tanα＝3，则sin2αcos2α的值等于()A．2B．3C．4D．6解析sin2αcos2α＝2sinαcosαcos2α＝2tanα＝6.答案D3．把函数y＝sin(ωx＋φ)(其中φ是锐角)的图象向右平移π8个单位，或向左平移38π个单位都可以使对应的新函数成为奇函数，则ω＝()A．2B．3C．4D．1解析由题意知，函数的周期T＝238π＋π8＝π，无限精彩在大家∴ω＝2ππ＝2.答案A4．(2013·天津卷)在△ABC中，∠ABC＝π4，AB＝2，BC＝3，则sin∠BAC＝()A.1010B.105C.31010D.55解析由余弦定理得AC2＝9＋2－2×3×2×22＝5，所以AC＝5，由正弦定理ACsin∠ABC＝BCsin∠BAC，得sin∠BAC＝31010.答案C5．(2013·全国大纲卷)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝()A．－4B．－3C．－2D．－1解析(m＋n)⊥(m－n)，得(m＋n)·(m－n)＝0，即m2－n2＝0，(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0，解得λ＝－3，故选B.答案B6.无限精彩在大家＝sin(ωx＋φ)ω0，|φ|π2的部分图象如图所示，则()A．ω＝1，φ＝π6B．ω＝1，φ＝－π6C．ω＝2，φ＝π6D．ω＝2，φ＝－π6解析由题图知：T4＝7π12－π3＝π4，∴T＝π，∴ω＝2.又2×π3＋φ＝π2，∴φ＝－π6.答案D7．(2012·湖南)函数f(x)＝sinx－cosx＋π6的值域为()A．[－2,2]B．[－3，3]C．[－1,1]D.－32，32无限精彩在大家解析∵f(x)＝sinx－cosx＋π6＝sinx－cosxcosπ6＋sinxsinπ6＝sinx－32cosx＋12sinx＝332sinx－12cosx＝3sinx－π6(x∈R)，∴f(x)的值域为[－3，3]．答案B8．(2012·江西)已知f(x)＝sin2x＋π4，若a＝f(lg5)，b＝flg15，则()A．a＋b＝0B．a－b＝0C．a＋b＝1D．a－b＝1解析f(x)＝121－cos2x＋π2＝1＋sin2x2，∴a＝12＋sin2lg52，b＝12＋sin2lg152＝12－sin2lg52，因此，a＋b＝1.答案C9．在△ABC中，cos2A2＝b＋c2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为()A．正三角形B．直角三角形无限精彩在大家．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形解析∵cos2A2＝b＋c2c，∴1＋cosA2＝b＋c2c，∴1＋b2＋c2－a22bc＝b＋cc，化简得a2＋b2＝c2，故△ABC是直角三角形．答案B10．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)ω0，|φ|π2的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则()A．f(x)在0，π2单调递减B．f(x)在π4，3π4单调递减C．f(x)在0，π2单调递增D．f(x)在π4，3π4单调递增解析y＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝2sinωx＋φ＋π4.由最小正周期为π得ω＝2.又由f(－x)＝f(x)可知f(x)为偶函数，|φ|π2可知φ＝π4，所以y＝2cos2x在0，π2单调递减．答案A11．(2013·福建卷)在四边形ABCD中，AC→＝(1,2)，BD→＝(－4,2)，无限精彩在大家则该四边形的面积为()A.5B．25C．5D．10解析因为AC→·BD→＝1×(－4)＋2×2＝0，所以AC→⊥BD→，所以该四边形ABCD的面积为12|AC→||BD→|＝12×5×20＝5.答案C12．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．如果a，b，c成等差数列，B＝30°，△ABC的面积为32，那么b等于()A.3B．1＋3C．2＋3D．2＋33解析∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.①∵B＝30°，△ABC的面积为32，∴S△ABC＝12ac·sinB＝12ac·sin30°＝14ac＝32，得ac＝6.②由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac＝32，即a2＋c2－b2＝3ac.③联立①②③可得b＝1＋3.答案B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．13．(2013·四川卷)设sin2α＝－sinα，α∈π2，π，则tan2α的值是无限精彩在大家．解析由sin2α＝－sinα，得2sinαcosα＝－sinα，由α∈π2，π，所以sinα≠0，从而cosα＝－12，所以α＝23π，tan2α＝tan43π＝3.答案314．(2013·安徽卷)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝________.解析3sinA＝5sinB，由正弦定理得3a＝5b，令a＝5m，则b＝3m，又b＋c＝2a，得c＝7m，由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝5m2＋3m2－7m22×5m×3m＝－12，所以C＝23π.答案23π15．(2013·北京卷)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝________.解析以向量a和b的交点为原点建立直角坐标系，则a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)，由c＝λa＋μb，得(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3计算得λ＝－2，μ＝－12，无限精彩在大家所以λμ＝4答案416．已知函数f(x)＝2sinxcos|x|(x∈R)，则下列叙述：①f(x)的最大值是1；②f(x)是奇函数；③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)是以π为最小正周期的函数．其中正确的为________．解析∵cosx＝cos(－x)＝cos|x|，∴f(x)＝2sinxcos|x|＝2sinxcosx＝sin2x.因此，f(x)的最大值为1，且f(x)为奇函数．其周期T＝2π2＝π，∴①②④命题正确；又∵f(x)＝sin2x，令－π2≤2x≤π2，得－π4≤x≤π4，∴其一个增区间为－π4，π4，而[0,1]⃘－π4，π4，∴③错误．答案①②④三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题10分)(2013·临沂一模)已知f(x)＝cosx－3π4－sinx－5π4.(1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)若f(α)＝85，求sin2α－2sin2α1－tanα的值．无限精彩在大家解(1)f(x)＝cosx－34π－sinx－54π＝sinx－π4＋sinx－π4＝2sinx－π4.∴f(x)的最小正周期为2π，最小值为－2.(2)由f(α)＝85，得sinα－π4＝45.∴22(sinα－cosα)＝45，∴2sinαcosα＝－725.∴sin2α－2sin2α1－tanα＝2sinαcosα－sinα1－sinαcosα＝2sinαcosα－sinαcosα－sinαcosα＝2sinαcosα＝－725.18．(本小题12分)(2013·辽宁卷)设向量a＝(3sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈0，π2.(1)求|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．解(1)由|a|2＝(3sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，|b|2＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，由|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x∈0，π2，从而sinx＝12，所以x＝π6.(2)f(x)＝a·b＝3sinx·cosx＋sin2x无限精彩在大家＝32sin2x－12cos2x＋12＝sin2x－π6＋12，当x＝π3∈0，π2时，sin2x－π6取最大值1.所以f(x)的最大值为32.19．(本小题12分)(2013·山东卷)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝79.(1)求a，c的值；(2)求sin(A－B)的值．解(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，又b＝2，a＋c＝6，cosB＝79，所以ac＝9.解得a＝3，c＝3.(2)在△ABC中，sinB＝1－cos2B＝429，由正弦定理得sinA＝asinBb＝223.因为a＝c，所以A为锐角，所以cosA＝1－sin2A＝13.因此sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝10227.20．(本小题12分)(2013·湖北卷)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos2A－3cos(B＋C)＝1.(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积S＝53，b＝5，求sinBsinC的值．解(1)由cos2A－3cos(B＋C)＝1，无限精彩在大家＋3cosA－2＝0，(2cosA－1)(cosA＋2)＝0，解得cosA＝12或cosA＝－2(舍去)．因为0Aπ，所以A＝π3.(2)由S＝12bcsinA＝12bc·32＝34bc＝53，得bc＝20.及b＝5，知c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋16－20＝21，故a＝21.又由正弦定理得sinBsinC＝basinA·casinA＝bca2sin2A＝2021×34＝57.21．(本小题12分)郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D.(1)求AB的长度；(2)若环境标志的底座每平方米造价为5000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低，说明理由，最低造价为多无限精彩在大家少？解(1)在△ABC中，由余弦定理得cosC＝AC2＋BC2－AB22AC·BC＝82＋52－AB22×8×5，①在△ABD中，由余弦定理得cosD＝AD2＋BD2－AB22AD·BD＝72＋72－AB22×7×7，②由∠C＝∠D，得cosC＝cosD，解得AB＝7，所以AB的长度为7米．(2)小李的设计使建造费用最低．理由如下：易知S△ABD＝12AD·BDsinD，S△ABC＝12AC·BCsinC，因为AD·BDAC·BC，且∠C＝∠D，所以S△ABDS△ABC.故选择△ABC的形状建造环境标志费用较低．因为AD＝BD＝AB＝7，所以△