2014高考数学(理)一轮总复习(人教新课标)配套单元测试第六章数列Word版含解析

第1页共25页第六章数列单元测试一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)1．若{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝()A．－2B．－12C.12D．2答案B解析由等差中项的定义结合已知条件可知2a4＝a5＋a3，∴2d＝a7－a5＝－1，即d＝－12.故选B.2．在等比数列{an}中，若a3a5a7a9a11＝243，则a29a11的值为()A．9B．1C．2D．3答案D解析由等比数列性质可知a3a5a7a9a11＝a57＝243，所以得a7＝3，又a29a11＝a7a11a11＝a7，故选D.3．（2013·广东模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a5＝12S5，且a9＝20，则S11＝()A．260B．220C．130D．110答案D解析∵S5＝a1＋a52×5，又∵12S5＝a1＋a5，∴a1＋a5＝0.∴a3＝0，∴S11＝a1＋a112×11＝a3＋a92×11＝0＋202×11＝110，故选D.4．各项均不为零的等差数列{an}中，若a2n－an－1－an＋1＝0(n∈N*，n≥2)，第2页共25页则S2009等于()A．0B．2C．2009D．4018答案D解析各项均不为零的等差数列{an}，由于a2n－an－1－an＋1＝0(n∈N*，n≥2)，则a2n－2an＝0，an＝2，S2009＝4018，故选D.5．数列{an}是等比数列且an0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于()A．5B．10C．15D．20答案A解析由于a2a4＝a23，a4a6＝a25，所以a2·a4＋2a3·a5＋a4·a6＝a23＋2a3a5＋a25＝(a3＋a5)2＝25.所以a3＋a5＝±5.又an0，所以a3＋a5＝5.所以选A.6．首项为1，公差不为0的等差数列{an}中，a3，a4，a6是一个等比数列的前三项，则这个等比数列的第四项是()A．8B．－8C．－6D．不确定答案B解析a24＝a3·a6⇒(1＋3d)2＝(1＋2d)·(1＋5d)⇒d(d＋1)＝0⇒d＝－1，∴a3＝－1，a4＝－2，∴q＝2.∴a6＝a4·q＝－4，第四项为a6·q＝－8.7．设函数f(x)满足f(n＋1)＝2fn＋n2(n∈N*)，且f(1)＝2，则f(20)＝()A．95B．97C．105D．192答案B第3页共25页解析f(n＋1)＝f(n)＋n2，∴f20＝f19＋192，f19＝f18＋182，……f2＝f1＋12.累加，得f(20)＝f(1)＋(12＋22＋…＋192)＝f(1)＋19×204＝97.8．若ax－1，ay，a－x＋1(a0，且a≠1)成等比数列，则点(x，y)在平面直角坐标系内的轨迹位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案D解析∵成等比，∴(ay)2＝ax－1·a－x＋1.即2y＝x－1－x＋1，x－10，∴x1.x－1x＋1，∴y0，∴位于第四象限．9．已知等比数列{an}的公比q0，其前n项的和为Sn，则a9S8与a8S9的大小关系是()A．a9S8a8S9B．a9S8a8S9C．a9S8≥a8S9D．a9S8≤a8S9答案A解析a9S8－a8S9＝a9a11－q81－q－a8a11－q91－q＝a8a1q－q9－1＋q91－q＝－a1a8＝－a21q7，因为a210，q0，所以－a21q70，即a9S8a8S9，故选A.10．在等差数列{an}中，前n项和为Sn，且S2011＝－2011，a1007＝3，则S2012的值为()A．1006B．－2012C．2012D．－1006答案C解析方法一设等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意可得，第4页共25页S2011＝2011a1＋2011×2011－12d＝－2011，a1007＝a1＋1006d＝3，即a1＋1005d＝－1，a1＋1006d＝3，解得a1＝－4021，d＝4.所以，S2012＝2012a1＋2012×2012－12d＝2012×(－4021)＋2012×2011×2＝2012×(4022－4021)＝2012.方法二由S2011＝2011a1＋a20112＝2011a1006＝－2011，解得a1006＝－1，则S2012＝2012a1＋a20122＝2012a1006＋a10072＝2012×－1＋32＝2012.二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)11．若m，n，m＋n成等差数列，m，n，m·n成等比数列，则椭圆x2m＋y2n＝1的离心率为________．答案22解析由题意知2n＝m＋m＋n，∴n＝2m.又n2＝m·m·n，∴n＝m2，∴m2＝2m.∴m＝2，∴n＝4，∴a2＝4，b2＝2，c2＝2.∴e＝ca＝22.12．数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若SnTn＝2n3n＋1，则a100b100＝________.答案199299第5页共25页解析a100b100＝a1＋a1992b1＋b1992＝S199T199＝199299.13．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于________．答案2解析∵S3＝a1＋a3×32＝6，而a3＝4，∴a1＝0.∴d＝a3－a12＝2.14．某人从2012年1月份开始，每月存入银行100元，月利率是3‰(不计复利)，到2012年12月底取出的本利和应是________元．答案1223.4解析应为1200＋0.3×12＋0.3×11＋…＋0.3＝1200＋0.3×12×132＝1223.4(元)．15．已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2·a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an·an＋1·an＋219的最大正整数n的值为________．答案4解析设等比数列{an}的公比为q，其中q0，依题意得a23＝a2·a4＝4.又a30，因此a3＝a1q2＝2，a1＋a2＝a1＋a1q＝12，由此解得q＝12，a1＝8，an＝8×(12)n－1＝24－n，an·an＋1·an＋2＝29－3n.由于2－3＝1819，因此要使29－3n19，只要9－3n≥－3，即n≤4，于是满足an·an＋1·an＋219的最大正整数n的值为4.16．等比数列{an}的首项为a1＝1，前n项和为Sn，若S10S5＝3132，则公比q等于________．答案－12解析因为S10S5＝3132，所以S10－S5S5＝31－3232＝－132，即q5＝(－12)5，所以q＝第6页共25页－12.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)数列{an}中，a1＝1，an，an＋1是方程x2－(2n＋1)x＋1bn＝0的两个根，求数列{bn}的前n项和Sn.答案Sn＝nn＋1解析∵an，an＋1是x2－(2n＋1)x＋1bn＝0的两根，∴an＋an＋1＝2n＋1，an·an＋1＝1bn.∴an＋1＋an＋2＝2n＋3.∴an＋2－an＝2.∴a3－a1＝2，a5－a3＝2，……a2n－1－a2n－3＝2.∴a2n－1－a1＝2(n－1)．∴a2n－1＝2n－1，∴当n为奇数时，an＝n.同理可得当n为偶数时an＝n.∴an＝n.∴bn＝1an·an＋1＝1nn＋1＝1n－1n＋1.∴Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.18．(本小题满分12分)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.(1)求数列{bn}的通项公式；第7页共25页(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列{Sn＋54}是等比数列．答案(1)bn＝54·2n－1＝5·2n－3(2)略解析(1)设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)．故{bn}的第3项为5，公比为2.由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝54.所以{bn}是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为bn＝54·2n－1＝5·2n－3.(2)数列{bn}的前n项和Sn＝541－2n1－2＝5·2n－2－54，即Sn＋54＝5·2n－2.所以S1＋54＝52，Sn＋1＋54Sn＋54＝5·2n－15·2n－2＝2.因此{Sn＋54}是以52为首项，公比为2的等比数列．19．(本小题满分12分)已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列，求：(1)p，q的值；(2)数列{xn}的前n项的和Sn的公式．解析(1)由x1＝3，得2p＋q＝3，又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4，得3＋25p＋5q＝25p＋8q，解得p＝1，q＝1.(2)Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋…＋n)＝2n＋1－2＋nn＋12.第8页共25页20．(本小题满分12分)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝2(1a1＋1a2)，a3＋a4＋a5＝64(1a3＋1a4＋1a5)．(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝(an＋1an)2，求数列{bn}的前n项和Tn.解析(1)设{an}的公比为q，则an＝a1qn－1.由已知，有a1＋a1q＝21a1＋1a1q，a1q2＋a1q3＋a1q4＝641a1q2＋1a1q3＋1a1q4，化简，得a21q＝2，a21q6＝64.又a10，故q＝2，a1＝1.所以an＝2n－1.(2)由(1)知，bn＝an＋1an2＝a2n＋1a2n＋2＝4n－1＋14n－1＋2.因此，Tn＝(1＋4＋…＋4n－1)＋(1＋14＋…＋14n－1)＋2n＝1－4n1－4＋1－14n1－14＋2n＝13(4n－41－n)＋2n＋1.21．(本小题满分12分)某企业2010年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不进行技术改造，预测从2011年起每年比上一年纯利润减少20万元，2011年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年(2011年为第一年)的利润为500(1＋12n)万元(n为正整数)．(1)设从2011年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(须扣除技术改造资金)，求An，Bn的表达式；(2)依上述预测，从2011年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累第9页共25页计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？思路(1)An是一个等差数列的前n项和，Bn是一个常数数列和一个等比数列的组合的前n项和，根据数列的求和公式，就可以求出An，Bn的表达式．(2)建模BnAn，解这个关于n的不等式．解析(1)依题意知，An是一个以480为首项，－20为公差的等差数列的前n项和，所以An＝480n＋nn－12×(－20)＝490n－10n2，Bn＝500(1＋12)＋500(1＋122)＋…＋500(1＋12n)－600＝500n＋500(12＋122＋…＋12n)－600＝500n＋500×12[1－12n]1－12－600＝500n－5002n－100.(2)依题意得，BnAn，即500n－5002n－100490n－10n2，可化简得502nn2＋n－10.∴可设f(n)＝502n，g(n)＝n2＋n－10.又∵