2016年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准

12016年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月8日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分）1．若集合2120Axxx，101xBxx，CxxAxB且，则集合C（）A．3114，，B．3114，，C．3114，，D．3114，，【答案】D【解答】依题意，212034Axxx，，10(11)1xBxx，。由xA，知34x；xB，知1x或1x。所以，31x或14x，即3114C，，。2．已知直线1l：(2)310mxmy与直线2l：(2)(2)40mxmy（0m）相互垂直，垂足为P，O为坐标原点，则线段OP的长为（）A．5B．2C．3D．2【答案】D【解答】由12ll知，(2)(2)(2)30mmmm，结合0m，得230mm，12m。∴1l方程为531022xy，即5320xy；2l方程为：354022xy，即3580xy。由53203580xyxy，得11xy。因此，(11)P，，线段OP长为2。3．如图，在三棱锥PABC中，PAB△，PBC△均为等边三角形，且ABBC。则二面角APCB的余弦值为（）A．23B．33C．63D．13【答案】B【解答】如图，取AC中点O，PC中点D，连结OP，OB，OD，DB。不妨设2AB，则由条件知，2PAPC，22AC。∴PAPC，122OPACOC。∴ODPC。又BDPC，故BDO是二面角APCB的平面角。在BOD△中，由2OB，1OD，3BD，得90BOD，13cos33ODBDOBD。ABCPABCPOD（第3题）2∴二面角APCB的余弦值为33。4．若函数2243()2log3axxxfxxx，，，，（0a，且1a）的值域为3，，则实数a的取值范围为（）A．13，B．(13)，C．(3)，D．3，【答案】A【解答】∵3x时，函数22()24(1)3fxxxx的值域为3，，∴3x时，2log3ax，即3x时，log1logaaxa。∴1a，且3x时，xa恒成立。∴13a，a的取值范围为13，。5．如图，在四面体PABC中，已知PA、PB、PC两两互相垂直，且3PAPBPC。则在该四面体表面上与点A距离为23的点形成的曲线段的总长度为（）A．3B．33C．532D．332【答案】D【解答】如图，设23AEAFAG（E在AB上，F在PB上，G在PC上）。由PAPB，PAPC，PBPC，3PAPBPC，知3PFPG，6PAF，4612EAF。∴在面PAB内与点A距离为23的点形成的曲线段（图中弧EF）长为323126。同理，在面PAC内与点A距离为23的点形成的曲线段长为36。又在面ABC内与点A距离为23的点形成的曲线段长为232333。在面PBC内与点A距离为23的点形成的曲线段（图中弧FG）长为3322。∴四面体表面上与点A距离为23的点形成的曲线段的总长度为332333366322。6．()fx是定义在R上的函数，若(0)1f，且对任意xR，满足(2)()2fxfx，(6)()6fxfx，则(2016)f（）A．2013B．2015C．2017D．2019【答案】CACBP（第5题）3【解答】∵对任意xR，满足(2)()2fxfx，∴(6)()(6)(4)(4)(2)(2)()6fxfxfxfxfxfxfxfx。又(6)()6fxfx。因此，(6)()6fxfx，(6)()6fxfx。∴(6)()6fxkfxk，*kN。∴(2016)(06336)(0)6336120162017fff。二、填空题（每小题6分，共36分）7．已知实数x，y满足226440xyxy，记2224xyxy的最大值为M，最小值为m，则Mm。【答案】72【解答】设()Pxy，，由226440xyxy知，22(3)(2)9xy。因此，点P在以1(32)C，为圆心，3为半径的圆上。又222224(1)(2)5xyxyxy，设2(12)C，，则225CP。∵2max213423CPCC，2min213423CPCC。∴2(423)5M，2(423)5m，72Mm。注本题也可以三角换元法。由22(3)(2)9xy，设33cosx，23siny，代入后求最值。8．过直线2yx上一点P作圆C：225(3)(1)4xy的切线PA、PB，A、B为切点。若直线PA、PB关于直线2yx对称，则线段CP的长为。【答案】5【解答】由切线PA、PB关于直线PC关于对称，以及切线PA、PB关于直线2yx对称知，直线2yx与直线PC与重合或垂直。由点C不在直线2yx上知，PC与直线2yx垂直。设(2)Ptt，，则21132tt，1t。∴(12)P，，5CP。9．已知正四棱锥PABCD的底面边长为6，侧棱长为5，I为侧面PCD△的内心，则四棱锥IABCD的体积为。【答案】972【解答】如图，取BC中点E，连结PE，由条件知在PCD△中，5PCPD，6CD。∴I在线段PE上，且53PIPCIECE。∴38IEPE。∴2223319765(32)8832IABCDPABCDVV。10．已知()fx是偶函数，0x时，()fxxx（符号x表示不超过x的最OECADBPI4大整数），若关于x的方程()fxkxk（0k）恰有三个不相等的实根，则实数k的取值范围为。【答案】1132，【解答】作出函数()yfx与ykxk的草图（如图所示）。易知直线ykxk恒过点(10)，，1x是方程()fxkxk的一个根。从图像可知，当10102(1)1(1)k，即1132k时，两个函数的图像恰有三个不同的交点。∴k的取值范围为1132，。11．方程2(1)(1)1xyxyz（xy）的正整数解()xyz，，为。（写出所有可能的情况）【答案】(135)，，，(373)，，【解答】依题意，2221xyxyxyz。∴(2221)xyxyxy，(221)xyxy，221xyxy。由xy，知1xy，因此，2214xyy。∴4x，1x，2，3。若1x，则(23)yy，3y，3y。将1x，3y代入题中方程，得153z，5z。若2x，则2(25)yy，25y。由2y知，y不存在。若3x，则3(27)yy。所以，327yy，又3y，因此，4y，5，6，7。经验证只有7y符合3(27)yy。将3x，7y代入题中方程，得6321z，3z。∴符合条件的正整数解有()(135)xyz，，，，或(373)，，。12．已知0a，0b，0c，则5823232bcacbcabbcca的最小值为。【答案】6【解答】设abx，23bcy，2caz，则0x，0y，0z。且4237xyza，3237xyzb，227xyzc。∴5bcxyz，82424acxyz，3bcxyz。∴5823424232bcacbcxyzxyzxyzmabbccaxyz4444(1)(2)(1)()()()442446yzxzxyyxzxzyxxyyzzxyxzyz当且仅当4yxxy，zxxz，4zyyz，即2yx，zx，2yz，即2yx，zx时等号成立。（如57xz，14y，即3a，4b，2c时等号成立）。∴5823232bcacbcabbcca的最小值为6。三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分）13．已知()lnfxx，2()241gxxaxa。（1）若函数(())fgx在区间13，上为单调函数，求实数a的取值范围；（2）若函数(())gfx在区间31e，上的最小值为2，求实数a的值。【答案】（1）依题意，2(())ln(241)fgxxaxa。由(())fgx在区间13，上为单调函数，知()gx在区间13，上是单调函数，且()0gx。∴1(1)124120agaaa或3(3)9641820agaaa。…………4分∴01a或34a。∴实数a的取值范围是0134，，。………………………8分（2）2(())ln2ln41gfxxaxa。设lnxt，则03t，222(())241()41gfxtatataaa。设22()()41httaaa，03t………………………12分则0a时，()ht的最小值为(0)41ha。由412a，得14a，符合要求。03a时，()ht的最小值为2()41haaa。由2412aa，得25a，不符合要求，舍去。3a时，()ht的最小值为(3)964182haaa。由822a，得5a，符合要求。综合，得14a或5a。……………………………16分14．已知2()(2)fxxaxa（aR）。（1）若()0fx在区间(31)，内有两个不同的实数根，求实数a的取值范围；（2）若1x时，()0fx恒成立，求实数a的取值范围。【答案】（1）依题意，有22(2)4402312(3)93(2)230(1)1(2)320aaaafaaafaaa△。……………4分解得3322a。∴a的取值范围为33()22，。………………………8分（2）∵1x时，()0fx恒成立，6∴1x时，2(2)0xaxa，即2(1)2xaxx恒成立。∴1x时，221xxax恒成立。………………………12分设1tx，则2t，222111xxttxtt。由1ytt在(2)，上为增函数，知1ytt的值域为3()2，。∴32a，即a的取值范围为32，。………………………16分另解：由（1）知，22(2)440aaa△，()0fx总有两个不相等的实根。设方程()0fx的两根为1x，2x（12xx）。∴1x时，()0fx恒成立222412aax。…………………12分∴244aa，22404(4)aaa。解得，32a。∴a的取值范围为32，。…………………………16分15．如图，圆O的圆心在坐标原点，过点(01)P，的动直线l与圆O相交于A，B两点。当直线l平行于x轴时，直线l被圆O截得的线段长为23。（1）求圆O的方程；（2）在平面直角坐标系xOy内，是否存在与点P不同的定点Q，使得QAPAQBPB恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】（1）设圆O半径为r，依题意有222(3)1r