2014高考数学(理)黄金配套练习7—5

第七章7.5第5课时2014高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：(ⅰ)1*1=，(ⅰⅰ)（n+1）*1=n*1+1,则n*1等于（）A.nB．n＋1C．n－1D．n2答案A解析由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝1*1+(n－1).又∵1*1=1,∴n*1=n.2．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a2011＝()A．3B．－3C．6D．－6答案A解析∵a1＝3，a2＝6，∴a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3……∴{an}是以6为周期的周期数列又2011＝6×335＋1，∴a2011＝a1＝3.选A.3．因为对数函数y＝logax(a0，且a≠1)是增函数，而y＝log12x是对数函数，所以y＝log12x是增函数，上面的推理错误的是()A．大前提B．小前提C．推理形式D．以上都是答案A解析y＝logax是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错误．选A4．把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设aij(i，j＝N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数，如a42＝8.若aij＝2009，则i与j的和为()124357681012911131517141618202224…[来源:学科网ZXXK]A.105B．106C．107D．108答案C解析由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2009＝2×1005－1，所以2009为第1005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2009在第32个奇数行内，所以i＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1923,2009＝1923＋2(m－1)，所以m＝44，即j＝44，所以i＋j＝107.5．设f(x)＝1＋x1－x，又记f1(x)＝f(x)，fk＋1(x)＝f(fk(x))，k＝1，2，…，则f2009(x)等于()A．－1xB．xC.x－1x＋1D.1＋x1－x答案D解析计算：f2(x)＝f(1＋x1－x)＝1＋1＋x1－x1－1＋x1－x＝－1x，f3(x)＝f(－1x)＝1－1x1＋1x＝x－1x＋1，f4(x)＝1＋x－1x＋11－x－1x＋1＝x，f5(x)＝f1(x)＝1＋x1－x，归纳得f4k＋1(x)＝1＋x1－x，k∈N*，从而f2009(x)＝1＋x1－x.6．已知整数的数对列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…则第60个数对是()A．(3,8)B．(4,7)C．(4,8)D．(5,7)答案D解析观察可知横坐标和纵坐标之和为2的数对有1个，和为3的数对有2个，和为4的数对有3个，和为5的数对有4个，依此类推和为n＋1的数对有n个，多个数对的排序是按照横坐标依次增大的顺序来排的，由n(n＋1)2＝60⇒n(n＋1)＝120，n∈Z，n＝10时，n(n＋1)2＝55个数对，还差5个数对，且这5个数对的横、纵坐标之和为12，它们依次是(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，∴第60个数对是(5,7)．7．某纺织厂的一个车间技术工人m名(m∈N*)，编号分别为1,2,3，…，m，有n台(n∈N*)织布机，编号分别为1,2,3，…，n，定义记号aij：若第i名工人操作了第j号织布机，规定aij＝1，否则aij＝0，则等式a41＋a42＋a43＋…＋a4n＝3的实际意义是()A．第4名工人操作了3台织布机B．第4名工人操作了n台织布机C．第3名工人操作了4台织布机D．第3名工人操作了n台织布机答案A解析a41＋a42＋a43＋…＋a4n＝3中的第一下标4的意义是第四名工人，第二下标1,2，…，n表示第1号织布机，第2号织布机，……，第n号织布机，根据规定可知这名工人操作了三台织布机．二、填空题8．已知1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，则第5个等式为________，…，推广到第n个等式为__________________．(注意：按规律写出等式的形式，不要求计算结果)答案1－4＋9－16＋25＝1＋2＋3＋4＋5；1－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1·n2＝(－1)n＋1·(1＋2＋3＋…＋n)解析根据前几个等式的规律可知，等式左边的各数是自然数的平方，且正负相间，等式的右边是自然数之和且隔项符号相同，由此可推得结果．9．已知扇形的圆心角为2α(定值)，半径为R(定值)，分别按图1、图2作扇形的内接矩形，若按图1作出的矩形的面积的最大值为12R2tanα，则按图2作出的矩形的面积的最大值为________．答案R2tanα2解析将图1沿水平边翻折作出如图所示的图形，内接矩形的最大面积S＝2·12R2·tanα＝R2·tanα，所以图2中内接矩形的面积的最大值为R2tanα2.10．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若6＋at＝6at，(a，t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则a＋t＝________.答案41解析根据题中所列的前几项的规律可知其通项应为n＋nn2－1＝nnn2－1，所以当n＝6时a＝6，t＝35，a＋t＝41.11．设P是边长为a的正三角形ABC内的一点，P点到三边的距离分别为h1、h2、h3，则h1＋h2＋h3＝32a；类比到空间，设P是棱长为a的正四面体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和h1＋h2＋h3＋h4＝________.答案63a解析如图，连接AP，BP，CP，DP，则正四面体ABCD可分成四个小三棱锥，根据体积相等可得，正四面体的体积为13×34a2×63a＝13×34a2(h1＋h2＋h3＋h4)，所以h1＋h2＋h3＋h4＝63a.12．观察下列等式：①cos2α＝2cos2α－1；②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；⑤cos10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.可以推测，m－n＋p＝________.答案962解析观察等式可知，cosα的最高次的系数2,8,32,128构成了公比为4的等比数列，故m＝128×4＝512；取α＝0，则cosα＝1，cos10α＝1，代入等式⑤，得1＝m－1280＋1120＋n＋p－1，即n＋p＝－350(1)；取α＝π3，则cosα＝12，cos10α＝－12，代入等式⑤，得－12＝m(12)10－1280×(12)8＋1120×(12)6＋n×(12)4＋p×(12)2－1，即n＋4p＝－200(2)．由(1)，(2)可得n＝－400，p＝50，∴m－n＋p＝926.13．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，T16T12成等比数列．答案T8T4T12T8解析对于等比数列，通过类比，有等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4＝a1a2a3a4，T8＝a1a2…a8，T12＝a1a2…a12，T16＝a1a2…a16，因此T8T4＝a5a6a7a8，T12T8＝a9a10a11a12，T16T12＝a13a14a15a16，而T4，T8T4，T12T8，T16T12的公比为q16，因此T4，T8T4，T12T8，T16T12成等比数列．三、解答题14．已知椭圆具有如下性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上的任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为KPM、KPN时，则KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值．试写出双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)具有的类似的性质，并加以证明．解析双曲线的类似的性质为：若M，N是双曲线x2a2－y2b2＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上的任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为KPM、KPN时，KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值．下面给出证明：设点M的坐标为(m，n)，则点N的坐标为(－m，－n)，且m2a2－n2b2＝1.又设点P的坐标为(x，y)，由KPM＝y－nx－m，KPN＝y＋nx＋m得KPM·KPN＝y－nx－m·y＋nx＋m＝y2－n2x2－m2，①将y2＝b2a2x2－b2，n2＝b2a2m2－b2代入①式，得KPM·KPN＝b2a2(定值)．15．已知函数f(x)＝aa2－1(ax－a－x)，其中a0，且a≠1.(1)判断函数f(x)在(－∞，＋∞)上的单调性，并加以证明；(2)判断f(2)－2与f(1)－1，f(3)－3与f(2)－2的大小关系，由此归纳出一个更一般的结论，并加以证明；解析(1)由已知得f′(x)＝alnaa2－1(ax＋a－x)0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．(2)f(2)－2f(1)－1，f(3)－3f(2)－2.一般的结论为：f(n＋1)－(n＋1)f(n)－n(n∈N*)．证明过程如下：事实上，上述不等式等价于f(n＋1)－f(n)1⇔a2n＋1＋1an＋1＋an1⇔(an＋1－1)(an－1)0，在a0且a≠1的条件下，(an＋1－1)(an－1)0显然成立，故f(n＋1)－(n＋1)f(n)－n(n∈N*)成立．拓展练习·自助餐[来源:Z*xx*k.Com]1．自然数按下列的规律排列1251017||||4－361118|||9－8－71219||16－15－14－1320|25－24－23－22－21则上起第2007行，左起第2008列的数为()A．20072B．20082C．2006×2007D．2007×2008答案D解析经观察可得这个自然数表的排列特点：①第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n行的第1个数为n2；②第一行第n个数为(n－1)2＋1；③第n行从第1个数至第n个数依次递减1；④第n列从第1个数至第n个数依次递增1.故上起第2007行，左起第2008列的数，应是第2008列的第2007个数，即为[(2008－1)2＋1]＋2006＝2007×2008.2．观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有________个小正方形．答案28解析设第n个图中小正方形个数为an，则a1＝3，a2＝a1＋3＝6，a3＝a2＋4＝10，a4＝a3＋5＝15，a5＝a4＋6＝21，a6＝a5＋7＝28.3．给出下列不等式：23＋5322·5＋2·52,24＋5423·5＋2·53,252＋55222·512＋212·52，….请将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使上述不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为________．答案am＋n＋bm＋nambn＋anbm(a，b0，a≠b，m，n0)解析由“23＋5322·5＋2·52”，“24＋5423·5＋2·53”，“252＋55222·512＋212·52”，可得推广形式的最基本的印象：应具有“＋·＋·”的形式．再分析底数间的关系，可得较细致的印象：应具有“a□＋b□a□·b□＋a□·b□”的形式．再分析指数间的关系，可得准确的推广形式：am＋n＋bm＋nambn＋anbm(a，b0，a≠b，m，n0)．4．半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，若将r看做(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr.①①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径R的球，若将R看做(0，＋∞)上的变量