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8.5直线、平面垂直的判定及其性质考情分析近年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，常常立足于棱柱、棱锥和正方体，复习是要以多面体为依托，始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质和判定作为考察重点，在难度上也始终以中等偏难为主。基础知识1判断线线垂直的方法：①所成的角是直角，两直线垂直；②垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条；③垂直于同一平面的两条直线平行。2．线面垂直：①定义：如果一条直线l和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直其中直线l叫做平面的垂线，平面α叫做直线l的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。直线l与平面α垂直记作：l⊥α。②直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。③直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。3．面面垂直：①两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。②两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直（线面垂直面面垂直）。③两平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面（面面垂直线面垂直）。注意事项1.垂直问题的转化关系线线垂直面面垂直判定性质线面垂直判定性质2.(1)证明线线垂直的方法①定义：两条直线所成的角为90°；②平面几何中证明线线垂直的方法；③线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；④线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.(2)证明线面垂直的方法①线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直⇒a⊥α；②判定定理1：m、n⊂α，m∩n＝Al⊥m，l⊥n⇒l⊥α；③判定定理2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α；④面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β；⑤面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.(3)证明面面垂直的方法①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；②判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥题型一直线与平面垂直的判定与性质【例1】下列命题中错误的是()A.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案：D解析：对于命题A，在平面α内存在直线l平行于平面α与平面β的交线，则l平行于平面β，故命题A正确．对于命题B，若平面α内存在直线垂直于平面β，则平面α与平面β垂直，故命题B正确．对于命题C，设α∩γ＝m，β∩γ＝n，在平面γ内取一点P不在l上，过P作直线a，b，使a⊥m，b⊥n.∵γ⊥α，a⊥m，则a⊥α，∴a⊥l，同理有b⊥l.又a∩b＝P，a⊂γ，b⊂γ，∴l⊥γ.故命题C正确．对于命题D，设α∩β＝l，则l⊂α，但l⊂β.故在α内存在直线不垂直于平面β，即命题D错误，故选D.【变式1】如图，已知BD⊥平面ABC，MC綉12BD，AC＝BC，N是棱AB的中点．求证：CN⊥AD.证明∵BD⊥平面ABC，CN⊂平面ABC，∴BD⊥CN.又∵AC＝BC，N是AB的中点．∴CN⊥AB.又∵BD∩AB＝B，∴CN⊥平面ABD.而AD⊂平面ABD，∴CN⊥AD.题型二平面与平面垂直的判定与性质【例2】如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则平面ADC与平面BDE的关系是________．答案：垂直解析：AD＝DCAB＝BCE为AC的中点⇒DE⊥AC且BE⊥AC.故AC⊥平面BDE.故平面ADC⊥平面BDE.【变式2】如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.证明∵A1B1⊥平面B1C1CB，BM⊂平面B1C1CB，∴A1B1⊥BM，由已知易得B1M＝2，又BM＝BC2＋CM2＝2，B1B＝2，∴B1M2＋BM2＝B1B2，∴B1M⊥BM.又∵A1B1∩B1M＝B1，∴BM⊥平面A1B1M.而BM⊂平面ABM，∴平面ABM⊥平面A1B1M.考向三平行与垂直关系的综合应用【例3】已知平面α，β和直线m，给出下列条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β.(1)当满足条件________时，有m∥β；(2)当满足条件________时，有m⊥β(填所选条件的序号)．答案：(1)③⑤(2)②⑤解析：(1)∵α∥β，m⊂α，∴m∥β.(2)∵α∥β，m⊥α，∴m⊥β.【变式3】如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.证明(1)设AC与BD交于点G.因为EF∥AG，且EF＝1，AG＝12AC＝1.所以四边形AGEF为平行四边形，所以AF∥EG.因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，所以AF∥平面BDE.(2)如图，连接FG.因为EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，所以四边形CEFG为菱形．所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG＝G.所以CF⊥平面BDE.考向四线面角【例4】如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．(1)求证：平面AEC⊥平面PDB；(2)当PD＝2AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．(1)证明∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC.又PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PDB.又AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB.(2)解设AC∩BD＝O，连接OE.由(1)知，AC⊥平面PDB于点O，∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角．∵点O、E分别为DB、PB的中点，∴OE∥PD，且OE＝12PD.又∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，∴OE⊥AO.在Rt△AOE中，OE＝12PD＝22AB＝AO，∴∠AEO＝45°.即AE与平面PDB所成的角为45°.求直线与平面所成的角，一般分为两大步：(1)找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；(2)计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．【训练4】如图，已知DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．(1)证明：PQ∥平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．(1)证明因为P，Q分别为AE，AB的中点，所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC，PQ⊄平面ACD，DC⊂平面ACD，从而PQ∥平面ACD.(2)解如图，连接CQ，DP.因为Q为AB的中点，且AC＝BC，所以CQ⊥AB.因为DC⊥平面ABC，EB∥DC，所以EB⊥平面ABC.因此CQ⊥EB，又AB∩EB＝B，故CQ⊥平面ABE.由(1)有PQ∥DC，又PQ＝12EB＝DC，所以四边形CQPD为平行四边形，故DP∥CQ，因此DP⊥平面ABE，∠DAP为AD和平面ABE所成的角，在Rt△DPA中，AD＝5，DP＝1，sin∠DAP＝55.因此AD和平面ABE所成角的正弦值为55.重难点突破【例4】如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.解析(1)在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.(2)如图，连结BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.巩固提高1.已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是()A.l∥m，l⊥αB.l⊥m，l⊥αC.l⊥m，l∥αD.l∥m，l∥α答案：C解析：设m在平面α内的射影为n，当l⊥n且与α无公共点时，l⊥m，l∥α.2.设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是()A.若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥αB.若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥αC.若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αD.若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β答案：C解析：与α、β两垂直相交平面的交线垂直的直线m，可与α平行，故A错；对于B，存在n∥α情况，故B错；D，存在α∥β情况，故D错．由n⊥α，n⊥β，可知α∥β，又m⊥β，所以m⊥α，故C正确，选C.3.平面α⊥平面β的一个充分条件是()A.存在一条直线l，l⊥α，l⊥βB.存在一个平面γ，γ∥α，γ∥βC.存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥βD.存在一条直线l，l⊥α，l∥β答案：D解析：由A项可推出α∥β；由B项可推出α∥β；由C项可推出α∥β或α⊥β，均不是α⊥β的充分条件．故应选D.4.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABCDEF，PA＝2AB，则下列结论正确的是()A.PA⊥ADB.平面ABCDEF⊥平面PBCC.直线BC∥平面PAED.直线PD与平面ABCDEF所成的角为30°答案：A解析：因为PA⊥平面ABCDEF，所以PA⊥AD，故A正确；B项中两个平面不垂直；C项中，AD与平面PAE相交，BC∥AD，故C错；D项中，PD与平面ABCDEF所成的角为45°，故D错．故选A.5.如图，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD⊥AC；②△BAC是等边三角形；③三棱锥D－ABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的是()A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④答案：B解析：由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①对；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②对；易知DA＝DB＝DC，又由②知③对；由①知④错．故选B.