2014高考数学文复习方案二轮作业手册(新课标通用版)专题限时集第15讲圆锥曲线的热点问题

专题限时集训(十五)[第15讲圆锥曲线的热点问题](时间：45分钟)1．已知椭圆C：x24＋y2b＝1，直线l：y＝mx＋1，若对任意的m∈R，直线l与椭圆C恒有公共点，则实数b的取值范围是()A．[1，4)B．[1，＋∞)C．[1，4)∪(4，＋∞)D．(4，＋∞)2．与两圆x2＋y2＝1及x2＋y2－8x＋12＝0都外切的圆的圆心在()A．一个椭圆上B．双曲线的一支上C．一条抛物线上D．一个圆上3．已知两定点A(1，1)，B(－1，－1)，动点P(x，y)满足PA→·PB→＝x22，则点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．拋物线4．已知椭圆C1：x2m＋2＋y2n＝1与双曲线C2：x2m－y2n＝1共焦点，则椭圆C1的离心率e的取值范围为()A.22，1B.0，22C．(0，1)D.0，125．以抛物线y2＝8x上的任意一点为圆心作圆与直线x＋2＝0相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是()A．(0，2)B．(2，0)C．(4，0)D．(0，4)6．过椭圆x29＋y24＝1上一点M作圆x2＋y2＝2的两条切线，点A，B为切点．过A，B的直线l与x轴、y轴分别交于P，Q两点，则△POQ的面积的最小值为()A.12B.23C．1D.437．已知点A(2，1)，抛物线y2＝4x的焦点是F，若抛物线上存在一点P，使得|PA|＋|PF|最小，则P点的坐标为()A．(2，1)B．(1，1)C.12，1D.14，18．过抛物线y2＝x的焦点F的直线m的倾斜角θ≥π4，m交抛物线于A，B两点，且A点在x轴上方，则|FA|的取值范围是________．9．已知E(2，2)是抛物线C：y2＝2px上一点，经过点(2，0)的直线l与抛物线C交于A，B两点(不同于点E)，直线EA，EB分别交直线x＝－2于点M，N，则∠MON的大小为________．图X15－110．如图X15－1所示，已知椭圆C：x24＋y2＝1，在椭圆C上任取不同两点A，B，点A关于x轴的对称点为A′，当A，B变化时，如果直线AB经过x轴上的定点T(1，0)，则直线A′B经过x轴上的定点为________．11．已知椭圆C：x29＋y24＝1，过点M(2，0)且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．在x轴上若存在定点P，使PM平分∠APB，则P的坐标为________．12．如图X15－2所示，已知抛物线方程为y2＝4x，其焦点为F，准线为l，A点为抛物线上异于顶点的一个动点，射线HAE垂直于准线l，垂足为H，C点在x轴正半轴上，且四边形AHFC是平行四边形，线段AF和AC的延长线分别交抛物线于点B和点D.(1)证明：∠BAD＝∠EAD；(2)求△ABD面积的最小值，并写出此时A点的坐标．图X15－213．如图X15－3所示，已知圆C1：x2＋(y－1)2＝4和抛物线C2：y＝x2－1，过坐标原点O的直线与C2相交于点A，B，定点M的坐标为(0，－1)，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.(1)求证：MA⊥MB；(2)记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2，若S1S2＝λ，求λ的取值范围．图X15－314．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两个焦点分别为F1，F2，离心率为22，且过点(2，2)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F1，F2，且这两条直线互相垂直，求证：1|MN|＋1|PQ|为定值．专题限时集训(十五)1．C[解析]直线恒过定点(0，1)，只要该点在椭圆内部或椭圆上即可，故只要b≥1且b≠4.2．B[解析]圆x2＋y2－8x＋12＝0的圆心为(4，0)，半径为2，动圆的圆心到(4，0)的距离减去它到(0，0)的距离等于1，由此可知，动圆的圆心在双曲线的一支上．3．B[解析]由题知PA→＝(1－x，1－y)，PB→＝(－1－x，－1－y)，所以PA→·PB→＝(1－x)(－1－x)＋(1－y)(－1－y)＝x2＋y2－2.由已知x2＋y2－2＝x22，得x24＋y22＝1，所以点P的轨迹为椭圆．4．A[解析]根据已知得m0，n0，且m＋2－n＝m＋n，解得n＝1，所以椭圆的离心率为e＝m＋1m＋2＝1－1m＋2，由于m0，所以1－1m＋212，所以22e1.5．B[解析]x＋2＝0为抛物线的准线．根据抛物线的定义，抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离，又圆心在抛物线上，故这些圆恒过定点(2，0)．6．B[解析]设M(x0，y0)，根据圆的切线知识可得过A，B的直线l的方程为x0x＋y0y＝2，由此得P2x0，0，Q0，2y0，故△POQ的面积为12×2x0·2y0＝2|x0y0|.因为点M在椭圆上，所以x209＋y204＝1≥2x03·y02，由此得|x0y0|≤3，所以2|x0y0|≥23，当且仅当|x0|3＝|y0|2时等号成立．7．D[解析]抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1，过点P作准线的垂线交准线于B，则|PF|＝|PB|，所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PB|，所以当A，P，B三点共线时，|PA|＋|PF|最小，此时yP＝yA＝1，所以xP＝14y2A＝14，即P点的坐标为14，1.8.14，1＋22[解析]取值范围的左端点是p2＝14，但取不到．右端点是当直线的倾斜角等于π4时，此时直线方程是y＝x－14，代入抛物线方程得x2－32x＋116＝0，根据题意点A的横坐标是x＝32＋322－142＝34＋22，根据抛物线定义该点到焦点的距离等于其到准线的距离，故这个距离是34＋22＋14＝1＋22.9.π2[解析]将E(2，2)的坐标代入y2＝2px，得p＝1，所以抛物线方程为y2＝2x.设Ay212，y1，By222，y2，M(xM，xN)，直线l方程为x＝my＋2，与抛物线方程联立得x＝my＋2，y2＝2x，消去x，得y2－2my－4＝0，则由韦达定理得y1y2＝－4，y1＋y2＝2m.直线AE的方程为y－2＝y1－2y212－2(x－2)，即y＝2y1＋2(x－2)＋2，令x＝－2，得yM＝2y1－4y1＋2.同理可得yN＝2y2－4y2＋2.又OM→＝(－2，yM)，ON→＝(－2，yN)，OM→·ON→＝4＋yMyN＝4＋4（y1－2）（y2－2）（y1＋2）（y2＋2）＝4＋4[y1y2－2（y1＋y2）＋4][y1y2＋2（y1＋y2）＋4]＝4＋4（－4－4m＋4）－4＋4m＋4＝0.所以OM→⊥ON→，即∠MON为定值π2.10．(4，0)[解析]设直线AB的方程为x＝my＋1，由x24＋y2＝1，x＝my＋1，得(my＋1)2＋4y2＝4，即(m2＋4)y2＋2my－3＝0.记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A′(x1，－y1)，且y1＋y2＝－2mm2＋4，y1y2＝－3m2＋4，当m≠0时，经过点A′(x1，－y1)，B(x2，y2)的直线方程为y＋y1y2＋y1＝x－x1x2－x1.令y＝0，得x＝x2－x1y2＋y1y1＋x1＝my2－my1y2＋y1y1＋my1＋1＝my1y2－my21＋my1y2＋my21y2＋y1＋1＝2my1y2y1＋y2＋1＝2m·－3m2＋4－2mm2＋4＋1＝4，所以y＝0时，x＝4.当m＝0时，直线AB的方程为x＝1，此时A′，B重合，经过A′，B的直线有无数条，当然可以有一条经过点(4，0)的直线．当直线AB为x轴时，直线A′B就是直线AB，即x轴，这条直线也经过点(4，0)．综上所述，当点A，B变化时，直线A′B经过x轴上的定点(4，0)．11.92，0[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my＋2.将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去x得(4m2＋9)y2＋16my－20＝0，所以y1＋y2＝－16m4m2＋9，y1y2＝－204m2＋9.若PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以kPA＋kPB＝0.设P(a，0)，则有y1x1－a＋y2x2－a＝0，将x1＝my1＋2，x2＝my2＋2代入上式，整理得2my1y2＋（2－a）（y1＋y2）（my1＋2－a）（my2＋2－a）＝0，所以2my1y2＋(2－a)(y1＋y2)＝0.将y1＋y2＝－16m4m2＋9，y1y2＝－204m2＋9代入上式，整理得(－2a＋9)·m＝0.由于上式对任意实数m都成立，所以a＝92.综上，x轴上存在定点P92，0，使PM平分∠APB.12．解：(1)证明：由抛物线定义得|AH|＝|AF|，∴∠AHF＝∠AFH.又∵四边形AHFC是平行四边形，∴HF∥AC，∴∠AHF＝∠EAD，∠AFH＝∠BAD.综上可得∠BAD＝∠EAD.(2)易知焦点F(1，0)，准线l方程为x＝－1，设A点坐标为a24，a(a≠0)，则直线AB方程为4ax－(a2－4)y－4a＝0(包括AB⊥x轴的情况)，结合y2＝4x得4a2x2－(a4＋16)x＋4a2＝0，根据抛物线定义，可知|AB|＝xA＋xB＋2＝a4＋164a2＋2＝a24＋4a2＋2≥4(当且仅当a＝±2时等号成立)．另外，结合kAD＝kHF＝－a2，可得直线AD方程为y＝－a2x＋a38＋a，结合y2＝4x得ay2＋8y－a3－8a＝0，由于yD＋yA＝－8a，∴yD＝－8a－a.又∵∠BAD＝∠EAD，∴D点到直线AB的距离即为D点到直线AE的距离，即d＝|yD－yA|＝2a＋8a≥8(当且仅当a＝±2时等号成立)．∴S△ABD＝12·|AB|·d≥12×4×8＝16(当且仅当a＝±2时取“＝”号)．此时A点坐标为(1，±2)．13．解：(1)证明：设直线AB的方程为y＝kx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝kx，y＝x2－1x2－kx－1＝0，所以x1＋x2＝k，x1x2＝－1.又MA→·MB→＝(x1，y1＋1)·(x2，y2＋1)＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝－k2－1＋k2＋1＝0，∴MA⊥MB.(2)设直线MA的方程为y＝k1x－1，MB的方程为y＝k2x－1，k1k2＝－1.y＝k1x－1，y＝x2－1，解得x＝0，y＝－1或x＝k1，y＝k21－1，∴A(k1，k21－1)，同理可得B(k2，k22－1)，∴S1＝12|MA||MB|＝121＋k211＋k22|k1k2|.又y＝k1x－1，x2＋（y－1）2＝4，解得x＝0，y＝－1或x＝4k11＋k21，y＝3k21－11＋k21，∴D4k11＋k21，3k21－11＋k21，同理可得E4k21＋k22，3k22－11＋k22.∴S2＝12|MD||ME|＝121＋k211＋k22|16k1k2|（1＋k21）（1＋k22）.S1S2＝λ＝（1＋k21）（1＋k22）16＝2＋1k21＋k2116≥14.故λ的取值范围是14，＋∞.14．解：(1)由已知，e＝ca＝22，所以b2a2＝a2－c2a2＝1－e2＝12，所以a2＝2b2.所以C：x22b2＋y2b2＝1，即x2＋2y2＝2b2.因为椭圆C过点(2，2)，代入椭圆方程得b2＝4，所以a2＝8.所以椭圆C的标准方程为x28＋y24＝1.(2)证明：由(1)知椭圆的焦点坐标为F1(－2，0)，F2(2，0)．根据题意，可设直线MN的方程为y＝k(x＋2)，由于直线MN与直线PQ互相垂直，则直线PQ的方程为y＝－1k(x－2)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)．由方程组y＝k（x＋2），x28＋y24＝1，消去y得(2k2＋1)x2＋8k2x＋8k2－8＝0.则x1＋x2＝－8k22k2＋1，x1x2＝8k2－