2014高考数学知识点讲析圆锥曲线与方程

高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！2014高考数学知识点讲析:圆锥曲线与方程【专题要点】1．考查圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等知识及基本技能、基本方法，常以选择题与填空题的形式出现.2．直线与二次曲线的位置关系、圆锥曲线的综合问题:常以压轴题的形式出现，这类问题视角新颖，常见的性质、基本概念、基础知识等被附以新的背景，以考查学生的应变能力和解决问题的灵活程度.3．在考查基础知识的基础上，注意对数学思想与方法的考查，注重对数学能力的考查，强调探究性、综合性、应用性，注重试题的层次性，坚持多角度、多层次的考查，合理调控综合程度.4．对称问题、轨迹问题、多变量的范围问题、位置问题及最值问题也是本章的几个热点问题，但从最近几年的高考试题本看，难度有所降低，有逐步趋向稳定的趋势.【考纲要求】（1）圆锥曲线①了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.②掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.④了解圆锥曲线的简单应用.⑤理解数形结合的思想.（2）曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.【知识纵横】高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！【教法指引】高考试题中，解析几何试题的分值一般占20％左右，而圆锥曲线的内容在试卷中所占比例又一直稳定在14％左右，选择、填空、解答三种题型均有．选择、填空题主要考查圆锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识、基本技能和基本方法的运用；以圆锥曲线为载体的解答题设计中，重点是求曲线的方程和直线与圆锥曲线的位置关系讨论，它们是热中之热．解答题的题型设计主要有三类：（1）圆锥曲线的有关元素计算．关系证明或范围的确定；（2）涉及与圆锥曲线平移与对称变换、最值或位置关系的问题；（3）求平面曲线（整体或部分）的方程或轨迹．抛物线直线与圆锥曲线曲线与方程定义定义定义位置关系曲线的方程标准方程标准方程标准方程几何性质几何性质几何性质应用应用应用相交相切相离圆锥曲线的弦求曲线（轨迹）的方程画方程的曲线求两曲线的公共点圆锥曲线与方程椭圆双曲线高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！近年来，高考中解析几何综合题的难度有所下降．随着高考的逐步完善，结合上述考题特点分析，预测今后高考的命题趋势是：将加强对于圆锥曲线的基本概念和性质的考查，加强对于分析和解决问题能力的考查．因此，教学中要注重对圆锥曲线定义、性质、以及圆锥曲线基本量之间关系的掌握和灵活应用．高考第二阶段的复习，应在继续作好知识结构调整的同时，抓好数学基本思想、数学基本方法的提炼，进行专题复习；做好“五个转化”，即从单一到综合、从分割到整体、从记忆到应用、从慢速摸仿到快速灵活、从纵向知识到横向方法.这一复习过程，要充分体现分类指导、分类要求的原则，内容的选取一定要有明确的目的性和针对性，要充分发挥教师的创造性，更要充分考虑学生的实际，要密切注意学生的信息反馈，防止过分拔高，加重负担.因此，在圆锥曲线这一章的复习中，设计了分类复习、分层复习、层层递进的复习步骤.【典例精析】1.圆锥曲线概念、性质类问题例1.巳知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为．【解析】23e，122a，6a，3b，则所求椭圆方程为193622yx.例2.（2009江苏13．）如图，在平面直角坐标系xoy中，1212,,,AABB为椭圆22221(0)xyabab的四个顶点，F为其右焦点，直线12AB与直线1BF相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为.【解析】考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程直线12AB的方程为：1xyab；直线1BF的方程为：1xycb。二者联立解得：2()(,)acbacTacac，则()(,)2()acbacMacac在椭圆22221(0)xyabab上，高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！2222222()1,1030,1030()4()caccacaeeacac，解得：275e例3.（2009辽宁，16）。以知F是双曲线221412xy的左焦点，(1,4),AP是双曲线右支上的动点，则PFPA的最小值为【答案】9【解析】注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F’(4,0),于是由双曲线性质|PF|－|PF’|＝2a＝4，而|PA|＋|PF’|≥|AF’|＝5，两式相加得|PF|＋|PA|≥9,当且仅当A、P、F’三点共线时等号成立.点评:在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是整条双曲线，还是双曲线的一支。例4.（2009福建13）.过抛物线22(0)ypxp的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p________________【解析】由题意可知过焦点的直线方程为2pyx，联立有22223042ypxpxpxpyx，根据pxxAB21，得284pp2.与圆锥曲线有关的轨迹类问题解析几何主要研究两大类问题：一是根据题设条件，求出表示平面曲线的方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质．求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.解答轨迹问题时，若能充分挖掘几何关系，则往往可以简化解题过程．例5．（1）一动圆与圆22650xyx外切，同时与圆226910xyx内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！（2）双曲线2219xy有动点P，12,FF是曲线的两个焦点，求12PFF的重心M的轨迹方程。解析：（1）（法一）设动圆圆心为(,)Mxy，半径为R，设已知圆的圆心分别为1O、2O，将圆方程分别配方得：22(3)4xy，22(3)100xy，当M与1O相切时，有1||2OMR①当M与2O相切时，有2||10OMR②将①②两式的两边分别相加，得21||||12OMOM，即2222(3)(3)12xyxy③移项再两边分别平方得：222(3)12xyx④两边再平方得：22341080xy，整理得2213627xy，所以，动圆圆心的轨迹方程是2213627xy，轨迹是椭圆。（法二）由解法一可得方程2222(3)(3)12xyxy，由以上方程知，动圆圆心(,)Mxy到点1(3,0)O和2(3,0)O的距离和是常数12，所以点M的轨迹是焦点为1(3,0)O、2(3,0)O，长轴长等于12的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，∴26c，212a，∴3c，6a，∴236927b，∴圆心轨迹方程为2213627xy。（2）如图，设,PM点坐标各为11(,),(,)PxyMxy，∴在已知双曲线方程中3,1ab，∴9110c∴已知双曲线两焦点为12(10,0),(10,0)FF，∵12PFF存在，∴10y由三角形重心坐标公式有11(10)103003xxyy，即1133xxyy。∵10y，∴0y。已知点P在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有22(3)(3)1(0)9xyy即所求重心M的轨迹方程为：2291(0)xyyxy1O2OP高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！点评：定义法求轨迹方程的一般方法、步骤；“转移法”求轨迹方程的方法。例6(2009广东卷理）已知曲线2:Cyx与直线:20lxy交于两点(,)AAAxy和(,)BBBxy，且ABxx．记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．设点(,)Pst是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合．（1）若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；（2）若曲线22251:24025Gxaxyya与D有公共点，试求a的最小值．解：（1）联立2xy与2xy得2,1BAxx，则AB中点)25,21(Q，设线段PQ的中点M坐标为),(yx，则225,221tysx，即252,212ytxs，又点P在曲线C上，∴2)212(252xy化简可得8112xxy，又点P是L上的任一点，且不与点A和点B重合，则22121x，即4541x，∴中点M的轨迹方程为8112xxy（4541x）.（2）曲线22251:24025Gxaxyya，即圆E：2549)2()(22yax，其圆心坐标为)2,(aE，半径57r由图可知，当20a时，曲线22251:24025Gxaxyya与点D有公共点；当0a时，要使曲线22251:24025Gxaxyya与点D有公共点，只需圆心E到直线:20lxy的距离572||2|22|aad，得0527a，则a的最小值xyoxAxBD高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！为527.3.直线和圆锥曲线关系类问题直线与圆锥曲线的位置关系，是高考考查的重中之重，在高考中多以高档题、压轴题出现.主要涉及弦长、弦中点、对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题.解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用，解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能.例7.已知直线20ykxk与抛物线2:8Cyx相交于AB、两点，F为C的焦点，若||2||FAFB，则kA.13B.23C.23D.223【解析一】设抛物线2:8Cyx的准线为:2lx直线20ykxk恒过定点P2,0.如图过AB、分别作AMl于M,BNl于N,由||2||FAFB,则||2||AMBN,点B为AP的中点.连结OB,则1||||2OBAF,||||OBBF点B的横坐标为1,故点B的坐标为22022(1,22)1(2)3k,故选D【解析二】设),(),,(2211yxByxA，xyxky8)2(2，04)84(2222kxkxk，得421xx。根据焦半径公式，21,2xFBxFA2，||2||FAFB，得2221xx。求得)22,1(B，将其代入20ykxk中得322k，故选D。高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！例8以知椭圆22221(0)xyabab的两个焦点分别为12(,0)(,0)(0)FcFcc和，过点2(,0)aEc的直线与椭圆相交与,AB两点，且1212//,2FAFBFAFB（1）求椭圆的离心率；（2）求直线AB的斜率；（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线2FB上有一点(,)(0)Hmnm在1AFC的外接圆上，求nm的值本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的