2014高考数学理复习方案二轮作业手册(新课标通用版)专题综合训练(二)专题二函数与导数

专题综合训练(二)[专题二函数与导数](时间：60分钟分值：100分)一、选择题(每小题5分，共40分)1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是()A．y＝1xB．y＝e－xC．y＝－x2＋1D．y＝lg|x|2．函数f(x)＝1－xlog2x的零点所在的区间是()A.14，12B.12，1C．(1，2)D．(2，3)3．已知函数f(x)＝2x＋xlnx，则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为()A．x－y－3＝0B．x－y＋3＝0C．x＋y－3＝0D．x＋y＋3＝04．能够把圆O：x2＋y2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，下列函数中不是圆O的“和谐函数”的是()A．f(x)＝4x3＋xB．f(x)＝ln5－x5＋xC．f(x)＝tanx2D．f(x)＝ex＋e－x5．一个球的体积、表面积分别为V，S，若函数V＝f(S)，f′(S)是f(S)的导函数，则f′(π)＝()A.14B.12C．1D．π6．设函数f(x)＝x3－4x＋a(0a2)有三个零点x1，x2，x3，且x1x2x3，则下列结论中正确的是()A．x1－1B．x20C．x32D．0x217．函数y＝x23－cos2x的图像大致是()图Z2－18．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(2－x)f′(x)的图像如图Z2－2所示，则下列结论中一定成立的是()图Z2－2A．函数f(x)有极大值f(1)和极小值f(－1)B．函数f(x)有极大值f(1)和极小值f(2)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)D．函数f(x)有极大值f(－1)和极小值f(2)二、填空题(每小题5分，共20分)9．已知函数f(x)＝－x12（x0），2x（x≤0），则f(f(9))＝________．10．已知函数f(x)＝x3＋f′23x2－x，f(x)的图像在点23，f23处的切线的斜率是________．11．设函数f(x)的定义域为D，若存在非零实数n使得对于任意x∈M(M⊆D)，有x＋n∈D，且f(x＋n)≥f(x)，则称f(x)为M上的n高调函数．如果定义域为[－1，＋∞)的函数f(x)＝x2为[－1，＋∞)上的k高调函数，那么实数k的取值范围是________．12．f(x)＝|2x－1|，f1(x)＝f(x)，f2(x)＝f(f1(x))，…，fn(x)＝f(fn－1(x))，则函数y＝f4(x)的零点个数为________．三、解答题(共40分)13．(13分)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件．．，需另投入成本C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝13x2＋10x(万元)；当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋10000x－1450(万元)．每件．．商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件．．)的函数解析式；(2)年产量为多少千件．．时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？14．(13分)设函数f(x)＝lnx＋a2x2－(a＋1)x(a0，a为常数)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若a＝1，证明：当x1时，f(x)12x2－2xx＋1－x.15．(14分)已知函数f(x)＝ln(x＋1)－x2－x.(1)若关于x的方程f(x)＝－52x＋b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；(2)证明：对任意的正整数n，不等式2＋34＋49＋…＋n＋1n2ln(n＋1)都成立．专题综合训练(二)1．C[解析]对于A，y＝1x是奇函数，排除；对于B，y＝e－x既不是奇函数，也不是偶函数，排除；对于D，y＝lg|x|是偶函数，但在(0，＋∞)上有y＝lgx，此时单调递增，排除．只有C符合题意．2．C[解析]f(1)＝1，f(2)＝－1，故函数f(x)＝1－xlog2x的零点所在的区间是(1，2)．3．C[解析]f′(x)＝－2x2＋lnx＋1，当x＝1时f′(1)＝－1.f(1)＝2，即切点坐标为(1，2)．故切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.4．D[解析]在[－4，4]上有定义的奇函数即可．5．A[解析]设球的半径为r，则S＝4πr2，V＝43πr3，由S＝4πr2，得r＝S4π12，所以f(S)＝V＝4π3S4π32＝16πS32，所以f′(S)＝14πS12，所以f′(π)＝14.6．D[解析]函数y＝x3－4x有三个零点x＝－2，0，2，其图像如图所示，易得函数图像与直线x＝－a的交点横坐标中x1－2，0x21，1x32.7．C[解析]函数是偶函数，排除选项A；当x→＋∞时，y→＋∞，排除选项D；当x＝π4时，y0，排除选项B.所以正确选项为C.8．A[解析]由函数y＝(2－x)f′(x)的图像可知，方程f′(x)＝0有两个实根x＝－1，x＝1，且在(－∞，－1)上f′(x)0，在(－1，1)上f′(x)0，在(1，2)上f′(x)0，在(2，＋∞)上f′(x)0.所以函数f(x)有极大值f(1)和极小值f(－1)．9.18[解析]f(f(9))＝f(－3)＝18.10．－1[解析]f′(x)＝3x2＋2f′23x－1，令x＝23，得f′23＝43＋43f′23－1，解得f′23＝－1，所以函数f(x)的图像在点23，f23处的切线的斜率为－1.11．[2，＋∞)[解析]即(x＋k)2≥x2在[－1，＋∞)上恒成立，即2kx＋k2≥0在x∈[－1，＋∞)上恒成立，故实数k满足2k0且－2k＋k2≥0，解得k≥2.12．8[解析]f4(x)＝|2f3(x)－1|的零点，即f3(x)＝12的零点，即|2f2(x)－1|＝12的零点，即f2(x)＝14或34的零点，即|2f(x)－1|＝14或34的零点，即f(x)＝38，58，18，78的零点，显然对上述每个数值各有两个零点，故共有8个零点．13．解：(1)因为每件．．商品售价为0.05万元，则x千件．．商品销售额为0.05×1000x万元，依题意得，当0x80时，L(x)＝(0.05×1000x)－13x2－10x－250＝－13x2＋40x－250；当x≥80时，L(x)＝(0.05×1000x)－51x－10000x＋1450－250＝1200－x＋10000x.所以L(x)＝－13x2＋40x－250（0x80，x∈N），1200－x＋10000x（x≥80，x∈N）.(2)当0x80时，L(x)＝－13(x－60)2＋950，此时，当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950(万元)；当x≥80时，L(x)＝1200－x＋10000x≤1200－2x·10000x＝1200－200＝1000，当x＝10000x，即x＝100时，L(x)取得最大值1000万元．因为9501000，所以，当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．14．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x＋ax－(a＋1)＝ax2－（a＋1）x＋1x＝（ax－1）（x－1）x.当0a1时，由f′(x)0解得0x1或x1a，由f′(x)0解得1x1a，所以函数f(x)在(0，1)，1a，＋∞上单调递增，在1，1a上单调递减．当a＝1时，f′(x)≥0对x0恒成立，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．当a1时，由f′(x)0解得x1或0x1a，由f′(x)0解得1ax1.所以函数f(x)在0，1a，(1，＋∞)上单调递增，在1a，1上单调递减．(2)证明：当a＝1时，原不等式等价于lnx－2x＋2xx＋1＋x0.因为x1，所以x＝x·1x＋12，因此lnx－2x＋2xx＋1＋xlnx－2x＋2xx＋1＋x＋12.令g(x)＝lnx－2x＋2xx＋1＋x＋12，则g′(x)＝－32x3－2x2＋52x＋1x（x＋1）2.令h(x)＝－32x3－2x2＋52x＋1，当x1时，h′(x)＝－92x2－4x＋520，所以h(x)在(1，＋∞)上单调递减，从而h(x)h(1)＝0，即g′(x)0，所以g(x)在(1，＋∞)上单调递减，则g(x)g(1)＝0，所以当x1时，f(x)12x2－2xx＋1－x.15．解：(1)f(x)＝ln(x＋1)－x2－x，由f(x)＝－52x＋b，得ln(x＋1)－x2＋32x－b＝0，令φ(x)＝ln(x＋1)－x2＋32x－b，则f(x)＝－52x＋b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根等价于φ(x)＝0在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，φ′(x)＝1x＋1－2x＋32＝－（4x＋5）（x－1）2（x＋1），当x∈[0，1)时，φ′(x)0，于是φ(x)在[0，1)上单调递增；当x∈(1，2]时，φ′(x)0，于是φ(x)在(1，2]上单调递减．依题意有φ（0）＝－b≤0，φ（1）＝ln（1＋1）－1＋32－b0，φ（2）＝ln（1＋2）－4＋3－b≤0，解得ln3－1≤bln2＋12.(2)证明：方法一，f(x)＝ln(x＋1)－x2－x的定义域为{x|x－1}，则有f′(x)＝－x（2x＋3）（x＋1），令f′(x)＝0，得x＝0或x＝－32(舍去)，当－1x0时，f′(x)0，f(x)单调递增；当x0时，f′(x)0，f(x)单调递减．∴f(0)为f(x)在(－1，＋∞)上的最大值．∴f(x)≤f(0)，故ln(x＋1)－x2－x≤0(当且仅当x＝0时，等号成立)．对任意正整数n，取x＝1n0得，ln1n＋11n＋1n2，∴ln1n＋1n＋1n2.故2＋34＋49＋…＋n＋1n2≥ln2＋ln32＋…＋lnn＋1n＝ln(n＋1)．方法二，数学归纳法证明：当n＝1时，左边＝1＋112＝2，右边＝ln(1＋1)＝ln2，显然2ln2，不等式成立．假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，2＋34＋49＋…＋k＋1k2ln(k＋1)成立，则当n＝k＋1时，有2＋34＋49＋…＋k＋1k2＋k＋2（k＋1）2k＋2（k＋1）2＋ln(k＋1)．做差比较：ln(k＋2)－ln(k＋1)－k＋2（k＋1）2＝lnk＋2k＋1－k＋2（k＋1）2＝ln1＋1k＋1－1k＋1＋1（k＋1）2.构建函数F(x)＝ln(1＋x)－x－x2，x∈(0，1)，则F′(x)＝－x（2x＋3）x＋10，∴F(x)在(0，1)上单调递减，∴F(x)F(0)＝0.取x＝1k＋1(k≥1，k∈N*)，ln1＋1k＋1－1k＋1＋1（k＋1）2F(0)＝0.即ln(k＋2)－ln(k＋1)－k＋2（k＋1）20，亦即k＋2（k＋1）2＋ln(k＋1)ln(k＋2)，故n＝k＋1时，有2＋34＋49＋…＋k＋1k2＋k＋2（k＋1）2k＋2（k＋1）2＋ln(k＋1)ln(k＋2)，不等式也成立．综上可知，对任意的正整数，不等式都成立．