2014高考数学课后作业8-3直线与圆的位置关系及空间直角坐标系新人教A版

2014高考数学人教A版课后作业1.(2011·山东烟台调研)圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为()A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能[答案]C[解析]∵直线2t(x－1)－(y＋2)＝0过圆心(1，－2)，∴直线与圆相交．[点评]直线方程中含参数t，故可由直线方程过定点来讨论，∵2t(x－1)－(y＋2)＝0，∴直线过定点(1，－2)，代入圆方程中，12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)－4＝－90，∴点(1，－2)在圆内，故直线与圆相交．2．(2011·唐山二模)圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦长为()A.5B.6C．25D．26[答案]C[解析]x2＋y2＝50与x2＋y2－12x－6y＋40＝0作差，得两圆公共弦所在的直线方程为2x＋y－15＝0，圆x2＋y2＝50的圆心(0,0)到2x＋y－15＝0的距离d＝35，因此，公共弦长为250－52＝25，选C.3．(2011·山东济宁一模)过点(－2,0)且倾斜角为π4的直线l与圆x2＋y2＝5相交于M、N两点，则线段MN的长为()A．22B．3C．23D．6[答案]C[解析]l的方程为x－y＋2＝0，圆心(0,0)到直线l的距离d＝2，则弦长|MN|＝2r2－d2＝23.4．(文)已知圆x2＋y2＝9与圆x2＋y2－4x＋4y－1＝0关于直线l对称，则直线l的方程为()A．4x－4y＋1＝0B．x－4＝0C．x＋y＝0D．x－y－2＝0[答案]D[解析]两圆方程相减得4x－4y＋1＝9，即x－y－2＝0，选D.[点评]直线l为两圆心连线段的中垂线．(理)已知圆O1：(x－a)2＋(y－b)2＝4，O2：(x－a－1)2＋(y－b－2)2＝1(a、b∈R)，那么两圆的位置关系是()A．内含B．内切C．相交D．外切[答案]C[解析]两圆半径分别为2,1，因为1|O1O2|＝53，所以两圆相交．5．直线xsinθ＋ycosθ＝1＋cosθ与圆x2＋(y－1)2＝4的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能[答案]C[解析]圆心到直线的距离d＝|cosθ－1－cosθ|sin2θ＋cos2θ＝12，∴直线与圆相交．6．(2011·江南十校联考)若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为()A．2x＋y－3＝0B．x＋y－1＝0C．x－y－3＝0D．2x－y－5＝0[答案]C[解析]由题知圆心C的坐标为(1,0)，因为CP⊥AB，kCP＝－1，所以kAB＝1，所以直线AB的方程为y＋1＝x－2，即x－y－3＝0，故选C.7．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，O为原点，且OA→·OB→＝2，则实数a的值等于________．[答案]±6[解析]本题考查直线与圆的位置关系和向量的运算．设OA→、OB→的夹角为θ，则OA→·OB→＝R2·cosθ＝4cosθ＝2，∴cosθ＝12，∴θ＝π3，则弦AB的长|AB→|＝2，弦心距为3，由圆心(0,0)到直线的距离公式有：|0＋0－a|2＝3，解之得a＝±6.8．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．[答案](x－2)2＋(y－2)2＝2[解析]∵⊙A：(x－6)2＋(y－6)2＝18的圆心A(6,6)，半径r1＝32，∵A到l的距离52，∴所求圆B的直径2r2＝22，即r2＝2.设B(m，n)，则由BA⊥l得n－6m－6＝1，又∵B到l距离为2，∴|m＋n－2|2＝2，解出m＝2，n＝2.1.(2011·东北三校二模)与圆x2＋(y－2)2＝1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有()A．2条B．3条C．4条D．6条[答案]C[解析]由题意可知，过原点且与圆相切的直线共有2条，此时在两坐标轴上的截距都是0；当圆的切线在两坐标轴上的截距相等且不为零时，易知满足题意的切线有2条；综上共计4条．2．(2011·江西理，9)若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是()A.(－33，33)B.(－33，0)∪(0,33)C.[－33，33]D．(－∞，－33)∪(33，＋∞)[答案]B[解析]曲线C1表示以(1,0)为圆心，半径为1的圆，曲线C2：y(y－mx－m)＝0表示直线y＝0与y－mx－m＝0，若有四个不同的交点，则直线y－mx－m＝0与圆有两个不同的交点且不过点(0,0)，则由|2m|1＋m21得，－33m33，且m≠0，故选B.3．设A为圆C：(x＋1)2＋y2＝4上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为()A．(x＋1)2＋y2＝25B．(x＋1)2＋y2＝5C．x2＋(y＋1)2＝25D．(x－1)2＋y2＝5[答案]B[解析]设P(x，y)，由题意可知|PC|2＝|PA|2＋|AC|2＝12＋22＝5，所以P点轨迹为圆，圆心为C(－1,0)，半径为5.∴方程为(x＋1)2＋y2＝5，故选B.4．(文)(2011·海淀期末)已知直线l：y＝－1，定点F(0,1)，P是直线x－y＋2＝0上的动点，若经过点F、P的圆与l相切，则这个圆面积的最小值为()A.π2B．πC．3πD．4π[答案]B[解析]由于圆经过点F、P且与直线y＝－1相切，所以圆心到点F、P与到直线y＝－1的距离相等．由抛物线的定义知圆心C在以点(0,1)为焦点的抛物线x2＝4y上，圆与直线x－y＋2＝0的交点为点P.显然，圆心为抛物线的顶点时，半径最小为1，此时圆面积最小，为π.故选B.(理)(2010·宁夏联考)若关于x，y的方程组ax＋by＝1x2＋y2＝10有解，且所有的解都是整数，则有序数对(a，b)所对应的点的个数为()A．24B．28C．32D．36[答案]C[解析]x2＋y2＝10的整数解为：(1,3)，(3,1)，(1，－3)，(－3,1)，(－1,3)，(3，－1)，(－1，－3)，(－3，－1)，所以这八个点两两所连的不过原点的直线有24条，过这八个点的切线有8条，每条直线确定了唯一的有序数对(a，b)，所以有序数对(a，b)所对应的点的个数为32.5．(文)(2011·济南三模)双曲线x26－y23＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r0)相切，则r＝________.[答案]3[解析]由双曲线的方程可知，其中的一条渐近线方程为y＝22x，圆的圆心坐标为(3,0)，则圆心到渐近线的距离d＝|322|62＝3，所以圆的半径为3.(理)(2011·杭州二检)已知A，B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且|AB|＝6，若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是________．[答案](x－1)2＋(y＋1)2＝9[解析]设圆心为M(x，y)，由|AB|＝6知，圆M的半径r＝3，则|MC|＝3，即x－2＋y＋2＝3，所以(x－1)2＋(y＋1)2＝9.6．(文)(2011·新课标全国文，20)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．[解析](1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(22)2＋t2，解得t＝1.则圆C的半径为r＝32＋t－2＝3.所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组：x－y＋a＝0，x－2＋y－2＝9.消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.由已知可得，判别式△＝56－16a－4a2＞0.因此，x1,2＝－2a56－16a－4a24，从而x1＋x2＝4－a，x1x2＝a2－2a＋12.①由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0.又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以2x1x2＋a(x2＋x2)＋a2＝0.②由①，②得a＝－1，满足Δ0，故a＝－1.(理)在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－3y＝4相切．(1)求圆O的方程；(2)圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求PA→·PB→的取值范围．[解析](1)依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x－3y＝4的距离，即r＝41＋3＝2，∴圆O的方程为x2＋y2＝4.(2)由(1)知A(－2,0)，B(2,0)．设P(x，y)，由|PA|、|PO|、|PB|成等比数列得，x＋2＋y2·x－2＋y2＝x2＋y2，即x2－y2＝2.PA→·PB→＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝x2－4＋y2＝2(y2－1)．由于点P在圆O内，故x2＋y24x2－y2＝2，由此得y21.所以PA→·PB→的取值范围为[－2,0)．7．已知定直线l：x＝－1，定点F(1,0)，⊙P经过F且与l相切.(1)求P点的轨迹C的方程.(2)是否存在定点M，使经过该点的直线与曲线C交于A、B两点，并且以AB为直径的圆都经过原点；若有，请求出M点的坐标；若没有，请说明理由.[解析](1)由题设知点P到点F的距离与点P到直线l的距离相等．∴点P的轨迹C是以F为焦点，l为准线的抛物线∴点P的轨迹C的方程为：y2＝4x(2)设AB的方程为x＝my＋n，代入抛物线方程整理得：y2－4my－4n＝0设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4my1y2＝－4n.∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB，∴y1y2＋x1x2＝0.即y1y2＋y214·y224＝0.∴y1y2＝－16，∴－4n＝－16，n＝4.∴直线AB：x＝my＋4恒过M(4,0)点．1．(2010·广东执信中学)已知点P(a，b)(ab≠0)是圆O：x2＋y2＝r2内一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，若直线n的方程为ax＋by＝r2，则()A．m∥n且n与圆O相离B．m∥n且n与圆O相交C．m与n重合且n与圆O相离D．m⊥n且n与圆O相离[答案]A[解析]由点P(a，b)(ab≠0)是圆O：x2＋y2＝r2内一点得，a2＋b2|r|，即a2＋b2r2，直线OP的斜率为k1＝ba，故直线m的斜率km＝－1k1＝－ab，其方程为ax＋by＝a2＋b2，又直线n：ax＋by＝r2，故m∥n；另一方面，圆心O到直线n：ax＋by＝r2的距离为d＝|－r2|a2＋b2r2|r|＝|r|，故直线n与圆O相离．2．设直线x＋ky－1＝0被圆O：x2＋y2＝2所截弦的中点的轨迹为M，则曲线M与直线x－y－1＝0的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．不确定[答案]C[解析]∵直线x＋ky－1＝0过定点N(1,0)，且点N(1,0)在圆x2＋y2＝2的内部，∴直线被圆所截弦的中点的轨迹M是以ON为直径的圆，圆心为P12，0，半径为12，∵点P12，0到直线x－y－1＝0的距离为2412，∴曲线M与直线x－y－1＝0相交，故选C.3．已知直线ax＋by－1＝0(a，b不全为0)与圆x2＋y2＝50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有()A．66条B．72条C．74条D．78条[答案]B[解析]因为在圆x2＋y2＝50上，横坐标、纵坐标都为整数的点一共有12个，即：(1，±7)，(5，±5)，(7，±1)，(－1，±7)，(－5，±5)，(－7，±1)，经过其中任意两点的割线有12×(12×11)＝66条，过每一点的切线共有12条，可知与该圆有公共点且公共点的横坐标、纵坐标都为整数的直线共有66＋12＝78条，而方程ax＋by－1＝0表示的直线不过原点，上述78条直线中过原点的直线有6条，故符合条件的直线共有78－6＝