2014高考数学黄金配套练习10-8理

-1-2014高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．若ξ～B(n，p)且Eξ＝6，Dξ＝3，则P(ξ＝1)的值为()A．3·2－2B．3·2－10C．2－4D．2－8答案B解析Eξ＝np＝6，Dξ＝np(1－p)＝3⇒p＝12，n＝12，P(ξ＝1)＝C112(12)12＝3·2－10.2．设随机变量的分布列如表所示，且Eξ＝1.6，则a×b＝()ξ0123P0.1ab0.1A.0.2B．0.1C．0.15D．0.4解析由分布列的性质得0.1＋a＋b＋0.1＝1，∴a＋b＝0.8①又由Eξ＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3②由①②解得a＝0.3，b＝0.5，∴a×b＝0.3×0.5＝0.15.答案C3．已知离散型随机变量ξ，η，满足ξ＋η＝8，且ξ～B(10,0.6)，则Eη，Dη分别是()A．6、2.4B．2、2.4C．2、5.6D．6、5.6解析由均值、方差的性质，ξ＋η＝8，得η＝8－ξ，Eη＝8－Eξ＝8－10×0.6＝2，Dη＝D(8－ξ)＝(－1)2Dξ＝10×0.6×0.4＝2.4.答案B4．设投掷1颗骰子的点数为ξ，则()A．Eξ＝3.5，Dξ＝3.52B．Eξ＝3.5，Dξ＝3512C．Eξ＝3.5，Dξ＝3.5D．Eξ＝3.5，Dξ＝3516答案B5．一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为()A．2.44B．3.376C．2.376D．2.4答案C6．随机变量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a，b，c成等差数列，若Eξ＝13，则Dξ的值是()A.13B.23C.59D.79解析∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，又a＋b＋c＝1，且Eξ＝－1×a＋1×c＝c－a＝13.联立三式得a＝16，b＝13，c＝12，∴Dξ＝(－1－13)2×16＋(0－13)2×13＋(1－13)2×12＝59.-2-答案C二、填空题7．若随机变量ξ的分布列为：P(ξ＝m)＝13，P(ξ＝n)＝a.若Eξ＝2，则Dξ的最小值等于________．答案0解析依题意有a＝1－13＝23，所以Eξ＝13m＋23n＝2，即m＋2n＝6，又Dξ＝13(m－2)2＋23(n－2)2＝2n2－8n＋8＝2(n－2)2，所以当n＝2时，Dξ取最小值为0.8．设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．答案12，25解析Dξ＝100P(1－P)≤100·(P＋1－P2)2＝25当且仅当P＝1－P.即P＝12时，Dξ最大为25.9．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元，设一年内事件E发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的10%，公司应要求投保人交的保险金为________元．解析设要求投保人交x元，公司的收益额ξ作为随机变量，则p(ξ＝x)＝1－p，p(ξ＝x－a)＝p，故Eξ＝x(1－p)＋(x－a)p＝x－ap，所以x－ap＝0.1a∴x＝(0.1＋p)a.答案(0.1＋p)a三、解答题10．一台设备由三大部件组成，在设备运转中，各部件需要调整的概率相应为0.10，0.20和0.30.假设各部件的状态相互独立，以ξ表示同时需要调整的部件数，试求ξ的数学期望Eξ和方差Dξ.解析P(ξ＝0)＝P(A1A2A3)＝0.9×0.8×0.7＝0.504；P(ξ＝1)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝0.1×0.8×0.7＋0.9×0.2×0.7＋0.9×0.8×0.3＝0.398；P(ξ＝2)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝0.1×0.2×0.7＋0.1×0.8×0.3＋0.9×0.2×0.3＝0.092；P(ξ＝3)＝P(A1A2A3)＝0.1×0.2×0.3＝0.006.∴Eξ＝1×0.398＋2×0.092＋3×0.006＝0.6，Dξ＝Eξ2－(Eξ)2＝1×0.398＋4×0.092＋9×0.006－0.62＝0.82－0.36＝0.4611．某制药厂新研制出一种抗感冒药，经临床试验疗效显著，但由于每位患者的身体素质不同，可能有少数患者服用后会出现轻微不良反应，甲、乙、丙三位患者均服用了此抗感冒药，若他们出现轻微不良反应的概率分别是15，13，14.(1)求恰好有一人出现轻微不良反应的概率；(2)求至多有两人出现轻微不良反应的概率；(3)设出现轻微不良反应的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．-3-解析(1)患者甲出现轻微不良反应，患者乙、丙没有出现轻微不良反应的概率为15×23×34＝110；患者乙出现轻微不良反应，患者甲、丙没有出现轻微不良反应的概率为45×13×34＝15；患者丙出现轻微不良反应，患者甲、乙没有出现轻微不良反应的概率为45×23×14＝215，所以，恰好有一人出现轻微不良反应的概率为P1＝110＋15＋215＝1330.(2)有两人出现轻微不良反应的概率P2＝15×13×34＋45×13×14＋15×23×14＝120＋115＋130＝320.三人均没有出现轻微不良反应的概率P0＝45×23×34＝25，所以，至多有两人出现轻微不良反应的概率为25＋1330＋320＝5960.(3)依题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，由(1)(2)得，P(ξ＝0)＝25，P(ξ＝1)＝1330，P(ξ＝2)＝320，P(ξ＝3)＝1－25－1330－320＝160.于是ξ的分布列为：ξ0123P251330320160ξ的数学期望Eξ＝0×25＋1×1330＋2×320＋3×160＝4760.12．甲、乙、丙三人组成一组参加一个闯关游戏团体赛．三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为13，甲、乙都闯关成功的概率为16，乙、丙都闯关成功的概率为15.每人闯关成功记2分，三人得分之和记为小组团体总分．(1)求乙、丙各自闯关成功的概率；(2)设团体总分为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．解析(1)设乙闯关成功的概率为P1，丙闯关成功的概率为P2，则由题意得13P1＝16，P1·P2＝15.解得P1＝12，P2＝25.即乙闯关成功的概率为12，丙闯关成功的概率为25.(2)由题意知，ξ的可能取值为0,2,4,6，且P(ξ＝0)＝(1－13)×(1－12)×(1－25)＝15；P(ξ＝2)＝13×(1－12)×(1－25)＋(1－13)×12×(1－25)＋(1－13)×(1－12)×25＝1330；P(ξ＝4)＝(1－13)×12×25＋13×(1－12)×25＋13×12×(1－25)＝310；P(ξ＝6)＝13×12×25＝115.所以随机变量ξ的分布列为ξ0246P151330310115所以Eξ＝0×15＋2×1330＋4×310＋6×115＝3715.-4-13．某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(pq)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为ξ0123P6125ab24125(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(2)求p、q的值；(3)求数学期望Eξ.解析事件Ai表示“该生第i门课程取得优秀成绩”i＝1,2,3，由题意知P(A1)＝45，P(A2)＝p，P(A3)＝q.(1)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”，与事件“ξ＝0”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是1－P(ξ＝0)＝1－6125＝119125.(2)由题意知P(ξ＝0)＝P(A1A2A3)＝15(1－p)(1－q)＝6125，P(ξ＝3)＝P(A1A2A3)＝45pq＝24125.整理得pq＝625，p＋q＝1.由pq，可得p＝35，q＝25.(3)由题意知a＝P(ξ＝1)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝45(1－p)(1－q)＋15p(1－q)＋15(1－p)q＝37125.b＝P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝58125.Eξ＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)＋2×P(ξ＝2)＋3×P(ξ＝3)＝95.14．设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.(1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列及其数学期望Eξ.解析(1)由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}．由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为：(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，所以ξ＝m2的所有不同取值为0,1,4,9，且有P(ξ＝0)＝16，P(ξ＝1)＝26＝13.P(ξ＝4)＝26＝13，P(ξ＝9)＝16.故ξ的分布列为：ξ0149P16131316所以Eξ＝0×16＋1×13＋4×13＋9×16＝196.-5-15．某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间．(1)求ξ的分布列；(2)求ξ的数学期望．解析(1)ξ的所有可能取值为：1,3,4,6，P(ξ＝1)＝13，P(ξ＝3)＝16，P(ξ＝4)＝16，P(ξ＝6)＝13，所以ξ的分布列为：ξ1346P13161613(2)Eξ＝1×13＋3×16＋4×16＋6×13＝72(小时)．拓展练习·自助餐1．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X表示取到次品的个数，则E(X)等于()A.35B.815C.1415D．1答案A解析离散型随机变量X服从N＝10，M＝3，n＝2的超几何分布，∴EX＝nMN＝2×310＝35.2．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗亭．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯的次数的期望为()A．0.4B．1.2C．0.43D．0.6答案B解析∵途中遇红灯的次数X服从二项分布，即X～B(3,0.4)，∴EX＝3×0.4＝1.2.3．设ξ～B(n，p)，且Eξ＝12，Dξ＝4，则n与p的值分别为()A．18，13B．12，23C．18，23D．12，13答案C解析由np＝12np(1－p)＝4，解得n＝18，p＝23.4．在1,2,3，…，9这9个自然数中，任取3个数．(1)求这3个数中恰有1个是偶数的概率；(2)记ξ为这3个数中两数相邻的组数(例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时ξ的值是2)．求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ.解析(1)记“这3个数中恰有一个是偶数”为事件A，则P(A)＝C14C25C39＝1021.(2)随机变量ξ的取值为0,1,2.ξ的分布列是ξ012-6-P51212112所以ξ的数学期望Eξ＝0×512＋1×12＋2×112＝235．下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．(1)求直方图中x的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望．解析(1)依题意及频率分布直方图知，0.02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.12.(2)由题意知，X～B(3,0.1)．因此P(X＝0)＝C03×0.93＝0.729，P(X＝1)＝C13×0.1×0.92＝0.243，P(X＝2)＝C23×0.12×0.9＝0.027，P(X＝3)＝C33×0.13＝0.001.故随机变量X的分布列为X0123P0.7