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-1-2014高考数学(理)黄金配套练习4—8一、选择题1.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β之间的关系是()A.αβB.α=βC.α+β=90°D.α+β=180°答案B2.如图,在河岸AC测量河的宽度BC,图中所标的数据a,b,c,α,β是可供测量的数据.下面给出的四组数据中,对测量河宽较适宜的是()A.c和aB.c和bC.c和βD.b和α答案D3.已知A、B两地的距离为10km,B、C两地的距离为20km,现测得∠ABC=120°,则A、C两地的距离为()A.10kmB.3kmC.105kmD.107km答案D解析AC=AB2+BC2-2AB·BC·cos120°=102+202+2×10×20×12=107(km).4.某人在山外一点测得山顶的仰角为42°,沿水平面退后30米,又测得山顶的仰角为39°,则山高为(sin42°≈0.6691,sin39°≈0.6293,sin3°≈0.0523)()A.180米B.214米C.242米D.266米答案C解析∵∠BCA=42°,∠BDA=39°,∴∠DBC=3°.在△BDC中,DC=30,DCsin3°=BCsin39°,∴BC=30·sin39°sin3°.在Rt△ABC中,AB=BC·sin42°=30·sin39°·sin42°sin3°=242.5.在200m高的山顶上,测得山下塔顶和塔底的俯角分别为30°,60°,则塔高为()A.4003mB.40033mC.20033mD.2003m答案A解析-2-在Rt△BAC中∠ABC=30°,AB=200,∴BC=ABcos30°=40033,∵∠EBD=30°,∠EBC=60°,∴∠DBC=30°,∠BDC=120°,在△BDC中,DCsin30°=BCsin120°,∴DC=BC·sin30°sin120°=40033×1232=4003(m).6.有一长为1千米的斜坡,它的倾斜角为20°,现要将倾斜角改为10°,则斜坡长为________千米.()A.1B.2sin10°C.2cos10°D.cos20°答案C解析由题意知DC=BC=1,∠BCD=160°,∴BD2=DC2+CB2-2DC·CB·cos160°=1+1-2×1×1cos(180°-20°)=2+2cos20°=4cos210°,∴BD=2cos10°.二、填空题7.(2010·潍坊质检)已知A船在灯塔C北偏东80°处,且A船到灯塔C的距离为2km,B船在灯塔C北偏西40°处,A、B两船间的距离为3km,则B船到灯塔C的距离为____km.答案6-1解析如图,由题意可得,∠ACB=120°,AC=2,AB=3.设BC=x,则由余弦定理可得:AB2=BC2+AC2-2BC·ACcos120°,即32=x2+22-2×2xcos120°,整理得x2+2x=5,解得x=6-1.8.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,-3-且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟,从D沿着DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米,则该扇形的半径为________米.答案17500解析连接OC,在△OCD中,OD=100,CD=150,∠CDO=60°,由余弦定理得:OC2=1002+1502-2·100·150·cos60°=17500.9.某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,第一排和最后一排的距离为106米(如图所示),旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌长度约为50秒,升旗手应以________(米/秒)的速度匀速升旗.答案0.6解析在△BCD中,∠BDC=45°,∠CBD=30°,CD=106,由正弦定理,得BC=CDsin45°sin30°=203;在Rt△ABC中,AB=BCsin60°=203×32=30(米).所以升旗速度v=ABt=3050=0.6(米/秒).三、解答题10.如图,某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°,距离为126nmile,在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°,距离为83nmile,货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在北偏东120°.求:(1)A处与D处的距离;(2)灯塔C与D处的距离.解析(1)在△ABD中,∠ADB=60°,∴∠B=45°,由正弦定理得ADsin∠B=ABsin∠ADB,即AD=ABsin∠Bsin∠ADB=126×2232=24(nmile).(2)在△ACD中,∵AC=83,∠CAD=30°,由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos∠CAD=242+(83)2-2×24×83cos30°=192.即CD=83≈14(nmile).因此A处与D处的距离为24nmile,灯塔C与D处的距离约为14nmile.11.-4-如图,港口B在港口O正东方120海里处,小岛C在港口O北偏东60°方向、港口B北偏西30°方向上.一艘科学考察船从港口O出发,沿北偏东30°的OA方向以20海里/时的速度驶离港口O.一艘快船从港口B出发,以60海里/时的速度驶向小岛C,在C岛装运补给物资后给考察船送去,现两船同时出发,补给物资的装船时间要1小时,问快艇驶离港口B后最少要经过多少时间才能和考察船相遇?解析设快艇驶离港口B后,最少要经过x小时,在OA上点D处与考察船相遇,连结CD,则快艇沿线段BC、CD航行.在△OBC中,∠BOC=30°,∠CBO=60°,∴∠BCO=90°.又BO=120,∴BC=60,OC=603.∴快艇从港口B到小岛C需要1小时.在△OCD中,∠COD=30°,OD=20x,CD=60(x-2).由余弦定理,得CD2=OD2+OC2-2OD·OC·cos∠COD.∴602(x-2)2=(20x)2+(603)2-2·20x·603·cos30°.解得x=3或x=38.∵x1,∴x=3.答:快艇驶离港口B后最少要经过3小时才能和考察船相遇.12.如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+3)海里的两个观测点.现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D点需要多长时间?答案救援船到达D点需要1小时.解析由题意知AB=5(3+3)海里,∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=90°-45°=45°,∴∠ADB=180°-(45°+30°)=105°,在△DAB中,由正弦定理得DBsin∠DAB=ABsin∠ADB,∴DB=AB·sin∠DABsin∠ADB=+3sin105°=+3sin45°cos60°+cos45°sin60°=-5-533+3+12=103(海里),又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°,BC=203(海里),在△DBC中,由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos∠DBC=300+1200-2×103×203×12=900,∴CD=30(海里),则需要的时间t=3030=1(小时).答:救援船到达D点需要1小时.注:如果认定△DBC为直角三角形,根据勾股定理正确求得CD,同样给分.教师备选题1.(南京第一次调研)如图,海岸线上有相距5海里的两座灯塔A,B,灯塔B位于灯塔A的正南方向.海上停泊着两艘轮船,甲船位于灯塔A的北偏西75°方向,与A相距32海里的D处;乙船位于灯塔B的北偏西60°方向,与B相距5海里的C处.则两艘轮船之间的距离为________海里.答案13解析连接AC,∵AB=BC,∠ABC=60°,∴AC=5;在△ACD中,AD=32,AC=5,∠DAC=45°,由余弦定理得CD=13.2.甲船在A处观察乙船在它的北偏东60°的B处,此时两船相距a海里,乙船正向北行驶,若甲船的速度是乙船的3倍,则甲船以什么方式前进才能追赶上乙船?此时乙船行驶了多少海里?解析如图所示,AC为甲船的航行路线,BC为乙船的航行路线,设甲船取北偏东θ的方向去追赶乙船,在C点处追上,若乙船行驶的速度是v,则甲船行驶的速度是3v,由于甲、乙两船到达C点的时间相等,都为t,则BC=vt,AC=3vt.∠ABC=120°.由余弦定理可知AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos120°,即3v2t2=a2+v2t2+avt.所以2v2t2-avt-a2=0.解得t1=av,t2=-a2v(舍去).-6-所以BC=a,∠CAB=30°,θ=30°.即甲船应取北偏东30°的方向去追赶乙船,此时乙船已行驶a海里.3.某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值;(3)是否存在v,使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶,总能有两种不同的航行方向与轮船相遇?若存在,试确定v的取值范围;若不存在,请说明理由.解析(1)设相遇时小艇的航行距离为S海里,则S=900t2+400-2·30t-=900t2-600t+400=t-132+300,故当t=13时,Smin=103,v=10313=303.即小艇以303海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.(2)设小艇与轮船在B处相遇,如图所示.由题意可得:(vt)2=202+(30t)2-2·20·30t·cos(90°-30°),化简得:v2=400t2-600t+900=400(1t-34)2+675.由于0t≤12,即1t≥2,所以当1t=2时,v取得最小值1013,即小艇航行速度的最小值为1013海里/小时.(3)由(2)知v2=400t2-600t+900,设1t=u(u0),于是400u2-600u+900-v2=0.(*)小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇,等价于方程(*)应有两个不等正根,即:6002--v2,900-v20,解得153u30.所以v的取值范围是(153,30).4.如图,某小区准备绿化一块直径为BC的半圆形空地,△ABC外的地方种草,△ABC的内接正方形PQRS为一水池,其余地方种花.若BC=a,∠ABC=θ,设△ABC的面积为S1,正方形PQRS的面积为S2,将比值S1S2称为“规划合理度”.(1)试用a,θ表示S1和S2.(2)当a为定值,θ=15°,求“规划合理度”的值.-7-解析(1)如题图,在Rt△ABC中,AC=asinθ,AB=acosθ,S1=12a2sinθcosθ=14a2sin2θ,设正方形的边长为x,则BQ=xcotθ,RC=xtanθ,∴xcotθ+x+xtanθ=a.∴x=acotθ+tanθ+1=asin2θ2+sin2θ,S2=(acotθ+tanθ+1)2=(asin2θ2+sin2θ)2.(2)θ=15°时,S1=14a2sin30°=18a2,S2=(asin30°2+sin30°)2=a225,∴S1S2=258
本文标题:2014高考数学黄金配套练习4-8理
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