4.2-向量组的秩

第4章向量空间与线性空间4.1向量组及其线性相关性4.4向量空间4.3线性方程组解的结构4.5n维Euclid空间4.6线性空间及其线性变换4.2向量组的秩4.2向量组的秩4.2.1等价向量组4.2.2向量组的极大线性无关组及秩内容小结向量组的秩3/21定义4.3设有两个n维向量组(I):,,,;(II):,,,rsααaβββ.若向量组(II)中每个向量都可由向量组(I)线性表示,则称向量组(II)可由向量组(I)线性表示.向量组(II)能相互线性表示,则称两向量组等价.若向量组(I)和4.2.1等价向量组注一个向量组的任何部分组都可由该向量组线性表示.向量组的秩4/21向量组的等价具有下面的性质:(1)自反性:向量组自身等价.(2)对称性:向量组(I)与向量组(II)等价,则向量组(II)与向量组(I)等价.(3)传递性:向量组(I)与向量组(II)等价,向量组(II)与向量组(III)等价,则向量组(I)与向量组(III)等价.向量组的秩5/2111112121212122221122,,,rrrrsssrsrkkkkkkkkkβαααβαααβααα则1112121222121212[][]sssrrrrskkkkkkkkkβββααα.设能由线性表示为,,,rααa,,,sβββ向量组的秩6/21称K为这一线性表示的系数矩阵,简称为则BAK,表示系数矩阵.若记12[],rAααα12[],sBβββ[],ijrskK向量组的秩7/21TT1112111TT2122222TT12rrnnnrnraaaaaaaaaγkγkγk.B的行向量组K的行向量组反之,若存在矩阵关系BAK,则B的列向量组能由A的列向量组线性表示,K为表示系数矩阵.同样,B的行向量组也能由K的行向量组线性表示,此时A为表示系数矩阵.向量组的秩8/21能由线性表示AXB有解.,,,rααa,,,sβββ与等价AXB,BYA均有解.,,,rααa,,,sβββ定理4.10设则1212[],[],rsAαααBβββrankrank[];AAB(1)能由线性表示当且仅当,,,rααa,,,sβββ(2)与等价当且仅当,,,rααa,,,sβββrankrankrank[]ABAB.向量组的秩9/21例4.7设有向量121231211210201,;,,,12310216481ααβββ试判断向量组是否能由向量组线性表示,12,αα123,,βββ向量组是否能由向量组线性表示.12,αα123,,βββ解12123[],[],AααBβββ记对矩阵做初等行变换化为阶梯矩阵:[]AB向量组的秩10/211211210201[]12310216481AB观察C知rank[]3,rank2,rank3,ABAB121120211100001100000C不能由向量组线性表示.12,αα123,,βββ量组能由向量组线性表示,12,αα123,,βββ于是向但是,向量组向量组的秩11/21推论4.11若向量组可由向量组,,,sβββ,,,rααα推论4.12若向量组,,,rααα12,,,sβββ可由向量组推论4.13若两个线性无关的向量组等价,则它们所含向量个数相等.线性表示,且sr,则线性相关.,,,sβββ线性表示,且向量组线性无关,则sr.12,,,sβββ向量组的秩12/214.2.2向量组的极大线性无关组及秩问题它的线性无关的部分组最多包含多少个向量?如何求这样的线性无关的部分组?任一含非零向量的向量组必定包含线性无关的部分组.定义4.4设向量组(I)的一个部分组,,,rααα满足:(1)线性无关;,,,rααα(2)向量组(I)中任何r1个向量都线性相关,则称是向量组(I)的极大线性无关组;,,,rααα数r称为向量组(I)的秩.向量组的秩13/21注1.只含零向量的向量组没有极大线性无关组,规定它的秩为0.2.向量组的极大线性无关组就是向量组中包含向量最多的线性无关的部分组.3.向量组的秩是向量组中线性无关向量的最大个数,故向量组的秩是唯一确定的.4.n中任意n个线性无关的向量都是n的极大线性无关组.一个向量组的极大线性无关组并非唯一.向量组的秩14/21定理4.14设向量组(I)的部分组是(I)的极,,,rααα大线性无关组的充要条件是(1)线性无关;,,,rααα(2)向量组(I)中任一向量都可由线性表示.,,,rααa注1.该定理是极大线性无关组的等价定义;2.向量组的秩可理解为“有效”向量的个数;3.任何一个向量组与其极大线性无关组是等价的;4.一个向量组中任何两个极大线性无关组是等价的.向量组的秩15/21推论4.15若向量组(II)可由向量组(I)线性表示,则向量组(II)的秩不大于向量组(I)的秩.例如,设注等价的向量组的秩相等.反之不真,即秩相等的向量组不一定等价.121210000,1,1,0,0001ααββ向量组的秩16/21但是向量不能由向量组线性表示,1α12,ββ向量不能由向量组线性表示,2β12,αα因此,向量组与向量组不等价.12,ββ12,αα则向量组和向量组的秩都等于2.12,αα12,ββ称A的列向量组的秩为A的列秩,A的行向量组的秩为A的行秩.向量组的秩17/21定理4.16矩阵的秩等于它的列秩也等于它的行秩证设rank,rA做初等行变换化A为最简阶梯矩阵B,B有r个非零行,这r个非零行中第一个非零元所在的r个列向量是线性无关的基本向量,且B的每个列向量都可由上述r个基本列向量线性表示,即B的列秩为r,因此A的列秩为r.所以A的秩等于A的列秩.因rankArank(AT),又由上知,AT的秩等于AT的列秩,即A的行秩,故A的秩等于A的行秩.向量组的秩18/21例4.8设123412342345,,,34564567αααα.(1)求该向量组的秩与极大线性无关组;(2)将向量组中其余向量表示成极大线性无关组的线性组合.解对做初等行变换化为阶梯矩阵:1234[]Aαααα向量组的秩19/211234234534564567A11110123000000001234[],Bββββ12,ββ是B的列向量组的极大线性无关组,1234,,,ββββ的秩为2,从而是的极大线性无关组,12,αα1234,,,αααα的秩为2.1234,,,αααα向量组的秩20/211111012300000000B观察矩阵C可得3124122,23,γγγγγγ从而再对B做初等行变换化为最简阶梯矩阵:10120123000000001234[],Cγγγγ3124122,23αααααα.向量组的秩21/21内容小结1.向量组等价的概念及性质2.极大线性无关组的概念和性质3.向量组的秩4.矩阵的秩与向量组的秩的关系