线性方程组解的结构

湘潭大学数学学院岳慧1第三节线性方程组解的结构第三章1.齐次线性方程组解的结构2.非齐次线性方程组解的结构目录上页下页返回结束2湘潭大学数学学院岳慧一.齐次线性方程组解的结构1.解向量齐次线性方程组,0Ax1212111,,,nnxxx若为方程的解，则0Ax121111nx称为方程组的解向量.目录上页下页返回结束3湘潭大学数学学院岳慧（1）若为的解，则21,xx0Ax21x0Ax也是的解.02121AAA也是的解．1kx0Ax.kkAkA00111x0Ax（2）若为的解，k为实数，则推广：1122nnkkk都是方程组的解齐次线性方程组的解的线性组合目录上页下页返回结束4湘潭大学数学学院岳慧2.基础解系当nAr)(时，有无穷解,其解向量为n维向量.故这无穷个解必存在一个极大线性无关组定义1.齐次线性方程组解的集合的一个极大线性无关组，称为该方程组的一个基础解系.则的基础解系是齐次线性方程组若,0,,,21Axt;0,,,)1(21的解的一组线性无关是Axt.,,,0)2(21线性表出的任一解都可由tAx即方程组的通解就是ttkkkx2211目录上页下页返回结束5湘潭大学数学学院岳慧定理1.当r(A)n时，齐次线性方程组的基础解系含有n-r个解向量.分析--00001001~,1,111rnrrrnbbbbA设齐次线性方程组的系数矩阵为，并不妨设的前个列向量线性无关．r于是可化为AAA目录上页下页返回结束6湘潭大学数学学院岳慧00000100121,1,111--nrnrrrnxxxbbbb--------nrnrrrrnrnrxbxbxxbxbx,11,111110Ax目录上页下页返回结束7湘潭大学数学学院岳慧现对取下列组数：nrx,,x1rn-nrrxxx21--------nrnrrrrnrnrxbxbxxbxbx,11,11111分别代入.,100,010,001目录上页下页返回结束8湘潭大学数学学院岳慧依次得rxx1,0011111--rbb,0102122--rbb.bbrn,rrn,rn-----1001从而求得原方程组的个解：rn-.bb,rn,rrn,----1,bbr--212,bbr--111,目录上页下页返回结束9湘潭大学数学学院岳慧下面证明是齐次线性方程组解集合的基础解系rn,,,-21100,,010,001由于个维向量rn-rn-线性无关，所以个维向量形成的矩阵的秩为n-r，故它们是线性无关的.rn-nrn,,,-21.,,,)1(21线性无关证明rn-目录上页下页返回结束10湘潭大学数学学院岳慧.,,,2)(21线性表示可由证明解空间的任一解都rn-.11方程组的一个解为上述设Tnrrx,,,,21的线性组合再作rn-rnnrr-2211由于是的解故也是的解.rn,,,-210Ax0Ax,.下面来证明目录上页下页返回结束11湘潭大学数学学院岳慧--0011111rrbb--0102122rrbb----1001rn,rrn,nbbrnnrr-2211nrrrcc211,0的解都是方程与由于Ax又等价于而0Ax目录上页下页返回结束12湘潭大学数学学院岳慧--------nrnrrrrnrnrxbxbxxbxbx,11,11111,都是此方程组的解与所以nrrrcc211nrrr211由.c,,crr11方程组目录上页下页返回结束13湘潭大学数学学院岳慧.故.2211rnnrr-即所以是齐次线性方程组解空间的一个基.rn-,,1说明1.该过程提供了如何求Ax=0的基础解系的方法..kkkxrnrn--22112．若是的基础解系，则其通解为rn,,,-210Ax.,,,21是任意常数其中rnkkk-3．基础解系不是唯一的,自由未知量的选取不同,就会产生不同的基础解系.目录上页下页返回结束14湘潭大学数学学院岳慧例1.求齐次线性方程组----0377,02352,0432143214321xxxxxxxxxxxx的基础解系与通解.解,0000747510737201137723521111~--------A对系数矩阵作初等行变换，变为行最简矩阵，有A目录上页下页返回结束15湘潭大学数学学院岳慧.7475,7372432431xxxxxx便得,100143及令xx,7473757221及对应有xx,107473,01757221即得基础解系目录上页下页返回结束16湘潭大学数学学院岳慧).,(,10747301757221214321Rccccxxxx并由此得到通解目录上页下页返回结束17湘潭大学数学学院岳慧例2.解线性方程组--------0742420436240203543215432143215421xxxxxxxxxxxxxxxxxx解--------74242436240121113011A对系数矩阵施行初等行变换目录上页下页返回结束18湘潭大学数学学院岳慧----00000100001100101~316567,2,5,3-rnnrAR即方程组有无穷多解，其基础解系中有二个线性无关的解向量.-54532531316567xxxxxxxx代入------00000130001222013011~,10,0153xx令目录上页下页返回结束19湘潭大学数学学院岳慧所以原方程组的一个基础解系为,001111-故原方程组的通解为.2211kkx.,21为任意常数其中kk,316567,011421-xxx依次得,131065672目录上页下页返回结束20湘潭大学数学学院岳慧二.非齐次线性方程组解的结构1.非齐次线性方程组解的性质.0,1)(2121的解为对应的齐次方程则的解都是及设-AxxbAxxx证明.021--bbA.021-Axx满足方程即bAbA21,证明AAA,0bb.的解是方程所以bAxx.,0,2)(的解仍是方程则的解是方程的解是方程设bAxxAxxbAxx目录上页下页返回结束21湘潭大学数学学院岳慧2.非齐次线性方程组的通解定理2..11--rnrnkkx其中为对应齐次线性方程组（导出组）的通解，为非齐次线性方程组的任一特解.rnrnkk--11非齐次线性方程组Ax=b的通解为证明略由前面的2个性质可以知道.目录上页下页返回结束22湘潭大学数学学院岳慧例3.求解方程组-------.2132,13,0432143214321xxxxxxxxxxxx解:施行初等行变换对增广矩阵B-------2132111311101111B,00000212100211011~---并有故方程组有解可见,,2)()(BRAR.212,2143421xxxxx目录上页下页返回结束23湘潭大学数学学院岳慧.212,2143421xxxxx,042xx取,2131xx则即得方程组的一个解.021021取中组在对应的齐次线性方程,243421xxxxx,100142及xx,210131及则xx目录上页下页返回结束24湘潭大学数学学院岳慧程组的基础解系即得对应的齐次线性方,1201,001121于是所求通解为).,(,0210211201001121214321Rccccxxxx目录上页下页返回结束25湘潭大学数学学院岳慧---.1044648,23622,2323,75432154325432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解---10446482362120231213711111B例4.求下述方程组的解目录上页下页返回结束26湘潭大学数学学院岳慧-----0000000000002362120711111~.,知方程组有解由BRAR,3,2-rnAR又所以方程组有无穷多解.且原方程组等价于方程组----236227543254321xxxxxxxxx求特解.223,29,021543-xxxxx得令目录上页下页返回结束27湘潭大学数学学院岳慧求基础解系，令.100,010,001543xxx依次得.32,10,212121----xx---543254321622xxxxxxxxx代入目录上页下页返回结束28湘潭大学数学学院岳慧.10032,01010,0012121321----所以方程组的通解为故