2016年苏州市中考数学动点型问题预测

12016年苏州市中考数学动点型问题预测所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目。解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题。其数学思想有：分类讨论、函数与方程、数形结合、转化归因等。其注重对几何图形运动变化能力的考查。从变换和运动的角度来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路，这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展。这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等。研究历年来苏州市中考数学的动点型问题，就能找到我市今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于师生在教与学的过程中把握方向，研究对策。只的这样，才能更好提高复习效果。其主要考点有：1、等腰三角形的存在性问题；2、相似三角形的存在性问题；3、直角三角形的存在性问题；4、平行四边形的存在性问题；5、梯形的存在性问题；6、相切的存在性问题；7、面积的存在性问题；8、线段和差最值的存在性问题；9、由比例线段产生的函数关系问题；10、由面积产生的函数关系问题。典型例题1：（2015年苏州工业园区一模，2013•张家港市二模）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21．动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P、Q分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，设运动的时间为t秒．（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式．（2）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO=OB时，求∠BQP的正切值．（3）当PQ⊥BD时，求t的值．2考点：相似形综合题．分析：（1）求出BQ=16﹣t，根据S=BQ×CD求出即可；（2）过Q作QE⊥AD于E，证△OPA∽△OQB，得出=，代入得出方程=，求出t，即可求出PE=t=，解直角三角形求出即可；（3）当PQ⊥BD时，过Q作QF⊥AD于F，证△PQF∽△DBC，得出=，代入求出即可．解答：（1）如图1，∵BQ=16﹣t，∴S=BQ×CD=（16﹣t）•12S=96﹣6t；（2），如图2，过Q作QE⊥AD于E，则QE=12，∵AD∥BC，∴△OPA∽△OQB，∴=，∵BO=2AO，∴=，t=，PE=t=，tan∠BQP=tan∠EPQ==；（3）如图3，当PQ⊥BD时，过Q作QF⊥AD于F，则∠QFP=∠C=∠BOQ=90°，∴∠DBC+∠BDC=90°，∠DBC+∠BQP=90°，∴∠BDC=∠BQP，∵AD∥BC，∴∠FPQ=∠BQP，∴∠FPQ=∠BDC，∵∠C=∠QFP，∴△PQF∽△DBC，∴=，∴=，∴t=9．点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，梯形的性质，平行线性质，三角形的面积的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力，题目比较好．变式练习：1．（2010•虹口区二模）如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=12，AD=18，AB=10．动点P、Q分别从点D、B同时出发，动点P沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q在线段BC上以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点Q运动到点C时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．（1）当点P在线段DA上运动时，连接BD，若∠ABP=∠ADB，求t的值；（2）当点P在线段DA上运动时，若以BQ为直径的圆与以AP为直径的圆外切，求t的值；（3）设射线PQ与射线AB相交于点E，△AEP能否为等腰三角形？如果能，请直接写出t的值；如果不能，请说明理由．342．（原创·双动点问题）（根据上述题目改编）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16．动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点D出发，在线段DA上以每秒1个单位长的速度向点A运动，点P、Q分别从点B、D同时出发，当点Q运动到点A时，点P随之停止运动，设运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，P、Q两点之间的距离是13？（2）当t为何值时，以P、Q、C、D为顶点的四边形为平行四边形？（3）是否存在某一时刻t，使直线PQ恰好把直角梯形ABCD的周长和面积同时等分？如存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．3．（原创改编题）如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16．动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．（1）当t为何值时，四边形PQDC的面积是梯形ABCD的面积的一半；（2）四边形PQDC能为平行四边形吗？如果能，求出t的值；如果不能，请说明理由．（3）四边形PQDC能为等腰梯形吗？如果能，求出t的值；如果不能，请说明理由．4．（原创改编题）已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=30º，BC=6，点D在边BC上，点E在线段DC上，DE=3，△DEF是等边三角形，边DF、EF与边BA、CA分别相交于点M、N．（1）求证：△BDM∽△CEN；（2）设BD=x，△ABC与△DEF重叠部分的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．（3）当点M、N分别在边BA、CA上时,是否存在点D，使以M为圆心,BM为半径的圆与直线EF相切,如果存在，请求出x的值；如不存在，请说明理由．ABFDEMNC5参考答案：变式练习1、考点：相似三角形的判定与性质；直角梯形；切线的性质．菁优网版权所有专题：动点型．分析：（1）由已知动点P和动点Q的速度，可以用t表示出DP和AP，由∠ABP=∠ADB，∠A=∠A可得到△ABP∽△ADB，即AB2=AD•AP，把已知数据和含t的代数式代入得到关于t的一元一次方程，从而求出t的值．（2）过点B作BH⊥AD，垂足为H，得直角三角形BHA，由已知AH=AD﹣BC，根据勾股定理求出BH，设BQ中点为O1、AP中点为O2即两个圆的圆心，再过O1作O1I⊥AD，垂足为I，连接O1O2，得直角三角形O1IO2，由已知得出O1I，以BQ为直径的圆与以AP为直径的圆外切，所以O1O2=BO1+AO2，由已知O2I=DO2﹣DI，在直角三角形O1IO2个边已求出，把求出的含t的代数式代入O1O22=O1I2+O2I2，得关于t的一元二次方程，从而求出t．（3）假设能为等腰三角形，可通过等腰三角形求出符合的t的值．解答：解：（1）已知动点P沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q在线段BC上以每秒1个单位长的速度，可得：DP=2t，AP=18﹣2t，∵∠ABP=∠ADB，∠A=∠A，∴△ABP∽△ADB，∴AB2=AD•AP，∴102=18×（18﹣2t），解得：．∵，∴．（2）过点B作BH⊥AD，垂足为H，得BH=8，记BQ中点为O1、AP中点为O2，连接O1O2，过点O1作O1I⊥AD，垂足为I，则O1I=BH=8，，，，DO2=9+t，∴，当时，以BQ为直径的圆与以AP为直径的圆外切，在Rt△O1IO2中，O1O22=O1I2+O2I2，即，整理得：t2=4，∵t＞0，∴t=2；（3）能，①当EP=EA时，∠EPA=∠A，此时四边形QPAB是等腰梯形，∴BQ=PA﹣12，∴t=18﹣2t﹣12，∴t=2；②当EP=PA时，PM=PA﹣MN﹣AN=18﹣2t﹣t﹣6=12﹣3t，EQ=BQ=t，∴PQ=EP﹣EQ=18﹣2t﹣t=18﹣3t，∵PQ2=PM2+QM2，∴（18﹣3t）2=（12﹣3t）2+64，解得：t=；③当AE=AP时，∵AB=10，∴EB=EA﹣AB=18﹣2t﹣10=8﹣2t，∵，即，解得：t=；④当点P在DA延长线上AP=AE（钝角三角形）AP=2t﹣18，AE=10﹣t，2t﹣18=10﹣t解得：t=。t的值可以是或或t=2或．6点评：此题考查了相似三角形的判定和性质、直角梯形和切线的性质，解答此题的关键一是通过相似形求t的值，再是通过作辅助线得直角三角形根据勾股定理列方程求t的值．第三是由等腰三角形计算出符合条件的t的值．变式练习2、考点：四边形综合题．菁优网版权所有分析：（1）结合勾股定理得出直角三角形的三边长，进而分类讨论得出符合题意的t的值；（2）利用当PD=CQ时，Q没有运动到C点时，当PD=CQ时，Q运动到C点后再向B点运动时，分别得出等式求出即可；（3）分别求出当PQ平分梯形面积以及平分梯形周长时的时间，进而得出答案．解答：解：（1）如图1，过点Q作QE⊥BC于点E，∵AB=12，当P、Q两点之间的距离是13时，∴PE=5，即DQ=t，AQ=16﹣t，PE=5，PB=3t，∴PB﹣AQ=3t﹣（16﹣t）=5，解得：t=，如图2，过点Q作QF⊥BC于点F，∵AB=12，当P、Q两点之间的距离是13时，∴PF=5，即DQ=t，AQ=16﹣t，PF=5，PB=3t，∴PB+PF=AQ=16﹣t=3t+5，解得：t=；综上所述：当t为或时，P、Q两点之间的距离是13；（2）如图3，当PD=CQ时，Q没有运动到C点时，由题意可得出：PD=t，CQ=21﹣3t，∴t=21﹣3t，解得：t=；如图4，当PD=CQ时，Q运动到C点后再向B点运动时，由题意可得出：PD=t，CQ=3t﹣21，∴t=3t﹣21，解得：t=，综上所述：当t=或时，以P、Q、C、D为顶点的四边形为平行四边形；（3）不存在，理由：∵直角梯形的面积为：×12×（21+16）=222，∴当梯形APQB面积为111时，直线PQ恰好把直角梯形ABCD的面积等分，即×AB×（AP+QB）=111，∴×12×（16﹣t+3t）=111，解得：t=，如图5，过点D作DW⊥BC于点W，∵AB=12，BC=21，AD=16，∴CW=5，CD=13，∵直角梯形的周长为：13+16+12+21=62，当梯形APQB的周长为31时，直线PQ恰好把直角梯形ABCD的周长等分，∴CD+QD+PC=31，即t+13+21﹣3t=31，解得：t=，∴不存在某一时刻t，使直线PQ恰好把直角梯形ABCD的周长和面积同时等分．点评：此题主要考查了四边形综合以及勾股定理和平行四边形的判定等知识，利用分类讨论的思想7得出是解题关键．变式练习3．考点：等腰梯形的判定；平行四边形的判定；直角梯形．菁优网版权所有专题：动点型．分析：（1）根据：路程=速度×时间，表示线段的长度，再利用：S梯形ABCD=S梯形PQDC，列方程求解；（2）只要能满足DQ=PC即可，由此建立等量关系，列方程求解；（3）当四边形PQDC为等腰梯形时，作QE⊥BC，DF⊥BC，垂足为E、F，需要满足PE=CF，由此建立等量关系，列方程求解．解答：解：（1）由已知得：AQ=t，QD=16﹣t，BP=2t，PC=21﹣2t，依题意，得×（16+21）×12=×（16﹣t+21﹣2t）×12，解得：；（2）能；当四边形PQDC为平行四边形时，DQ=PC，即16﹣t=21﹣2t，解得t=5；（3）不能。作QE⊥BC，DF⊥BC，垂足为E、F，当四边形PQDC为等腰梯形时，PE=CF，即t﹣2t=21﹣16，解得t=﹣5，不合实际．点评：本题考查了梯形计算面积的方法，根据平行四边形、等腰梯形的性质列方程求解的问题．（练习3）（练习