2014高考调研理科数学单元测试讲解_第十章单元测试

第十章单元测试一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)1．将编号为1,2,3,4,5的五个球放入编号为1,2,3,4,5的五个盒子，每个盒内放一个球，若恰好有三个球的编号与盒子编号相同，则不同的投放方法的种数为()A．6B．10C．20D．30答案B解析从编号为1,2,3,4,5的五个球中选出三个与盒子编号相同的球的投放方法有C35＝10种；另两个球的投放方法有1种，所以共有10种不同的投放方法．选择B.2．(1＋x)10(1＋1x)10展开式中的常数项为()A．1B．(C110)2C．C120D．C1020答案D解析因为(1＋x)10(1＋1x)10＝[(1＋x)(1＋1x)]10＝(2＋x＋1x)10＝(x＋1x)20(x0)，所以Tr＋1＝Cr20(x)20－r(1x)r＝Cr20x10－r，由10－r＝0，得r＝10，故常数项为T11＝C1020，选D.3.如图，三行三列的方阵中有9个数aij(i＝1,2,3；j＝1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是()A.37B.47C.1314D.114答案C解析所取三数既不同行也不同列的概率为6C39＝114，所求概率为1－114＝1314.4．设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ2a－3)＝P(ξa＋2)，则a的值为()A.73B.53C．5D．3答案A解析由已知2a－3，与a＋2关于3对称，故(2a－3)＋(a＋2)＝6，解得a＝73.5．在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sinx＋3cosx≤1”发生的概率为()A.14B.13C.12D.23答案C解析由题意知，此概率符合几何概型所有基本事件包含的区域长度为π，设A表示取出的x满足sinx＋3cosx≤1这样的事件，对条件变形为sin(x＋π3)≤12，即事件A包含的区域长度为π2.∴P(A)＝π2π＝12.6．一个坛子里有编号1,2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为()A.122B.111C.322D.211答案D解析分类：一类是两球号均为偶数且红球，有C23种取法；另一类是两球号码是一奇一偶有C13C13种取法，因此所求的概率为C23＋C13C13C212＝211.7．已知实数x∈[0,8]，执行如下图所示的程序框图，则输出的x不小于55的概率为()A.14B.12C.34D.45答案A解析程序框图经过3次运行后，得到2[2(2x＋1)＋1]＋1，即2[2(2x＋1)＋1]＋1≥55.所以x≥6，所以P＝8－68＝14.8．体育课的排球发球项目考试的规则是每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)1.75，则p的取值范围是()A．(0，712)B．(712，1)C．(0，12)D．(12，1)答案C解析发球次数X的分布列如下表，X123Pp(1－p)p(1－p)2所以期望E(X)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)21.75，解得p52(舍去)或p12，又p0，故选C.9．连掷两次骰子分别得到点数m、n，向量a＝(m，n)，b＝(－1,1)若在△ABC中，AB→与a同向，CB→与b反向，则∠ABC是钝角的概率是()A.512B.712C.39D.49答案A解析要使∠ABC是钝角，必须满足AB→·CB→＜0，即a·b＝n－m＞0，连掷两次骰子所得点数m、n共有36种情形，其中15种满足条件，故所求概率是512.10．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数其中A的各位数中，a1＝1，ak(k＝2,3,4,5)出现0的概率为13，出现1的概率为23.记ξ＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5，当程序运行一次时，ξ的数学期望E(ξ)＝()A.827B.1681C.113D.6581答案C解析ξ＝1时，P1＝C04(13)4(23)0＝134，ξ＝2时，P2＝C14(13)3·23＝834，ξ＝3时，P3＝C24·(13)2·(23)2＝2434，ξ＝4时，P4＝C34(13)·(23)3＝3234，ξ＝5时，P5＝C44(23)4＝1634，E(ξ)＝1×134＋2×834＋3×2434＋4×3234＋5×1634＝113.二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)11．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为________．答案112解析将一个骰子连抛三次，共有n＝63种不同情形．其中，落地时向上的点数依次成等差数列的有：①公差d＝±1的有4×2＝8(种)；②公差为±2的有2×2＝4(种)；③公差d＝0的有6种，共有m＝8＋4＋6＝18(种)，故所求概率为P＝mn＝1863＝112.12.用茎叶图记录甲、乙两人在5次体能综合测评中的成绩(成绩为两位整数)，现乙还有一次不小于90分的成绩未记录，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________．答案45解析由题意，得基本事件总数为10，满足要求的有8个，所以所求概率为810＝45.13．(2012·广东)(x2＋1x)6的展开式中x3的系数为______．(用数字作答)答案20解析由(x2＋1x)6的展开式的通项为Tr＋1＝Cr6(x2)6－r(1x)r＝Cr6x12－3r.令12－3r＝3，得r＝3，所以展开式中x3的系数为C36＝6×5×41×2×3＝20.14．(2012·上海)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示)．答案23解析根据条件求出基本事件的个数，再利用古典概型的概率计算公式求解．因为每人都从三个项目中选择两个，有(C23)3种选法，其中“有且仅有两人选择的项目完全相同”的基本事件有C23C13C12个，故所求概率为C23C13C12C233＝23.15．袋中有3个黑球，1个红球．从中任取2个，取到一个黑球得0分，取到一个红球得2分，则所得分数ξ的数学期望E(ξ)＝________.答案1解析由题得ξ所取得的值为0或2，其中ξ＝0表示取得的球为两个黑球，ξ＝2表示取得的球为一黑一红，所以P(ξ＝0)＝C23C24＝12，P(ξ＝2)＝C13C24＝12，故E(ξ)＝0×12＋2×12＝1.16．为落实素质教育，衡水重点中学拟从4个重点研究性课题和6个一般研究性课题中各选2个课题作为本年度该校启动的课题项目，若重点课题A和一般课题B至少有一个被选中的不同选法种数是k，则二项式(1＋kx2)6的展开式中，x4的系数为________．答案54000解析用直接法：k＝C13C15＋C13C25＋C23C15＝15＋30＋15＝60，x4的系数为C26k2＝15×3600＝54000.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)为备战2013年天津东亚运动会，射击队努力拼博，科学备战．现对一位射击选手100发子弹的射击结果统计如下：环数10环9环8环7环6环5环以下(含5环)频数2035251352试根据以上统计数据估算：(1)该选手一次射击命中8环以上(含8环)的概率；(2)该选手射击2发子弹取得19环以上(含19环)成绩的概率．解析以该选手射击的频率近似估算概率．(1)射击一次击中8环以上的概率约为P＝20＋35＋25100＝0.8.(2)记一次射击命中10环为事件p1，则p1＝0.2，一次射击命中9环为事件p2，则p2＝0.35，于是两次射击均命中10环的概率约为P(A)＝(p1)2＝0.04.两次射击一次命中10环，一次命中9环的概率约为P(B)＝C12p1p2＝0.14，即该选手射击2发子弹取得19环以上(含19环)成绩的概率约为0.18.18．(本小题满分12分)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23.(1)记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望E(ξ)；(2)求乙至多击中目标2次的概率；(3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．解析(1)P(ξ＝0)＝C03(12)3＝18；P(ξ＝1)＝C13(12)3＝38；P(ξ＝2)＝C23(12)3＝38；P(ξ＝3)＝C33(12)3＝18.ξ的概率分布如下表ξ0123P18383818E(ξ)＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝1.5.(2)乙至多击中目标2次的概率为1－C33(23)3＝1927.(3)设“甲恰比乙多击中目标2次”为事件A，“甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次”为事件B1，“甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次”为事件B2，则A＝B1＋B2，B1，B2为互斥事件．P(A)＝P(B1)＋P(B2)＝38×127＋18×29＝124.所以，甲恰好比乙多击中目标2次的概率为124.19．(本小题满分12分)某位收藏爱好者鉴定一件物品时，将正品错误地鉴定为赝品的概率为13，将赝品错误地鉴定为正品的概率为12.已知一批物品共有4件，其中正品3件、赝品1件．(1)求该收藏爱好者的鉴定结果为正品2件、赝品2件的概率；(2)求该收藏爱好者的鉴定结果中正品数X的分布列及数学期望．解析(1)有两种可能使得该收藏爱好者的鉴定结果为正品2件、赝品2件：其一是错误地把一件正品鉴定为赝品，其他鉴定正确；其二是错误地把两件正品鉴定为赝品，把一件赝品鉴定为正品，其他鉴定正确．则所求的概率为C13×13×(23)2×12＋C23×(13)2×23×12＝13.(2)由题意知X的所有可能取值为0,1,2,3,4.P(X＝0)＝(13)3×12＝154；P(X＝1)＝C23×(13)2×23×12＋(13)3×12＝754；P(X＝2)＝13；P(X＝3)＝(23)3×12＋C13×(23)2×13×12＝1027；P(X＝4)＝(23)3×12＝427.故X的分布列为X01234P154754131027427所以X的数学期望E(X)＝0×154＋1×754＋2×13＋3×1027＋4×427＝52.20．(本小题满分12分)已知A1，A2，A3，…，A6共6所高校举行自主招生考试，某同学参加这6所高校的考试获得通过的概率均为12.(1)若这6所高校的考试该同学都参加，试求该同学恰好通过2所高校自主招生考试的概率；(2)假设该同学参加每所高校考试所需的报名费用均为200元，该同学决定按A1，A2，A3，…，A6的顺序参加考试，一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，试求该同学参加考试所需报名费用ξ的分布列及数学期望．解析(1)因为该同学通过各校考试的概率均为12，所以该同学恰好通过2所高校自主招生考试的概率为P＝C26(12)2(1－12)4＝1564.(2)设该同学共参加了i次考试的概率为Pi(1≤i≤6，i∈Z)，则Pi＝12i，1≤i≤5，i∈Z，125，i＝6，所以该同学参加考试所需报名费用ξ的分布列为ξ20040060080010001200P12122123124125125E(ξ)＝(12×1＋122×2＋123×3＋124×4＋125×5＋125×6)×200＝6425×200＝15754.21．(本小题满分12分)李先生家在H小区，他在C科技园区工作，从家开车到公司上班有L1，L2两条路线(如图)，路线L1上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；路线L2上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35.(1)若走路线L1，求最多遇到1次红灯的概率；(2)若走路线L2，求遇到红灯次数X的数学期望；(3)按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求，请你帮助李先生分析上述两条路线中，选择哪条路线上班更好些，并说明理由．解析(1)设“走路线L1最多遇到1次红灯