2014高考调研理科数学单元测试讲解_第三章_单元测试

第三章单元测试一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)1．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为3x－y＋1＝0，则()A．f′(x0)＜0B．f′(x0)＞0C．f′(x0)＝0D．f′(x0)不存在答案B2．三次函数y＝ax3－x在(－∞，＋∞)内是减函数，则()A．a≤0B．a＝1C．a＝2D．a＝13答案A解析y′＝3ax2－1，由y′≤0，得3ax2－1≤0.∴a≤0.3．如果函数f(x)＝x4－x2，那么f′(i)＝()A．－2iB．2iC．6iD．－6i答案D解析因为f′(x)＝4x3－2x，所以f′(i)＝4i3－2i＝－6i.4．函数f(x)＝excosx的图像在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为()A．0B.π4C．1D.π2答案B解析f′(x)＝(excosx)′＝(ex)′cosx＋ex(cosx)′＝excosx＋ex(－sinx)＝ex(cosx－sinx)，则函数f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率＝ex(cosx－sinx)＝e0＝1，故切线的倾斜角为π4，故选B.5．若函数f(x)＝cosx＋2xf′(π6)，则f(－π3)与f(π3)的大小关系是()A．f(－π3)＝f(π3)B．f(－π3)f(π3)C．f(－π3)f(π3)D．不确定答案C解析依题意得f′(x)＝－sinx＋2f′(π6)，f′(π6)＝－sinπ6＋2f′(π6)，f′(π6)＝12，f′(x)＝－sinx＋1≥0.f(x)＝cosx＋x是R上的增函数，注意到－π3π3，于是有f(－π3)f(π3)，选C.6．设f(x)是一个三次函数，f′(x)为其导函数，如图所示的是y＝x·f′(x)的图像的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别是()A．f(1)与f(－1)B．f(－1)与f(1)C．f(－2)与f(2)D．f(2)与f(－2)答案C解析∵f(x)是一个三次函数，易知y＝x·f′(x)也是三次函数，观察图像，可知y＝x·f′(x)有三个零点－2,0,2.设y＝x·f′(x)＝ax(x－2)(x＋2)，∵当x2时，y＝x·f′(x)0，∴a0.∴f′(x)＝a(x－2)(x＋2)．∴f(－2)是极大值，f(2)是极小值，故选C.7．家电下乡政策是应对金融危机，积极扩大内需的重要举措．我市某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预期运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()答案B解析由题意可知，运输效率越来越高，只需曲线上点的切线的斜率越来越大即可，观察图形可知，选项B满足条件，故选B.8．(2012·福建)如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为()A.14B.15C.16D.17答案C解析阴影部分的面积为01(x－x)dx＝＝16，故所求的概率P＝阴影部分的面积正方形OABC的面积＝16，故选C.9．设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为()A．ln2B．－ln2C.ln22D.－ln22答案A解析f′(x)＝ex－ae－x，这个函数是奇函数，故对任意实数x恒有f′(－x)＝－f′(x)，即e－x－aex＝－ex＋ae－x.即(1－a)(ex＋e－x)＝0对任意实数x恒成立，故只能是a＝1.此时f′(x)＝ex－e－x，设切点的横坐标为x0，则＝32，即2－2＝0，即＝0，只能是＝2，解得x0＝ln2.故选A.10．已知函数f(x)＝x3＋2bx2＋cx＋1有两个极值点x1、x2，且x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]，则f(－1)的取值范围是()A．[－32，3]B．[32，6]C．[3,12]D．[－32，12]答案C解析f′(x)＝3x2＋4bx＋c，由题意，得f′－2＝12－8b＋c≥0，f′－1＝3－4b＋c≤0，f′1＝3＋4b＋c≤0，f′2＝12＋8b＋c≥0.f(－1)＝2b－c，当直线过点A时f(－1)取最小值3，当直线过点B时取最大值12，故选C.二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)11．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)＝________.答案－1解析f′(x)＝2f′(1)＋1x，令x＝1，得f′(1)＝－1.12．已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)，若函数f(x)＝a·b在区间(－1,1)上是增函数，则实数t的取值范围是________．答案[5，＋∞)解析f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋t，f′(x)＝－3x2＋2x＋t，由题意f′(x)0在(－1,1)上恒成立，则f′－1≥0，f′1≥0，即t－5≥0，t－1≥0，解得t≥5.13．已知曲线y＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，则x0的值为________．答案0或－23解析y′＝2x，y′＝－3x2，曲线y＝x2－1在x＝x0处的切线斜率k＝，曲线y＝1－x3在x＝x0处的切线斜率为k′＝，则2x0＝－3x20，解得x0＝0或x0＝－23.14．函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是________．答案(－1,2]解析f′(x)＝3－3x2＝－3(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.当x变化时，f′(x)、f(x)变化情况如下表x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)极小值－2极大值2又由3x－x3＝－2，得(x＋1)2(x－2)＝0.∴x1＝－1，x2＝2.∵f(x)在开区间(a2－12，a)上有最小值，∴最小值一定是极小值．∴a2－12－1a，a≤2，解得－1a≤2.15．如图，函数y＝x2与y＝kx(k0)的图像所围成的阴影部分的面积为92，则k＝________.答案3解析由y＝x2，y＝kx，得两曲线交点为(0,0)，(k，k2)．则S＝0k(kx－x2)dx＝92，即k3＝27，∴k＝3.16．函数y＝x＋2cosx在区间[0，π2]上的最大值是________．答案π6＋3解析由y′＝1－2sinx＝0，得x＝π6，x∈(0，π6)时，y′0，x∈(π6，π2)，y′0，函数在x＝π6处取得最大值，ymax＝π6＋2×32＝π6＋3.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)设函数f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)为奇函数，其图像在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为－12.(1)求a，b，c的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值．解析(1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即－ax3－bx＋c＝－ax3－bx－c.∴c＝0，∵f′(x)＝3ax2＋b的最小值为－12，∴b＝－12.又直线x－6y－7＝0的斜率为16，因此，f′(1)＝3a＋b＝－6.∴a＝2，b＝－12，c＝0.(2)单调递增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)．f(x)在[－1,3]上的最大值是18，最小值是－82.18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2ax＋a2－1x2＋1，其中a∈R.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在原点处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间．解析(1)当a＝1时，f(x)＝2xx2＋1，f′(x)＝－2x＋1x－1x2＋12.由f′(0)＝2，得曲线y＝f(x)在原点处的切线方程是2x－y＝0.(2)f′(x)＝－2x＋aax－1x2＋12.①当a＝0时，f′(x)＝2xx2＋12.所以f(x)在(0，＋∞)单调递增，在(－∞，0)单调递减．当a≠0，f′(x)＝－2ax＋ax－1ax2＋12.②当a0时，令f′(x)＝0，得x1＝－a，x2＝1a，f(x)与f′(x)的情况如下：x(－∞，x1)x1(x1，x2)x2(x2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)f(x1)f(x2)故f(x)的单调减区间是(－∞，－a)，(1a，＋∞)；单调增区间是(－a，1a)．③当a0时，f(x)与f′(x)的情况如下：x(－∞，x2)x2(x2，x1)x1(x1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)f(x2)f(x1)所以f(x)的单调增区间是(－∞，1a)，(－a，＋∞)；单调减区间是(1a，－a)．综上，a0时，f(x)在(－∞，－a)，(1a，＋∞)单调递减；在(－a，1a)单调递增．a＝0时，f(x)在(0，＋∞)单调递增；在(－∞，0)单调递减．a0时，f(x)在(－∞，1a)，(－a，＋∞)单调递增；在(1a，－a)单调递减．19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－x2＋2lnx.(1)求函数f(x)的最大值；(2)若函数f(x)与g(x)＝x＋ax有相同极值点，①求实数a的值；②若对于∀x1，x2∈1e，3，不等式fx1－gx2k－1≤1恒成立，求实数k的取值范围．解析(1)f′(x)＝－2x＋2x＝－2x＋1x－1x(x0)，由f′x0，x0，得0x1；由f′x0，x0，得x1.∴f(x)在(0,1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数．∴函数f(x)的最大值为f(1)＝－1.(2)∵g(x)＝x＋ax，∴g′(x)＝1－ax2.①由(1)知，x＝1是函数f(x)的极值点．又∵函数f(x)与g(x)＝x＋ax有相同极值点，∴x＝1是函数g(x)的极值点．∴g′(1)＝1－a＝0，解得a＝1.经检验，当a＝1时，函数g(x)取到极小值，符合题意．②∵f(1e)＝－1e2－2，f(1)＝－1，f(3)＝－9＋2ln3，∵－9＋2ln3－1e2－2－1，即f(3)f(1e)f(1)，∴∀x1∈1e，3，f(x1)min＝f(3)＝－9＋2ln3，f(x1)max＝f(1)＝－1.由①知g(x)＝x＋1x，∴g′(x)＝1－1x2.故g(x)在1e，1时，g′(x)0；当x∈(1,3]时，g′(x)0.故g(x)在1e，1上为减函数，在(1,3]上为增函数．∵g(1e)＝e＋1e，g(1)＝2，g(3)＝3＋13＝103，而2e＋1e103，∴g(1)g(1e)g(3)．∴∀x2∈1e，e，g(x2)min＝g(1)＝2，g(x2)max＝g(3)＝103.当k－10，即k1时，对于∀x1，x2∈1e，e，不等式fx1－gx2k－1≤1恒成立⇔k－1≥[f(x1)－g(x2)]max⇔k≥[f(x1)－g(x2)]max＋1.∵f(x1)－g(x2)≤f(1)－g(1)＝－1－2＝－3，∴k≥－3＋1＝－2，又∵k1，∴k1.当k－10，即k1时，对于∀x1，x2∈1e，e，不等式fx1－gx2k－1≤1恒成立⇔k－1≤[f(x1)－g(x2)]min⇔k≤[f(x1)－g(x2)]min＋1.∵f(x1)－g(x2)≥f(3)－g(3)＝－9＋2ln3－103＝－373＋2ln3，∴k≤－343＋2ln3.又∵k1，∴k≤－343＋2ln3.综上，所求的实数k的取值范围为－∞，－343＋2ln3∪(1，＋∞)．20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax＋x2，g(x)＝xlna，a