2014高考调研理科数学单元测试讲解_第四章单元测试

第四章单元测试一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)1.集合M＝{x|x＝sinnπ3，n∈Z}，N＝{x|x＝cosnπ2，n∈N}，则M∩N等于()A．{－1,0,1}B．{0,1}C．{0}D．∅答案C解析∵M＝{x|x＝sinnπ3，n∈Z}＝{－32，0，32}，N＝{－1,0,1}，∴M∩N＝{0}．应选C.2．已知α∈(π2，π)，sinα＝35，则tan(α＋π4)等于()A.17B．7C．－17D．－7答案A解析∵α∈(π2，π)，∴tanα＝－34.∴tan(α＋π4)＝－34＋11＋34＝17.3.已知函数f(x)＝sin(πx－π2)－1，则下列命题正确的是()A．f(x)是周期为1的奇函数B．f(x)是周期为2的偶函数C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数答案B解析f(x)＝－cosπx－1，周期为2，且为偶函数，故选B.4．把函数y＝sin(ωx＋φ)(ω0，|φ|π2)的图像向左平移π3个单位，所得曲线的一部分如图所示，则ω、φ的值分别为()A．1，π3B．1，－π3C．2，π3D．2，－π3答案D解析由题知，14×2πω＝7π12－π3，∴ω＝2，∵函数的图像过点(π3，0)，∴2(π3＋π3)＋φ＝π.∴φ＝－π3.故选D.5．函数y＝2sin(x－π6)＋cos(x＋π3)的一条对称轴为()A．x＝π3B．x＝π6C．x＝－π3D．x＝－5π6答案C解析y＝2sin(x－π6)＋cos(x＋π3)＝2sin(x－π6)＋sin[π2－(x＋π3)]＝2sin(x－π6)＋sin(π6－x)＝sin(x－π6)．方法一把选项代入验证．方法二由x－π6＝kπ＋π2，得x＝kπ＋23π(k∈Z)．当k＝－1时，x＝－π3.6．如图，一个大风车的半径为8m，每12min旋转一周，最低点离地面为2m．若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P离地面的距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系是()A．h＝8cosπ6t＋10B．h＝－8cosπ3t＋10C．h＝－8sinπ6t＋10D．h＝－8cosπ6t＋10答案D解析排除法，由T＝12，排除B，当t＝0时，h＝2，排除A、C.故选D.7．设a0，对于函数f(x)＝sinx＋asinx(0xπ)，下列结论正确的是()A．有最大值而无最小值B．有最小值而无最大值C．有最大值且有最小值D．既无最大值也无最小值答案B解析令t＝sinx，则函数f(x)＝sinx＋asinx(0xπ)的值域为函数y＝1＋at，t∈(0,1]的值域，又a0，所以y＝1＋at，t∈(0,1]是一个减函数．故选B.8．甲船在岛A的正南B处，以4km/h的速度向正北航行，AB＝10km，同时乙船自岛A出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为()A.1507minB.157hC．21.5minD．2.15h答案A解析如右图：设t小时甲行驶到D处AD＝10－4t，乙行驶到C处AC＝6t，∵∠BAC＝120°，DC2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos120°＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos120°＝28t2－20t＋100.当t＝514h时DC2最小，DC最小，此时t＝514×60＝1507min.9．在△ABC中，已知sinC＝2sin(B＋C)cosB，那么△ABC一定是()A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形答案B解析C＝π－(A＋B)，B＋C＝π－A.有sin(A＋B)＝2sinAcosB，sinAcosB＋cosAsinB＝2sinAcosB.即sinAcosB－cosAsinB＝0，sin(A－B)＝0，则A＝B.∴△ABC为等腰三角形．故选B.10．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f(π6)|对x∈R恒成立，且f(π2)f(π)，则f(x)的单调递增区间是()A．[kπ－π3，kπ＋π6](k∈Z)B．[kπ，kπ＋π2](k∈Z)C．[kπ＋π6，kπ＋2π3](k∈Z)D．[kπ－π2，kπ](k∈Z)答案C解析因为当x∈R时，f(x)≤|f(π6)|恒成立，所以f(π6)＝sin(π3＋φ)＝±1，可得φ＝2kπ＋π6或φ＝2kπ－5π6.因为f(π2)＝sin(π＋φ)＝－sinφf(π)＝sin(2π＋φ)＝sinφ，故sinφ0，所以φ＝2kπ－5π6，所以f(x)＝sin(2x－5π6)，函数的单调递增区间为－π2＋2kπ≤2x－5π6≤π2＋2kπ，所以x∈[kπ＋π6，kπ＋2π3](k∈Z)，故选C.二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)11．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝________.答案－35解析由角θ的终边在直线y＝2x上可得tanθ＝2，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝1－tan2θ1＋tan2θ＝－35.12．函数f(x)＝sin4x＋cos2x的最小正周期为________．答案π2解析法一：f(x)＝(1－cos2x)2＋cos2x＝1＋cos4x－cos2x＝1＋cos2x(cos2x－1)＝1－cos2x·sin2x＝1－14sin22x＝1－14(1－cos4x2)＝78＋18cos4x.法二：f(x)＝(sin2x)2＋cos2x＝(1－cos2x2)2＋1＋cos2x2＝34＋14cos22x＝78＋18cos4x.13．已知等腰△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b＋a，c－a)，若p∥q，则角A的大小为________．答案30°解析由p∥q，得(a＋c)(c－a)＝b(b＋a)，即－ab＝a2＋b2－c2，由余弦定理，得cosC＝a2＋b2－c22ab＝－ab2ab＝－12.因为0°C180°，所以C＝120°.又由△ABC为等腰三角形得A＝12(180°－120°)＝30°.14．若1＋tanα1－tanα＝2012，则1cos2α＋tan2α＝________.答案2012解析1cos2α＋tan2α＝1cos2α＋sin2αcos2α＝sinα＋cosα2cos2α－sin2α＝sinα＋cosαcosα－sinα＝tanα＋11－tanα＝2012.15．在△ABC中，D为BC边上一点，BC＝3BD，AD＝2，∠ADB＝135°.若AC＝2AB，则BD＝________.答案2＋5解析如图，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则由题可知BD＝13a，CD＝23a，所以根据余弦定理可得b2＝(2)2＋(23a)2－2×2×23acos45°，c2＝(2)2＋(13a)2－2×2×13acos135°，由题意知b＝2c，可解得a＝6＋35，所以BD＝13a＝2＋5.16．下面有五个命题：①函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π.②终边在y轴上的角的集合是{α|α＝kπ2，k∈Z}．③在同一坐标系中，函数y＝sinx的图像和函数y＝x的图像有三个公共点．④把函数y＝3sin(2x＋π3)的图像向右平移π6得到y＝3sin2x的图像．⑤函数y＝sin(x－π2)在[0，π]上是减函数．其中，真命题的编号是________．(写出所有真命题的编号)答案①④解析考查①y＝sin2x－cos2x＝－cos2x，所以最小正周期为π.②k＝0时，α＝0，则角α终边在x轴上．③由y＝sinx在(0,0)处切线为y＝x，所以y＝sinx与y＝x图像只有一个交点．④y＝3sin(2x＋π3)图像向右平移π6个单位得y＝3sin[2(x－π6)＋π3]＝3sin2x.⑤y＝sin(x－π2)＝－cosx在[0，π]上为增函数，综上知①④为真命题．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝6cos4x＋5sin2x－4cos2x，求f(x)的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域．解析由cos2x≠0，得2x≠kπ＋π2，解得x≠kπ2＋π4，k∈Z.所以f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠kπ2＋π4，k∈Z}．因为f(x)的定义域关于原点对称，且f(－x)＝6cos4－x＋5sin2－x－4cos－2x＝6cos4x＋5sin2x－4cos2x＝f(x)，所以f(x)是偶函数．当x≠kπ2＋π4，k∈Z时，f(x)＝6cos4x＋5sin2x－4cos2x＝2cos2x－13cos2x－1cos2x＝3cos2x－1，所以f(x)的值域为{y|－1≤y12或12y≤2}．18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sinxcosx＋sin(π2－2x)．求：(1)f(π4)的值；(2)f(x)的最小正周期和最小值；(3)f(x)的单调递增区间．答案(1)1(2)π，－2(3)－3π8＋kπ，π8＋kπ(k∈Z)解析(1)f(π4)＝2sinπ4cosπ4＋sin(π2－2×π4)＝2×22×22＋0＝1.(2)f(x)＝sin2x＋cos2x＝2(22sin2x＋22cos2x)＝2(sin2xcosπ4＋cos2xsinπ4)＝2sin(2x＋π4)．所以最小正周期为π，最小值为－2.(3)由－π2＋2kπ≤2x＋π4≤π2＋2kπ(k∈Z)，可得－3π8＋kπ≤x≤π8＋kπ(k∈Z)．所以函数的单调递增区间为－3π8＋kπ，π8＋kπ(k∈Z)．19．(本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝C,2b＝3a.(1)求cosA的值；(2)求cos(2A＋π4)的值．答案(1)13(2)－8＋7218解析(1)由B＝C,2b＝3a，可得c＝b＝32a.所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝34a2＋34a2－a22×32a×32a＝13.(2)因为cosA＝13，A∈(0，π)，所以sinA＝1－cos2A＝223，cos2A＝2cos2A－1＝－79.故sin2A＝2sinAcosA＝429.所以cos(2A＋π4)＝cos2Acosπ4－sin2Asinπ4＝(－79)×22－429×22＝－8＋7218.20．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足ac＝a2＋c2－b2.(1)求角B的大小；(2)若|BA→－BC→|＝2，求△ABC面积的最大值．答案(1)π3(2)3解(1)∵在△ABC中，ac＝a2＋c2－b2，∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝12.∵B∈(0，π)，∴B＝π3.(2)∵|BA→－BC→|＝2，∴|CA→|＝2，即b＝2.∴a2＋c2－ac＝4.∵a2＋c2≥2ac，当且仅当a＝c＝2时等号成立．∴4＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，即ac≤4.∴△ABC的面积S＝12acsinB＝34ac≤3.∴当a＝b＝c＝2时，△ABC的面积取得最大值为3.21．(本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，AB→·AC→＝8，∠BAC＝θ，a＝4.(1)求bc的最大值及θ的取值范围．(2)求函数f(θ)＝23sin2(π4＋θ)＋2cos2θ－3的最值．解析(1)∵AB→·AC→＝8，∠BAC＝θ，∴bc·cosθ＝8.又∵a＝4，∴b2＋c2－2bccosθ＝42，即b2＋c2＝32.又b2＋c2≥2bc，∴bc≤16，即bc的最大值为16.而bc＝8cosθ，∴8cosθ≤16.∴cosθ≥12.又0θπ，∴0θ≤π3.(2)f(θ)＝23sin2(π4＋θ)＋2cos2θ－3＝3·[1－cos(π2