2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业17

课时作业(十七)1．函数f(x)＝x33＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是()A．－173B．－103C．－4D．－643答案A解析f′(x)＝x2＋2x－3，f′(x)＝0，x∈[0,2]只有x＝1.比较f(0)＝－4，f(1)＝－173，f(2)＝－103.可知最小值为－173.2.已知f(x)的定义域为R，f(x)的导函数f′(x)的图像如图所示，则()()A．f(x)在x＝1处取得极小值B．f(x)在x＝1处取得极大值C．f(x)在R上的增函数D．f(x)在(－∞，1)上是减函数，(1，＋∞)上是增函数答案C解析由图像易知f′(x)≥0在R上恒成立，所以f(x)在R上是增函数．3．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是()A．－37B．－29C．－5D．以上都不对答案A解析f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，∴f(x)在(－2,0)上增，(0,2)上减，∴x＝0为极大值点，也为最大值点，∴f(0)＝m＝3，∴m＝3.∴f(－2)＝－37，f(2)＝－5.∴最小值是－37，选A.4．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝()A.1ln2B．－1ln2C．－ln2D．ln2答案B解析由y＝x·2x，得y′＝2x＋x·2x·ln2.令y′＝0，得2x(1＋x·ln2)＝0.∵2x＞0，∴x＝－1ln2.5．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则()A．0＜b＜1B．b＜1C．b＞0D．b＜12答案A解析f(x)在(0,1)内有极小值，则f′(x)＝3x2－3b在(0,1)上先负后正，∴f′(0)＝－3b＜0.∴b＞0，f′(1)＝3－3b＞0，∴b＜1.综上，b的范围为0＜b＜1.6．已知函数f(x)＝12x3－x2－72x，则f(－a2)与f(－1)的大小关系为()A．f(－a2)≤f(－1)B．f(－a2)f(－1)C．f(－a2)≥f(－1)D．f(－a2)与f(－1)的大小关系不确定答案A解析由题意可得f′(x)＝32x2－2x－72.由f′(x)＝12(3x－7)(x＋1)＝0，得x＝－1或x＝73.当x－1时，f(x)为增函数；当－1x73时，f(x)为减函数．所以f(－1)是函数f(x)在(－∞，0]上的最大值，又因为－a2≤0，故f(－a2)≤f(－1)．7．函数f(x)＝e－x·x，则()A．仅有极小值12eB．仅有极大值12eC．有极小值0，极大值12eD．以上皆不正确答案B解析f′(x)＝－e－x·x＋12x·e－x＝e－x(－x＋12x)＝e－x·1－2x2x.令f′(x)＝0，得x＝12.当x12时，f′(x)0；当x12时，f′(x)0.∴x＝12时取极大值，f(12)＝1e·12＝12e.8．若y＝alnx＋bx2＋x在x＝1和x＝2处有极值，则a＝________，b＝________.答案－23－16解析y′＝ax＋2bx＋1.由已知a＋2b＋1＝0，a2＋4b＋1＝0，解得a＝－23，b＝－16.9．设m∈R，若函数y＝ex＋2mx(x∈R)有大于零的极值点，则m的取值范围是________．答案m－12解析因为函数y＝ex＋2mx(x∈R)有大于零的极值点，所以y′＝ex＋2m＝0有大于0的实根．令y1＝ex，y2＝－2m，则两曲线的交点必在第一象限．由图像可得－2m1，即m－12.10．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图像与x轴相切于(1,0)，则极小值为________．答案0解析f′(x)＝3x2－2px－q，由题知f′(1)＝3－2p－q＝0.又f(1)＝1－p－q＝0，联立方程组，解得p＝2，q＝－1.∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1.由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0，解得x＝1或x＝13.经检验知x＝1是函数的极小值点．∴f(x)极小值＝f(1)＝0.11．函数y＝x3－2ax＋a在(0,1)内有极小值，则实数a的取值范围是________．答案0，32解析令y′＝3x2－2a＝0，得x＝±2a3(a0，否则函数y为单调增函数)．若函数y＝x3－2ax＋a在(0,1)内有极小值，则2a31，∴0a32.12．已知函数f(x)＝ex＋alnx的定义域是D，关于函数f(x)给出下列命题：①对于任意a∈(0，＋∞)，函数f(x)是D上的减函数；②对于任意a∈(－∞，0)，函数f(x)存在最小值；③存在a∈(0，＋∞)，使得对于任意的x∈D，都有f(x)0成立；④存在a∈(－∞，0)，使得函数f(x)有两个零点．其中正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．答案②④解析由f(x)＝ex＋alnx可得f′(x)＝ex＋ax，若a0，则f′(x)0，得函数f(x)是D上的增函数，存在x∈(0,1)，使得f(x)0，即得命题①③不正确；若a0，设ex＋ax＝0的根为m，则在(0，m)上f′(x)0，在(m，＋∞)上f′(x)0，所以函数f(x)存在最小值f(m)，即命题②正确；若f(m)0，则函数f(x)有两个零点，即命题④正确．综上可得，正确命题的序号为②④.13．设函数f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0＜x＜2π，求函数f(x)的单调区间与极值．解析由f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0＜x＜2π，知f′(x)＝cosx＋sinx＋1.于是f′(x)＝1＋2sin(x＋π4)．令f′(x)＝0，从而sin(x＋π4)＝－22，得x＝π或x＝3π2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，π)π(π，3π2)3π2(3π2，2π)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增π＋2单调递减32π单调递增因此，由上表知f(x)的单调递增区间是(0，π)与(3π2，2π)，单调递减区间是(π，3π2)，极小值为f(3π2)＝3π2，极大值为f(π)＝π＋2.14．已知函数f(x)＝x2－1－2alnx(a≠0)．求函数f(x)的极值．解析因为f(x)＝x2－1－2alnx(x0)，所以f′(x)＝2x－2ax＝2x2－ax.当a0时，因为x0，且x2－a0，所以f′(x)0对x0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(x)无极值；当a0时，令f′(x)＝0，解得x1＝a，x2＝－a(舍去)．所以当x0时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，a)a(a，＋∞)f′(x)－0＋f(x)递减极小值递增所以当x＝a时，f(x)取得极小值，且f(a)＝(a)2－1－2alna＝a－1－alna.综上，当a0时，函数f(x)在(0，＋∞)上无极值．当a0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－1－alna.15．(2013·衡水调研卷)已知函数f(x)＝ax2－2x＋lnx.(1)若f(x)无极值点，但其导函数f′(x)有零点，求a的值；(2)若f(x)有两个极值点，求a的取值范围，并证明f(x)的极小值小于－32.解析(1)首先，x0，f′(x)＝2ax－2＋1x＝2ax2－2x＋1x，f′(x)有零点而f(x)无极值点，表明该零点左右f(x)同号，故a≠0，且2ax2－2x＋1＝0的Δ＝0.由此可得a＝12.(2)由题意，2ax2－2x＋1＝0有两不同的正根，故Δ0，a0.解得0a12.设2ax2－2x＋1＝0有两根为x1，x2，不妨设x1x2，因为在区间(0，x1)，(x2，＋∞)上，f(x)0，而在区间(x1，x2)上，f(x)0，故x2是f(x)的极小值点．因f(x)在区间(x1，x2)上f(x)是减函数，如能证明f(x1＋x22)－32.由韦达定理，x1＋x22＝12a，f(12a)＝a(12a)2－2(12a)＋ln12a＝ln12a－32·12a.令12a＝t，其中t1.设g(t)＝lnt－32t＋32，利用导数容易证明g(t)．当t1时单调递减，而g(1)＝0，因此g(t)0，即f(x)的极小值f(x2)0.(2)另证：实际上，我们可以用反代的方式证明f(x)的极小值均小于－32.由于两个极值点是方程2ax2－2x＋1＝0的两个正根，所以反过来，a＝2x2－12x22(用x1表示a的关系式与此相同)，这样f(x2)＝ax22－2x2＋lnx2＝即f(x2)＝lnx2－x2－12，再证明该式小于－32是容易的(注意x2≠1，下略).16．已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.(1)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x＝－13是函数f(x)的极值点，求函数f(x)在[1，a]上的最大值；(3)设函数g(x)＝f(x)－bx，在(2)的条件下，若函数g(x)恰有3个零点，求实数b的取值范围．解析(1)f′(x)＝3x2－2ax－3，∵f(x)在[1，＋∞)是增函数，∴f′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即3x2－2ax－3≥0在[1，＋∞)上恒成立．则必有a3≤1，且f′(1)＝－2a≥0.∴a≤0.(2)依题意，f′(－13)＝0，即13＋23a－3＝0，∴a＝4.∴f(x)＝x3－4x2－3x.令f′(x)＝3x2－8x－3＝0，得x1＝－13，x2＝3.则当x变化时，f′(x)与f(x)变化情况如下表x1(1,3)3(3,4)4f′(x)－0＋f(x)－6－18－12∴f(x)在[1,4]上的最大值是f(1)＝－6.(3)函数g(x)有3个零点⇔方程f(x)－bx＝0有3个不相等的实根．即方程x3－4x2－3x＝bx有3个不等实根．∵x＝0是其中一个根，∴只需满足方程x2－4x－3－b＝0有两个非零不等实根．∴Δ＝16＋43＋b0，－3－b≠0.∴b－7且b≠－3.故实数b的取值范围是b－7且b≠－3.1．(2013·石家庄模拟)设函数f(x)在R上要导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图像可能是()答案C解析由f(x)在x＝－2处取得极小值可知当x－2时，f′(x)0，则xf′(x)0，当x－2时，f′(x)0，则当－2x0时，xf′(x)0，当x0时，xf′(x)0.2．设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．(1)求a、b的值；(2)若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)c2成立，求c的取值范围．解析(1)f′(x)＝6x2＋6ax＋3b，因为函数f(x)在x＝1及x＝2时取得极值，则有f′(1)＝0，f′(2)＝0.即6＋6a＋3b＝0，24＋12a＋3b＝0，解得a＝－3，b＝4.(2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．当x∈(0,1)时，f′(x)0；当x∈(1,2)时，f′(x)0；当x∈(2,3)时，f′(x)0.所以，当x＝1时，f(x)取得极大值f(1)＝5＋8c.又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c，则当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.因为对于任意的x∈[0,3]，有f(x)c2恒成立，所以9＋8cc2，解得c－1或c9.因此c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．3．已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.(1)设a＝2，求f(x)的单调区间；(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围．解析(1)当a＝2时，f(x)＝x3－6x2＋3x＋1，f′(x)＝3(x－2＋3)(x－2－3)．当x∈(－∞，2－3)时f′(x)＞0，f(x)在(－∞，2－3)上单调增加；当x∈(2－3，2＋3)时f′(x)＜0，f(x)在(2－3，2＋3)上单调减少；当x∈(2＋3，＋∞)时f′(x)＞0，f(x)在(2＋3，＋∞)上单调增加．综