2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业27

课时作业(二十七)1．(2013·北京西城期末)已知△ABC中，a＝1，b＝2，B＝45°，则A等于()A．150°B．90°C．60°D．30°答案D解析由正弦定理，得1sinA＝2sin45°，得sinA＝12.又ab，∴AB＝45°.∴A＝30°，故选D.2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A＝π3，a＝3，b＝1，则c等于()A．1B．2C.3－1D.3答案B解析由正弦定理asinA＝bsinB，可得3sinπ3＝1sinB.∴sinB＝12，故∠B＝30°或150°.由ab，得∠A∠B，∴∠B＝30°.故∠C＝90°，由勾股定理得c＝2.3．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋bc，则∠A＝()A．60°B．45°C．120°D．30°答案C解析cosA＝b2＋c2－a22bc＝－bc2bc＝－12，∴∠A＝120°.4．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝()A．－223B.223C．－63D.63答案D解析根据正弦定理asinA＝bsinB，可得15sin60°＝10sinB，解得sinB＝33，又因为ba，则BA，故B为锐角，所以cosB＝1－sin2B＝63，故D正确．5．(2012·天津理)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝()A.725B．－725C．±725D.2425答案A解析因为8b＝5c，则由C＝2B，得sinC＝sin2B＝2sinBcosB，由正弦定理，得cosB＝sinC2sinB＝c2b＝45，所以cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝2×(45)2－1＝725，故选A.6．(2012·湖南文)在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()A.32B.332C.3＋62D.3＋394答案B解析由余弦定理，得(7)2＝22＋AB2－2×2ABcos60°，即AB2－2AB－3＝0，得AB＝3，故BC边上的高是ABsin60°＝332.选B.7．(2012·陕西理)在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cosC的最小值为()A.32B.22C.12D．－12答案C解析由余弦定理，得a2＋b2－c2＝2abcosC，又c2＝12(a2＋b2)，得2abcosC＝12(a2＋b2)，即cosC＝a2＋b24ab≥2ab4ab＝12.所以选C.8．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cosB等于()A.14B.34C.24D.23答案B解析∵a、b、c成等比数列，∴b2＝ac.∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－2a24a2＝34.9．在△ABC中，cos2Bcos2A是ab的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析由cos2Bcos2A，得sin2Asin2B.∵sinA0，sinB0，∴sinAsinB.∴a2Rb2R，∴ab.又上述过程可逆，故选C.10．在△ABC中，三内角A、B、C分别对三边a、b、c，tanC＝43，c＝8，则△ABC外接圆半径R为()A．10B．8C．6D．5答案D解析本题考查解三角形．由题可知应用正弦定理，由tanC＝43，得sinC＝45.则2R＝csinC＝845＝10，故外接圆半径为5.11．在△ABC中，AB＝3，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为()A.32B.34C.32或3D.34或32答案D解析如图，由正弦定理，得sinC＝c·sinBb＝32，而cb，∴C＝60°或C＝120°.∴A＝90°或A＝30°.∴S△ABC＝12bcsinA＝32或34.12．在△ABC中，若(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab且sinC＝2sinAcosB，则△ABC是()A．等边三角形B．等腰三角形，但不是等边三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形，但不是等腰三角形答案A解析∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，即a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝12，∴C＝60°.又sinC＝2sinAcosB，由sinC＝2sinA·cosB，得c＝2a·a2＋c2－b22ac.∴a2＝b2，∴a＝b.∴△ABC为等边三角形．13．(2011·北京)在△ABC中，若b＝5，∠B＝π4，tanA＝2，则sinA＝________，a＝________.答案255210解析因为△ABC中，tanA＝2，所以A是锐角，且sinAcosA＝2，sin2A＋cos2A＝1，联立解得sinA＝255，再由正弦定理，得asinA＝bsinB，代入数据解得a＝210.14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则角A的大小为________．答案π6解析因为sinC＝23sinB，所以c＝23b.于是cosA＝b2＋c2－a22bc＝c2－3bc2bc＝32.又A是三角形的内角，所以A＝π6.15．对于△ABC，有如下命题：①若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形；②若sinA＝cosB，则△ABC为直角三角形；③若sin2A＋sin2B＋cos2C1，则△ABC为钝角三角形．其中正确命题的序号是________．(把你认为所有正确的都填上)答案③解析①sin2A＝sin2B，∴A＝B⇒△ABC是等腰三角形，或2A＋2B＝π⇒A＋B＝π2，即△ABC是直角三角形．故①不对．②sinA＝cosB，∴A－B＝π2或A＋B＝π2.∴△ABC不一定是直角三角形．③sin2A＋sin2B1－cos2C＝sin2C，∴a2＋b2c2.∴△ABC为钝角三角形．16．(2012·福建理)已知△ABC的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．答案－24解析依题意得，△ABC的三边长分别为a，2a,2a(a0)，则最大边2a所对的角的余弦值为a2＋2a2－2a22a·2a＝－24.17．(2012·北京理)在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－14，则b＝________.答案4解析由余弦定理，得b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×(－14)，解得b＝4.18．已知△ABC中，∠B＝45°，AC＝10，cosC＝255.(1)求BC边的长；(2)记AB的中点为D，求中线CD的长．答案(1)32(2)13解析(1)由cosC＝255，得sinC＝55.sinA＝sin(180°－45°－C)＝22(cosC＋sinC)＝31010.由正弦定理知BC＝ACsinB·sinA＝1022·31010＝32.(2)AB＝ACsinB·sinC＝1022·55＝2.BD＝12AB＝1.由余弦定理知CD＝BD2＋BC2－2BD·BC·cosB＝1＋18－2·1·32·22＝13.讲评解斜三角形的关键在于灵活地运用正弦定理和余弦定理，熟练掌握用正弦定理和余弦定理解决问题，要注意由正弦定理asinA＝bsinB求B时，应对解的个数进行讨论；已知a，b，A，求c时，除用正弦定理asinA＝csinC外，也可用余弦定理a2＝b2＋c2－2abcosA求解．19．(2012·安徽文)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC.(1)求角A的大小；(2)若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．解析(1)方法一由题设知，2sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB，因为sinB≠0，所以cosA＝12.由于0Aπ，故A＝π3.方法二由题设可知，2b·b2＋c2－a22bc＝a·a2＋b2－c22ab＋c·b2＋c2－a22bc，于是b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝12.由于0Aπ，故A＝π3.(2)方法一因为AD→2＝(AB→＋AC→2)2＝14(AB→2＋AC→2＋2AB→·AC→)＝14(1＋4＋2×1×2×cosπ3)＝74，所以|AD→|＝72，从而AD＝72.方法二因为a2＝b2＋c2－2bccosA＝4＋1－2×2×1×12＝3，所以a2＋c2＝b2，B＝π2.因为BD＝32，AB＝1，所以AD＝1＋34＝72.20．(2012·浙江理)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA＝23，sinB＝5cosC.(1)求tanC的值；(2)若a＝2，求△ABC的面积．解析(1)因为0Aπ，cosA＝23，得sinA＝1－cos2A＝53.又5cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝53cosC＋23sinC，所以tanC＝5.(2)由tanC＝5，得sinC＝56，cosC＝16.于是sinB＝5cosC＝56.由a＝2及正弦定理asinA＝csinC，得c＝3.设△ABC的面积为S，则S＝12acsinB＝52.1．(2011·安徽理)已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．答案153解析不妨设角A＝120°，cb，则a＝b＋4，c＝b－4，于是cos120°＝b2＋b－42－b＋422bb－4＝－12，解得b＝10，所以S＝12bcsin120°＝153.2．(2012·陕西文)在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，B＝π6，c＝23，则b＝________.答案2解析由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝4＋12－2×2×23×32＝4，解得b＝2.3．(2012·大纲全国)△ABC中B＝60°，AC＝3，则AB＋2BC最大值________．答案27解析∵2R＝3sin60°＝332＝2，∴AB＝2sinC，BC＝2sinA.∴AB＋2BC＝2sinC＋4sinA＝2sinC＋4sin(2π3－C)＝27sin(C＋φ)．∴最大值为27.4．(2012·浙江文)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝3acosB.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．解析(1)由bsinA＝3acosB及正弦定理asinA＝bsinB，得sinB＝3cosB，所以tanB＝3，所以B＝π3.(2)由sinC＝2sinA及asinA＝csinC，得c＝2a.由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得9＝a2＋c2－ac.所以a＝3，c＝23.5．(2012·天津文)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a＝2，c＝2，cosA＝－24.(1)求sinC和b的值；(2)求cos(2A＋π3)的值．解析(1)在△ABC中，由cosA＝－24，可得sinA＝144.又由asinA＝csinC及a＝2，c＝2，可得sinC＝74.由a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋b－2＝0.因为b0，故解得b＝1.所以sinC＝74，b＝1.(2)由cosA＝－24，sinA＝144，得cos2A＝2cos2A－1＝－34，sin2A＝2sinAcosA＝－74.所以cos(2A＋π3)＝cos2Acosπ3－sin2Asinπ3＝－3＋218.6.(2011·江苏)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若sin(A＋π6)＝2cosA，求A的值；(2)若cosA＝13，b＝3c，求sinC的值．答案(1)π3(2)13解析(1)由题设知sinAcosπ6＋cosAsinπ6＝2cosA.从而sinA＝3cosA，所以cosA≠0，tanA＝3.因为0Aπ，所以A＝π3.(2)由cosA＝13，b＝3c及a2＝b2＋c2－2bccosA，得a2＝b2－c2.故△ABC是直角三角形，