2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业28

课时作业(二十八)1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是()A．αβB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°答案B2．已知A、B两地的距离为10km，B、C两地的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地的距离为()A．10kmB.3kmC．105kmD．107km答案D解析AC＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos120°＝102＋202＋2×10×20×12＝107(km)．3．某人在山外一点测得山顶的仰角为42°，沿水平面退后30米，又测得山顶的仰角为39°，则山高为(sin42°≈0.6691，sin39°≈0.6293，sin3°≈0.0523)()A．180米B．214米C．242米D．266米答案C解析∵∠BCA＝42°，∠BDA＝39°，∴∠DBC＝3°.在△BDC中，DC＝30，DCsin3°＝BCsin39°，∴BC＝30·sin39°sin3°.在Rt△ABC中，AB＝BC·sin42°＝30·sin39°·sin42°sin3°＝242.4．在200m高的山顶上，测得山下塔顶和塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为()A.4003mB.40033mC.20033mD.2003m答案A解析在Rt△BAC中，∠ABC＝30°，AB＝200，∴BC＝ABcos30°＝40033.∵∠EBD＝30°，∠EBC＝60°，∴∠DBC＝30°，∠BDC＝120°.在△BDC中，DCsin30°＝BCsin120°.∴DC＝BC·sin30°sin120°＝40033×1232＝4003(m)．5．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离d1与第二辆车与第三辆车的距离d2之间的关系为()A．d1d2B．d1＝d2C．d1d2D．不能确定大小答案C6．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则斜坡长为________千米．()A．1B．2sin10°C．2cos10°D．cos20°答案C解析由题意知DC＝BC＝1，∠BCD＝160°，∴BD2＝DC2＋CB2－2DC·CB·cos160°＝1＋1－2×1×1cos(180°－20°)＝2＋2cos20°＝4cos210°，∴BD＝2cos10°.7．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°处，A、B两船间的距离为3km，则B船到灯塔C的距离为________km.答案6－1解析如图，由题意可得，∠ACB＝120°，AC＝2，AB＝3.设BC＝x，则由余弦定理，可得AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcos120°，即32＝x2＋22－2×2xcos120°，整理得x2＋2x＝5，解得x＝6－1.8．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．答案507解析连接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°，由余弦定理，得OC2＝1002＋1502－2·100·150·cos60°＝17500.9．(2013·衡水调研卷)某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以________(米/秒)的速度匀速升旗．答案0.6解析在△BCD中，∠BDC＝45°，∠CBD＝30°，CD＝106，由正弦定理，得BC＝CDsin45°sin30°＝203.在Rt△ABC中，AB＝BCsin60°＝203×32＝30(米)．所以升旗速度v＝ABt＝3050＝0.6(米/秒)．10．甲船在A处观察乙船在它的北偏东60°的B处，此时两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船的3倍，则甲船以什么方向前进才能追赶上乙船？此时乙船行驶了多少海里？解析如图所示，AC为甲船的航行路线，BC为乙船的航行路线，设甲船取北偏东θ的方向去追赶乙船，在C点处追上，若乙船行驶的速度是v，则甲船行驶的速度是3v，由于甲、乙两船到达C点的时间相等，都为t，则BC＝vt，AC＝3vt.∠ABC＝120°.由余弦定理可知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos120°，即3v2t2＝a2＋v2t2＋avt.所以2v2t2－avt－a2＝0.解得t1＝av，t2＝－a2v(舍去)．所以BC＝a，∠CAB＝30°，θ＝30°.即甲船应取北偏东30°的方向去追赶乙船，此时乙船已行驶a海里．11．如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为126nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为83nmile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°.求：(1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处的距离．答案(1)24(nmile)(2)CD＝83≈14(nmile)解析(1)在△ABD中，∠ADB＝60°，∴∠B＝45°.由正弦定理，得ADsin∠B＝ABsin∠ADB.即AD＝ABsin∠Bsin∠ADB＝126×2232＝24(nmile)．(2)在△ACD中，∵AC＝83，∠CAD＝30°，由余弦定理，得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos∠CAD＝242＋(83)2－2×24×83cos30°＝192.即CD＝83≈14(nmile)．因此A处与D处的距离为24nmile，灯塔C与D处的距离约为14nmile.12.如图，港口B在港口O正东方120海里处，小岛C在港口O北偏东60°方向、港口B北偏西30°方向上．一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东30°的OA方向以20海里/时的速度驶离港口O.一艘快船从港口B出发，以60海里/时的速度驶向小岛C，在C岛装运补给物资后给考察船送去，现两船同时出发，补给物资的装船时间要1小时，问快艇驶离港口B后最少要经过多少时间才能和考察船相遇？解析设快艇驶离港口B后，最少要经过x小时，在OA上点D处与考察船相遇，连接CD，则快艇沿线段BC、CD航行．在△OBC中，∠BOC＝30°，∠CBO＝60°，∴∠BCO＝90°.又BO＝120，∴BC＝60，OC＝603.∴快艇从港口B到小岛C需要1小时．在△OCD中，∠COD＝30°，OD＝20x，CD＝60(x－2)．由余弦定理，得CD2＝OD2＋OC2－2OD·OC·cos∠COD.∴602(x－2)2＝(20x)2＋(603)2－2·20x·603·cos30°.解得x＝3或x＝38.∵x1，∴x＝3.答：快艇驶离港口B后最少要经过3小时才能和考察船相遇．13.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚217秒．在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)．答案1403米解由题意，设|AC|＝x，则|BC|＝x－217×340＝x－40.在△ABC内，由余弦定理，得|BC|2＝|BA|2＋|CA|2－2|BA|·|CA|·cos∠BAC.即(x－40)2＝x2＋10000－100x，解之得x＝420.在△ACH中，|AC|＝420，∠CAH＝30°，∠ACH＝90°，所以|CH|＝|AC|·tan∠CAH＝1403.答：该仪器的垂直弹射高度CH为1403米．1．为了测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距40m的楼顶处测得塔底A的俯角为30°，测得塔顶B的仰角为45°，那么塔AB的高度是()A．401＋33mB．20(2＋2)mC．40(1＋3)mD．60m答案A2．如图，在河岸AC测量河的宽度BC，图中所标的数据a，b，c，α，β是可供测量的数据．下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是()A．c和aB．c和bC．c和βD．b和α答案D3．(2011·上海文)在相距2千米的A，B两点处测量目标C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离是________千米．答案64．如图，在2011年6月“舟曲特大泥石流”灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进xm到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10m到达O处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前进可回到出发点，那么x＝______.答案1063解析∵∠BOA＝45°，∠A＝180°－75°－45°＝60°.∴xsin45°＝10sin60°，∴x＝1063.5．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为________．答案502m解析由正弦定理，得ABsin∠ACB＝ACsinB.∴AB＝AC·sin∠ACBsinB＝50×2212＝502(m)．6．郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC，△ABD，经测量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D.(1)求AB的长度；(2)若环境标志的底座每平方米造价为5000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低(请说明理由)？较低造价为多少？(3＝1.732，2＝1.414)解析(1)△ABC中由余弦定理，得cosC＝AC2＋BC2－AB22AC·BC＝82＋52－AB22×8×5.①在△ABD中，由余弦定理，得cosD＝72＋72－AB22×7×7.②由∠C＝∠D，得cosC＝cosD.∴AB＝7，∴AB长为7米．(2)小李的设计建造费用较低，理由如下：S△ABD＝12AB·BD·sinD，S△ABC＝12AC·BC·sinC.∵AD·BDAC·BC，∴S△ABDS△ABC.故选择△ABC建造环境标志费用较低．∵AD＝BD＝AB＝7，∴△ABD是等边三角形，∠D＝60°.∴S△ABC＝103＝10×1.732＝17.32.∴总造价为5000×17.32＝86600(元)．