2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业31

课时作业(三十一)1．(2012·辽宁)已知两个非零向量a，b，满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是()A．a∥bB．a⊥bC．|a|＝|b|D．a＋b＝a－b答案B解析由|a＋b|＝|a－b|，两边平方并化简得a·b＝0，又a，b都是非零向量，所以a⊥b.2．(2011·辽宁)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝()A．－12B．－6C．6D．12答案D解析∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得k＝12.3．(2013·东北三校一模)已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，若λa－b与a垂直，则实数λ等于()A．－1B．1C．－2D．2答案B解析依题意得λa－b＝(λ－4，－3λ＋2)，(λa－b)·a＝(λ－4，－3λ＋2)·(1，－3)＝λ－4－3(－3λ＋2)＝10λ－10＝0，λ＝1，选B.4．已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于()A．9B．4C．0D．－4答案A解析因为向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，所以a－b＝(1－x，4)．又因为a⊥(a－b)，所以a·(a－b)＝0，即1×(1－x)＋2×4＝0，解得x＝9，故选A.5．(2013·郑州第一次质检)若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，(a＋b)·b＝32，则向量a，b的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案C解析∵(a＋b)·b＝b2＋a·b＝1＋a·b＝32，∴a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝12，cos〈a，b〉＝12，〈a，b〉＝60°.故选C.6．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于()A.7B.10C.13D．4答案C解析∵|a＋3b|＝a＋3b2＝|a|2＋9|b|2＋6|a||b|cos60°＝13，∴选C.7．已知向量a＝(1,2)，a·b＝5，|a－b|＝25，则|b|等于()A.5B．25C．5D．25答案C解析由a＝(1,2)，可得a2＝|a|2＝12＋22＝5.∵|a－b|＝25，∴a2－2a·b＋b2＝20.∴5－2×5＋b2＝20.∴b2＝25.∴|b|＝5，故选C.8．a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于()A.865B．－865C.1665D．－1665答案C解析由题可知，设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，所以解得x＝－5，y＝12，故b＝(－5,12)，由a，b＝a·b|a||b|＝1665，故选C.9．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，|c|＝26，且a·b＝a·c，则c＝()A．(－4,7)B．(－5,1)C．(5,1)D．(2,4)答案C解析设c＝(x，y)，|c|＝26，∴x2＋y2＝26.①∵a·b＝a·c，∴2×(－4)＋3×7＝2x＋3y.②联立①②，解之得x＝5，y＝1.10．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝()A．(79，73)B．(－73，－79)C．(73，79)D．(－79，－73)答案D解析不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，对于(c＋a)∥b，则有－3(1＋m)＝2(2＋n)．又c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0，则有m＝－79，n＝－73.11．已知向量a，b是非零向量，且满足a·b＝－|b|，则“|a|＝1”是“向量a与b反向”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－|b|，∴|a|cos〈a，b〉＝－1.若|a|＝1，则cos〈a，b〉＝－1，∴〈a，b〉＝π，∴a与b反向．若a与b反向，则cos〈a，b〉＝－1，∴|a|＝1.12．(2011·全国课标理)已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题p1：|a＋b|1⇔θ∈[0，2π3)p2：|a＋b|1⇔θ∈(2π3，π]p3：|a－b|1⇔θ∈[0，π3)p4：|a－b|1⇔θ∈(π3，π]其中的真命题是()A．p1，p4B．p1，p3C．p2，p3D．p2，p4答案A解析由|a＋b|1可得a2＋2a·b＋b21，∵|a|＝1，|b|＝1，∴a·b－12，故θ∈[0，2π3)．当θ∈[0，2π3)时，a·b－12，|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b21，即|a＋b|1；由|a－b|1，可得a2－2a·b＋b21，∵|a|＝1，|b|＝1，∴a·b12，故θ∈(π3，π]，反之也成立，选A.13．(2011·安徽)已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．答案π3解析设a与b的夹角为θ，依题意有(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝－7＋2cosθ＝－6，所以cosθ＝12.因为0≤θ≤π，所以θ＝π3.14．(2012·安徽)若平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值是________．答案－98解析由|2a－b|≤3可知，4a2＋b2－4a·b≤9，所以4a2＋b2≤9＋4a·b，而4a2＋b2＝|2a|2＋|b|2≥2|2a|·|b|≥－4a·b，所以a·b≥－98，当且仅当2a＝－b时取等号．15．(2012·江西)设单位向量m＝(x，y)，b＝(2，－1)．若m⊥b，则|x＋2y|＝________.答案5解析因为m⊥b，所以m·b＝2x－y＝0①，又由m是单位向量，得x2＋y2＝1②，由①②解得x＝55，y＝255或x＝－55，y＝－255，所以x＋2y＝5或x＋2y＝－5.所以|x＋2y|＝5.16．(2012·北京)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE→·CB→的值为________；DE→·DC→的最大值为________．答案11解析以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．则D(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)．设E(1，a)(0≤a≤1)．所以DE→·CB→＝(1，a)·(1,0)＝1，DE→·DC→＝(1，a)·(0,1)＝a≤1.故DE→·DC→的最大值为1.17．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝________.答案6解析(a＋2b)·(a－3b)＝－72⇒|a|2－a·b－6|b|2＝－72.因为a·b＝|a|·|b|cos60°＝2|a|，所以|a|2－2|a|－24＝0.所以(|a|＋4)(|a|－6)＝0，所以|a|＝6.18．已知向量a＝(3，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝3，则b等于________．答案(12，32)解析令b＝(x，y)，注：也可设b＝(cosθ，sinθ)，则x2＋y2＝1，y≠0①3x＋y＝3，②将②代入①知x2＋(3－3x)2＝1⇒x2＋3－6x＋3x2－1＝0，解得x＝1(舍去，此时y＝0)或x＝12⇒y＝32.19．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|和|a－b|；(3)若AB→＝a，AC→＝b，作△ABC，求△ABC的面积．答案(1)120°(2)13，37(3)33解析(1)由(2a－3b)·(2a＋b)＝61，得4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.∵|a|＝4，|b|＝3，代入上式求得a·b＝－6.∴cosθ＝a·b|a|·|b|＝－64×3＝－12.又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.(2)可先平方转化为向量的数量积．|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝13.同理，|a－b|＝a2－2a·b＋b2＝37.(3)先计算a，b夹角的正弦，再用面积公式求值．由(1)知∠BAC＝θ＝120°，|AB→|＝|a|＝4，|AC→|＝|b|＝3，∴S△ABC＝12|AC→|·|AB→|·sin∠BAC＝12×3×4×sin120°＝33.20．设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为π3，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的范围．答案(－7，－142)∪(－142，－12)解析由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，得2te1＋7e2·e1＋te2|2te1＋7e2||e1＋te2|0，即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)0，化简即得2t2＋15t＋70，解得－7t－12.当夹角为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)0，但此时夹角不是钝角．设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ0，可求得2t＝λ，7＝λt，λ0，∴λ＝－14，t＝－142.∴所求实数t的范围是(－7，－142)∪(－142，－12)．1．已知A、B是以原点O为圆心的单位圆上两点，且|AB→|＝1，则AB→·OA→等于()A.12B．－12C.32D．－32答案B解析△AOB为正三角形，AB→·OA→＝|AB→||OA→|cos120°＝－12.2．已知向量a＝(2，sinx)，b＝(cos2x,2cosx)，则函数f(x)＝a·b的最小正周期是()A.π2B．πC．2πD．4π答案B解析f(x)＝a·b＝2cos2x＋2sinxcosx＝1＋cos2x＋sin2x＝1＋2sin(2x＋π4)，T＝π.3．若非零向量a，b满足|a＋b|＝|b|，则()A．|2a||2a＋b|B．|2a||2a＋b|C．|2b||a＋2b|D．|2b||a＋2b|答案C解析由(a＋b)2＝b2，得a·(a＋2b)＝0.若a＋2b＝0，又b≠0，得|2b||a＋2b|；若a＋2b≠0，不妨设a＝(x,0)，则a＋2b＝(0，y)(xy≠0)，得2b＝(－x，y)，则(2b)2＝x2＋y2y2＝(a＋2b)2，所以|2b||a＋2b|.4．O为△ABC的内切圆圆心，AB＝5，BC＝4，CA＝3，下列结论正确的是()A.OA→·OB→OB→·OC→OC→·OA→B.OA→·OB→OB→·OC→OC→·OA→C.OA→·OB→＝OB→·OC→＝OC→·OA→D.OA→·OB→OB→·OC→＝OC→·OA→答案A解析如图，A(0,3)，B(4,0)，C(0,0)，O(1,1)，则OA→＝(－1,2)，OB→＝(3，－1)，OC→＝(－1，－1)，OA→·OB→＝－5，OA→·OC→＝－1，OB→·OC→＝－2.5．(2011·广东理)若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝()A．4B．3C．2D．0答案D解析由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.6．(2011·辽宁理)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为()A.2－1B．1C.2D．2答案B解析由已知条件，向量a，b，c都是单位向量可以求出，a2＝1，b2＝1，c2＝1，由a·b＝0，及(a－c)·(b－c)≤0，可以知道，(a＋b)·c≥c2＝1，因为|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c，所以有|a＋b－c|2＝3－2(a·c＋b·c)≤1，故|a＋b－c|≤1.7．已知向量a＝(1,1)，a·b＝3，|a＋b|＝13，则|a|＝________，|b|＝________.答案25解析由题知，|a|＝12＋12＝2，|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝13，因此|b|＝5.8．在△OAB中，M是AB的中点，N是OM的中点，若OM＝2，则NO→·(NA→＋NB→)＝__