2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业44

课时作业(四十四)1．已知a，b∈(0,1)且a≠b，下列各式中最大的是()A．a2＋b2B．2abC．2abD．a＋b答案D解析只需比较a2＋b2与a＋b.由于a，b∈(0,1)，∴a2a，b2b，∴a2＋b2a＋b.2．x∈R，下列不等式恒成立的是()A．x2＋1≥xB.1x2＋11C．lg(x2＋1)lg(2x)D．x2＋44x答案A3．设实数x，y，m，n满足x2＋y2＝1，m2＋n2＝3，那么mx＋ny的最大值是()A.3B．2C.5D.102答案A解析方法一设x＝sinα，y＝cosα，m＝3sinβ，n＝3cosβ，其中α，β∈(0°，180°)．∴mx＋ny＝3sinβsinα＋3cosβcosα＝3cos(α－β)．故选A.方法二m2＋n2＝3⇔(m3)2＋(n3)2＝1，∴2＝x2＋y2＋(m3)2＋(n3)2≥23(mx＋ny)．∴mx＋ny≤3.4．若x，y是正数，则(x＋12y)2＋(y＋12x)2的最小值是()A．3B.72C．4D.92答案C解析由题意(x＋12y)2＋(y＋12x)2≥2(x＋12y)(y＋12x)＝2(xy＋14xy＋1)≥22xy·14xy＋1＝4，“＝”成立的条件x＋12y＝y＋12xxy＝12不矛盾，故“＝”能成立．5．(2011·上海)若a，b∈R，且ab0，下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b22abB．a＋b≥2abC.1a＋1b2abD.ba＋ab≥2答案D6．(2012·福建)下列不等式一定成立的是()A．lg(x2＋14)lgx(x0)B．sinx＋1sinx≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.1x2＋11(x∈R)答案C解析取x＝12，则lg(x2＋14)＝lgx，故排除A；取x＝32π，则sinx＝－1，故排除B；取x＝0，则1x2＋1＝1，故排除D.应选C.7．(2012·陕西)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则()A．avabB．v＝abC.abva＋b2D．v＝a＋b2答案A解析设甲、乙两地的距离为S，则从甲地到乙地所需时间为Sa，从乙地到甲地所需时间为Sb.又因为ab，所以全程的平均速度为v＝2SSa＋Sb＝2aba＋b2ab2ab＝ab，2aba＋b2ab2b＝a，即avab，则选A.8．“a＝18”是“对任意的正数x,2x＋ax≥1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析令p：“a＝18”，q：“对任意的正数x,2x＋ax≥1”．若p成立，则a＝18，则2x＋ax＝2x＋18x≥22x·18x＝1，即q成立，p⇒q；若q成立，则2x2－x＋a≥0恒成立，解得a≥18，∴q⇒/p.∴p是q的充分不必要条件．9．已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则a＋1c＋c＋1a的最小值为()A．4B．42C．8D．82答案A解析∵f(x)＝ax2＋2x＋c的值域为[0，＋∞)，则由Δ＝0，a0，得c＝1a.∴a＋1c＋c＋1a＝a＋11a＋1a＋1a＝a2＋a＋1a2＋1a＝(a2＋1a2)＋(a＋1a)≥4(当且仅当a＝1a即a＝1时取等号)．10．(2012·潍坊模拟)已知x0，y0，且2x＋1y＝1，若x＋2ym2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是()A．m≥4或m≤－2B．m≥2或m≤－4C．－2m4D．－4m2答案D解析∵x0，y0，且2x＋1y＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)(2x＋1y)＝4＋4yx＋xy≥4＋24yx·xy＝8，当且仅当4yx＝xy，即4y2＝x2，x＝2y时取等号，又2x＋1y＝1，此时x＝4，y＝2，∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2ym2＋2m恒成立，只需(x＋2y)minm2＋2m恒成立，即8m2＋2m，解得－4m2.11．(2011·北京文)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A．60件B．80件C．100件D．120件答案B解析若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是800x，存储费用是x8，总的费用是800x＋x8≥2800x·x8＝20，当且仅当800x＝x8时取等号，即x＝80.12．(1)x1时，x＋4x－1的最小值为________．(2)x≥4时，x＋4x－1的最小值为________．答案(1)5(2)163解析(1)∵x1，∴x－10.∴x＋4x－1＝x－1＋4x－1＋1≥24＋1＝5.(当且仅当x－1＝4x－1.即x＝3时“＝”号成立)∴x＋4x－1的最小值为5.(2)∵x≥4，∴x－1≥3.∵函数y＝x＋4x在[3，＋∞)上为增函数，∴当x－1＝3时，y＝(x－1)＋4x－1＋1有最小值163.13．若a0，b0，a＋b＝1，则ab＋1ab的最小值为________．答案174解析ab≤(a＋b2)2＝14，当且仅当a＝b＝12时取等号．y＝x＋1x在x∈(0，14]上为减函数．∴ab＋1ab的最小值为14＋4＝174.14．(2010·山东文)已知x，y∈R＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为________．答案3解析因为1＝x3＋y4≥2x3·y4＝2xy12＝xy3，所以xy≤3，当且仅当x3＝y4，即x＝32，y＝2时取等号，故xy的最大值为3.15．ab0，则a2＋16ba－b最小值为________．答案16解析∵ab0，∴b(a－b)≤(b＋a－b2)2＝a24当且仅当“a＝2b”时等号成立．∴a2＋16ba－b≥a2＋16a24＝a2＋64a2≥16当且仅当a＝22，b＝2时，a2＋16ba－b取得最小值16.16．已知a，b，c都是正实数，且满足log9(9a＋b)＝log3ab，求使4a＋b≥c恒成立的c的取值范围．答案0c≤25解析因为a，b都是正实数，log9(9a＋b)＝log3ab，所以log3(9a＋b)＝log3(ab)，故9a＋b＝ab，故9b＋1a＝1，所以4a＋b＝(4a＋b)(9b＋1a)＝13＋36ab＋ba≥13＋236ab·ba＝25，即4a＋b≥25，当且仅当36ab＝ba，即b＝6a时等号成立．而c0，所以要使4a＋b≥c恒成立，c的取值范围为0c≤25.17.如图，在半径为30cm的半圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A，B在直径上，点C，D在圆周上．(1)怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积；(2)若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接铝耗)，应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求最大体积．解析(1)连接OC.设BC＝x，矩形ABCD的面积为S.则AB＝2900－x2，其中0x30.所以S＝2x900－x2＝2x2900－x2≤x2＋(900－x2)＝900.当且仅当x2＝900－x2，即x＝152时，S取最大值900cm2.答：取BC为152cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为900cm2.(2)设圆柱底面的半径为r，高为x，体积为V.由AB＝2900－x2＝2πr，得r＝900－x2π.所以V＝πr2x＝1π(900x－x3)，其中0x30.由V′＝1π(900－3x2)＝0，得x＝103.因此V＝1π(900x－x3)在(0,103)上是增函数，在(103，30)上是减函数．所以当x＝103时，V取最大值为60003πcm3.答：取BC为103cm时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为60003πcm3.1．(2011·浙江理)设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．答案2105解析∵4x2＋y2＋xy＝1，∴(2x＋y)2＝3xy＋1＝32×2xy＋1≤32×(2x＋y2)2＋1，∴(2x＋y)2≤85，(2x＋y)max＝2105.2．(2011·湖南理)设x，y∈R，且xy≠0，则(x2＋1y2)(1x2＋4y2)的最小值为________．答案9解析(x2＋1y2)(1x2＋4y2)＝1＋4＋4x2y2＋1x2y2≥1＋4＋24x2y2·1x2y2＝9，当且仅当4x2y2＝1x2y2时等号成立，即|xy|＝22时等号成立．3．(2011·浙江文)若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．答案233解析∵xy≤14(x＋y)2，∴1＝x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－14(x＋y)2＝34(x＋y)2，∴(x＋y)2≤43.∴－233≤x＋y≤233，当x＝y＝33时，x＋y取得最大值233.4．(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝2x的图像交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是________．答案4解析由题意知：P、Q两点关于原点O对称，不妨设P(m，n)为第一象限中的点，则m0，n0，n＝2m，所以|PQ|2＝4|OP|2＝4(m2＋n2)＝4(m2＋4m2)≥16(当且仅当m2＝4m2，即m＝2时，取等号)，故线段PQ长的最小值是4.5．有一批材料可以建成200m长的围墙，若用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________(围墙的厚度不计)．答案2500m2解析设所围场地的长为x，则宽为200－x4，其中0x200，场地的面积为x×200－x4≤14(x＋200－x2)2＝2500m2，等号当且仅当x＝100时成立．6．(2010·山东理)若对任意x0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．答案[15，＋∞)解析若对任意x0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，只需求得y＝xx2＋3x＋1的最大值即可．因为x0，所以y＝xx2＋3x＋1＝1x＋1x＋3≤12x·1x＋3＝15，当且仅当x＝1时取等号．所以a的取值范围是[15，＋∞)．7．设x0，y0，不等式1x＋1y＋mx＋y≥0恒成立，则实数m的最小值是________．答案－4解析原问题等价于mx＋y≥－(1x＋1y)恒成立，∵x0，y0，∴等价于m≥－(1x＋1y)(x＋y)的最大值．而－(1x＋1y)(x＋y)＝－2－(yx＋xy)≤－2－2＝－4，当且仅当x＝y时取“＝”，故m≥－4.8.(2012·江苏)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－120(1＋k2)x2(k0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解析(1)令y＝0，得kx－120(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件知x0，k0，故x＝20k1＋k2＝20k＋1k≤202＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a0，所以炮弹可击中目标⇔存在k0，使3.2＝ka－120(1＋k2)·a2成立⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0⇔a≤6.所以当a不超过6千米时，可击中目标．9．(1)1x＋21－x(0x1)最小值．(2)1x＋21－2x(0x12)最小值．解析(1)特征：分母之和为定值．即相当于a＋b＝1，求1a＋2b最小值．1a＋2b＝(1a＋2b)(a＋b)＝1＋2＋ba＋2ab≥