2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业49

课时作业(四十九)1．一个长方体其一个顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体的对角线长是()A．23B．32C．6D.6答案D解析设长方体共一顶点的三棱长分别为a、b、c，则ab＝2，bc＝3，ac＝6.解得a＝2，b＝1，c＝3.故对角线长l＝a2＋b2＋c2＝6.2．圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的全面积为()A．6π(4π＋3)B．8π(3π＋1)C．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)D．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)答案C解析分清哪个为母线，哪个为底面圆周长，应分类讨论．3．已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于()A．22B.233C.423D.433答案D解析由题意知V＝43πR3＝32π3，∴R＝2，外接球直径为4.即正方体的体对角线，设棱长为a，则体对角线l＝3a＝4，a＝433.4．(2012·新课标)平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为()A.6πB．43πC．46πD．63π答案B解析设球O的半径为R，则R＝12＋22＝3，故V球＝43πR3＝43π.5．(2012·北京)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是()A．28＋65B．30＋65C．56＋125D．60＋125答案B解析根据三棱锥的三视图可还原此几何体的直观图(如图所示)，此几何体为一个底面为直角三角形，高为4的三棱锥，因此表面积为S＝12×(2＋3)×4＋12×4×5＋12×4×(2＋3)＋12×25×41－5＝30＋65.6．(2012·湖北)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.8π3B．3πC.10π3D．6π答案B解析由三视图画出几何体，如图所示，该几何体的体积V＝2π＋π＝3π.7．某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A．43B．83C．123D．243答案D解析该几何体的高h＝42－22＝12＝23，∴V＝13×12×6×2×23＝43.故选A.8．(2010·福建)如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是()A.36πB.12πC.33πD.433π答案A解析由几何体的三视图可知该几何体是一个圆锥的一半，其底面半径为1，高为3，∴V＝12×13×π×12×3＝36π.故选A.9．将棱长为3的正四面体的各顶点截去四个棱长为1的小正四面体(使截面平行于底面)，所得几何体的表面积为()A．73B．63C．33D．93答案A解析原正四面体的表面积为4×934＝93，每截去一个小正四面体，表面减小三个小正三角形，增加一个小正三角形，故表面积减少4×2×34＝23，故所得几何体的表面积为73.故选A.10．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是()A．8B．62C．10D．82答案C解析由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形，面积分别为6,62，8,10，所以面积最大的是10，故选择C.11．已知一种救灾帐篷的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：m)，可得每个这种帐篷的用料是()A．(19＋45)m2B．(27＋25)m2C．27m2D．(35＋25)m2答案A解析由三视图可知，这种救灾帐篷是一个长方体与一个直三棱柱构成的组合体，如图所示，则每个这种帐篷的用料是2×(4＋2)×1.5＋2×12×2×0.5＋2×4×52＝(19＋45)m2.12．圆台上下底面积分别为π、4π，侧面积为6π，这个圆台的体积为________．答案733π13．四棱锥P－ABCD的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如图所示，则四棱锥P－ABCD的表面积为________．答案(2＋2)a2解析依题意得知，在该四棱锥中，PA⊥底面ABCD，PA＝a，底面四边形ABCD是边长为a的正方形，因此有PD⊥CD，PB⊥BC，PB＝PD＝2a，所以该四棱锥的表面积等于a2＋2×12a2＋2×12×2a×a＝(2＋2)a2.14.如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为________．解析方法一设AB＝a，AD＝b，DD′＝c，则长方体ABCD－A′B′C′D′的体积V＝abc.又S△A′DD′＝12bc，且三棱锥C－A′DD′的高为CD＝a.∴V三棱锥C－A′DD′＝13S△A′DD′·CD＝16abc.则剩余部分的几何体积V剩＝abc－16abc＝56abc.故V棱锥C－A′D′D∶V剩＝16abc∶56abc＝1∶5.方法二已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD′A′－BCC′B′，设它的底面ADD′A′面积为S，高为h，则它的体积为V＝Sh.而棱锥C－A′DD′的底面面积为12S，高是h，因此，棱锥C－A′DD′的体积VC－A′DD′＝13×12Sh＝16Sh.余下的体积是Sh－16Sh＝56Sh.所以棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为16Sh∶56Sh＝1∶5.15．已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为________．答案22π3解析因为扇形弧长为2π，所以圆锥母线长为3，高为22，所求体积V＝13×π×12×22＝22π3.16．已知A(0,0)，B(1,0)，C(2,1)，D(0,3)，四边形ABCD绕y轴旋转210°，则所得几何体的体积为________．答案35π12解析如图，∵V圆锥＝13π·22·2＝83π.V圆台＝13π·1·(22＋2×1＋12)＝73π.∴四边形ABCD绕y轴旋转360°所得几何体的体积为8π3＋7π3＝5π.∴绕y轴旋转210°所得几何体的体积为210360×5π＝35π12.17.(2012·江苏)如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，则四棱锥A—BB1D1D的体积为________cm3.答案6解析由已知可得VA－BB1D1D＝23VA1D1B1－ADB＝23×12VA1B1C1D1－ABCD＝23×12×3×3×2＝6(cm)3.18．(2012·天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.答案38解析由几何体的三视图可知：该几何体的顶部为平放的直四棱柱，底部为长、宽、高分别为4m,3m,2m的长方体．故组合体的体积V＝3×4×2＋12×(1＋2)×1×4＝30m3.19．(2012·辽宁)如图，直三棱柱ABC—A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝λAA′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．(1)证明：MN∥平面A′ACC′；(2)求三棱锥A′—MNC的体积．(锥体体积公式V＝13Sh，其中S为底面面积，h为高)解析(1)方法一连接AB′，AC′，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC—A′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′的中点．又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′.又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，因此MN∥平面A′ACC′.方法二取A′B′中点P，连接MP，NP，AB′.因为M，N分别为AB′与B′C′的中点，所以MP∥AA′，PN∥A′C′.所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.又MP∩NP＝P，因此平面MPN∥平面A′ACC′.又因MN⊂平面MPN，因此MN∥平面A′ACC′.(2)方法一连接BN，由题意A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B′BCC′＝B′C′，所以A′N⊥平面NBC.又A′N＝12B′C′＝1，故VA′－MNC＝VN－A′MC＝12VN－A′BC＝12VA′－NBC＝16.方法二VA′－MNC＝VA′－NBC－VM－NBC＝12VA′－NBC＝16.20．已知六棱锥P－ABCDEF，其中底面为正六边形，点P在底面上的投影为正六边形中心，底面边长为2cm，侧棱长为3cm，求六棱锥P－ABCDEF的体积．答案215解析如图，O为正六边形中心，则PO为六棱锥的高，G为CD中点，则PG为六棱锥的斜高，由已知得CD＝2cm，则OG＝3，CG＝1.在Rt△PCG中，PC＝3，CG＝1，则PG＝PC2－CG2＝22.在Rt△POG中，PG＝22，OG＝3，则PO＝PG2－OG2＝5.(或直接用：PO＝PC2－OC2＝32－22＝5)VP－ABCDEF＝13SABCDEF·PO＝13×6×34×22×5＝215.1．(2011·北京文)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是()A．32B．16＋162C．48D．16＋322答案B解析该空间几何体是底面边长为4、高为2的正四棱锥，这个四棱锥的斜高为22，故其表面积是4×4＋4×12×4×22＝16＋162.2．(2011·广东文)如图，某几何体的正视图(主视图)，侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为()A．43B．4C．23D．2答案C解析由题意知该几何体为如图所示的四棱锥，底面为菱形，且AC＝23，BD＝2，高OP＝3，其体积V＝13×(12×23×2)×3＝23.3．(2011·湖南文)如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A．9π＋42B．36π＋18C.92π＋12D.92π＋18答案D解析这个空间几何体上半部分是一个半径为32的球，下半部分是一个底面正方形边长为3、高为2的正四棱柱，故其体积为4π3×(32)3＋3×3×2＝9π2＋18.4．(2010·新课标全国)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．πa2B.73πa2C.113πa2D．5πa2答案B解析如图，O1，O分别为上、下底面的中心，D为O1O的中点，则DB为球的半径，有r＝DB＝OD2＋OB2＝a24＋a23＝7a212.∴S表＝4πr2＝4π×7a212＝73πa2.5．半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为()A.5B.6C．D．答案B解析方法一作过正方体对角面的截面，如图，设半球的半径为R，正方体的棱长为a，那么CC′＝a，OC＝22a.在Rt△C′CO中，由勾股定理，得CC′2＋OC2＝OC′2.即a2＋(22a)2＝R2，∴R＝62a.∴V半球＝23πR3＝23π(62a)3＝62πa3，V正方体＝a3.因此V半球V正方体＝62πa3a3＝62.方法二将半球补成整个球，同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体，构成的长方体刚好是球的内接长方体，那么这个长方体的对角线便是它的外接球的直径，设原正方体棱长为a，球的半径是R，则根据长方体的对角线性质，得(2R)2＝a2＋a2＋(2a)2.即4R2＝6a2，∴R＝62a.从而V半球＝23πR3＝23π(62a)3＝62πa3，V正方体＝a3.因此V半球V正方体＝62πa3a3＝66.(2012·山东)如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A—DED1的体积为________．答案16解析由正方体的性质知B1C∥平面AA1D1D，∴E到平面AA1D1D的距离等于C到平面AA1D1D的距离，于是三棱锥A—DED1的体积即为三棱锥E—AD1D的体积．也是三棱锥C—AD1D的体积．∵S△AD1D＝12，∴VC－AD1D＝13S△AD1D·CD＝13×12×1＝16.7．(2012·湖北)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．答案12π解析该几何体是由3个圆柱构成的几何体，故体积V＝2×π×22×1＋π×12×4＝12π.8．如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为a，高为2a，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好为中截面，则图1中容器内水面的高度是________．图1图2答案32a解析如图1中容器内液面的高度为h，液体的体积为V，则V＝S△ABCh，又如