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课时作业(五十四)1．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－2,0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交答案B解析∵u＝－2a，∴u∥a，∴l⊥α.2．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α和平面β的位置关系是()A．平面B．相交但不垂直C．垂直D．重合答案C解析由(1,2,0)·(2，－1,0)＝1×2＋2×(－1)＋0×0＝0，知两平面的法向量互相垂直，所以两平面互相垂直．3．已知A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是()A．(33，33，－33)B．(33，－33，33)C．(－33，33，33)D．(－33，－33，－33)答案D解析AB→＝(－1,1,0)，AC→＝(－1,0,1)，设平面ABC的一个法向量n＝(x，y，z)，∴－x＋y＝0，－x＋z＝0.令x＝1，则y＝1，z＝1，∴n＝(1,1,1)．单位法向量为±n|n|＝±(33，33，33)．4．已知点A，B，C∈平面α，点P∉α，则AP→·AB→＝0且AP→·AC→＝0是AP→·BC→＝0的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析已知AP→·AB→＝0，AP→·AC→＝0⇒AP→·BC→＝AP→·(AC→－AB→)＝AP→·AC→－AP→·AB→＝0.若A、B、C三点共线⇒AP→·AB→＝0，AP→·AC→＝0.若A，B，C三点不共线DAP→⊥αDAP→·AB→＝0，AP→·AC→＝0.5．已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则下列结论正确的是()A．a∥c，b∥cB．a∥b，a⊥cC．a∥c，a⊥bD．以上都不对答案C解析a·b＝0，a⊥b，c＝2a，c∥a.6．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．若|a|＝3，且a分别与AB→，AC→垂直，则向量a为()A．(1,1,1)B．(－1，－1，－1)C．(1,1,1)或(－1，－1，－1)D．(1，－1,1)或(－1,1，－1)答案C解析AB→＝(－2，－1,3)，AC→＝(1，－3,2)，设a＝(a，b，c)，－2a－b＋3c＝0，a－3b＋2c＝0⇒b＝c＝a.∴a2＋b2＋c2＝3，a2＝1a＝±1.∴a＝(1,1,1)或(－1，－1，－1)．7．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是()A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)答案D解析∵l∥平面α，∴a⊥n.a·n＝0，只有D符合．8．△ABC的顶点分别为A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD等于()A．5B.41C．4D．25答案A解析设AD→＝λAC→，D(x，y，z)，∴由AC→·BD→＝0，得λ＝－45，∴BD→＝(－4，95，125)，∴|BD→|＝5.9．如图所示，正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱长为1，E、F分别是BC、CD上的点，且BE＝CF＝a(0a1)，则D′E与B′F的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交D．与a值有关答案B解析方法一如下图甲所示，连接A′B，AB′，AF，DE易知A′B是D′E在平面ABB′A′上的射影．∵AB′⊥A′B，∴D′E⊥AB′.又由BE＝CF，知EC＝FD，而AD＝CD，∴Rt△DCE≌Rt△ADF.∴∠EDC＝∠FAD.而∠EDC＋∠EDA＝90°，∴∠FAD＋∠EDA＝90°，从而AF⊥DE.又易知DE是D′E在底面ABCD上的射影，∴D′E⊥AF.综上，知D′E⊥平面AB′F，从而D′E⊥B′F.方法二建立如图乙所示空间直角坐标系．则D′(0,0,1)，E(1－a,1,0)，B′(1,1,1)，F(0,1－a,0)，∴D′E→＝(1－a,1，－1)，B′F→＝(－1，－a，－1)．∴D′E→·B′F→＝(1－a)×(－1)＋1×(－a)＋(－1)×(－1)＝a－1－a＋1＝0.∴D′E→⊥B′F→，即D′E⊥B′F.10．设平面α与向量a＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b＝(2,3,1)垂直，则平面α与β位置关系是________．答案垂直解析由已知a，b分别是平面α，β的法向量．∵a·b＝－2＋6－4＝0，∴a⊥b，∴α⊥β.11．设a＝(1,2,0)，b＝(1,0,1)，则“c＝(23，－13，－23)”是“c⊥a，c⊥b且c为单位向量”的________．(将正确的序号填上)．①充要条件②充分不必要条件③必要不充分条件④既非充分条件也非必要条件答案②解析当c＝(23，－13，－23)时，c⊥a，c⊥b且c为单位向量，反之则不成立．12．下列命题中，所有正确命题的序号为________．①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β；②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1·n2＝0；③若n是平面α的法向量，a与α共面，则n·a＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．答案①②③④13．如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．(1)求证：AM∥平面BDE；(2)求证：AM⊥平面BDF.解析(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连接NE.则点N、E的坐标分别为(22，22，0)、(0,0,1)．∴NE→＝(－22，－22，1)．又点A、M的坐标分别是(2，2，0)、(22，22，1)，∴AM→＝(－22，－22，1)．∴NE→＝AM→且NE与AM不共线．∴NE∥AM.又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE.(2)同(1)，AM→＝(－22，－22，1)，∵D(2，0,0)，F(2，2，1)，∴DF→＝(0，2，1)．∴AM→·DF→＝0.∴AM→⊥DF→.同理AM→⊥BF→.又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.14.如右图所示，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，E、F分别是PC、PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.(1)求证：EF∥平面PAB；(2)求证：平面PAD⊥平面PDC.思路建立空间直角坐标系后，使用向量的共线定理证明EF→∥AB→即可证明第(1)问，第(2)问根据向量的垂直关系证明线线垂直，进而证明线面垂直，得出面面垂直．解析以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如右图所示，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以E为(12，1，12)，F为(0,1，12)．EF→＝(－12，0,0)，PB→＝(1,0，－1)，PD→＝(0,2，－1)，AP→＝(0,0,1)，AD→＝(0,2,0)，DC→＝(1,0,0)，AB→＝(1,0,0)．(1)因为EF→＝－12AB→，所以EF→∥AB→，即EF∥AB.又AB⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，所以EF∥平面PAB.(2)因为AP→·DC→＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD→·DC→＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，所以AP→⊥DC→，AD→⊥DC→，即AP⊥DC，AD⊥DC.又AP∩AD＝A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以DC⊥平面PAD.因为DC⊂平面PDC，所以平面PAD⊥平面PDC.15．如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝12AD.证明：平面AMD⊥平面CDE.解析方法一因为DC＝DE且M为CE的中点，所以DM⊥CE.取AD中点为P，连接MP，则MP⊥CE.又MP∩DM＝M，故CE⊥平面AMD.而CE⊂平面CDE，所以平面AMD⊥平面CDE.方法二如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点．设AB＝1，依题意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，M(12，1，12)．由AM→＝(12，1，12)，CE→＝(－1,0,1)，AD→＝(0,2,0)，可得CE→·AM→＝0，CE→·AD→＝0.因此，CE⊥AM，CE⊥AD.又AM∩AD＝A，故CE⊥平面AMD.而CE⊂平面CDE，所以平面AMD⊥平面CDE.16.(2013·西城区)如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE与平面ABCD所成角为60°.(1)求证：AC⊥平面BDE；(2)设点M是线段BD上一个动点，试确定M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．解析(1)因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC.因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD.从而AC⊥平面BDE.(2)因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D－xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为60°，即∠DBE＝60°，所以EDDB＝3.因为正方形ABCD的边长为3，所以BD＝32，所以DE＝36，AF＝6.则A(3,0,0)，F(3,0，3)，E(0,0,36)，B(3,3,0)，C(0,3,0)．所以BF→＝(0，，3，6)，EF→＝(3,0，－26)．设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)，则n·BF→＝0，n·EF→＝0，即－3y＋6z＝03x－26z＝0，令z＝6，则n＝(4,2，6)．点M是线段BD上一个动点，设M(t，t,0)．则AM→＝(t－3，t,0)．因为AM∥平面BEF，所以AM→·n＝0.即4(t－3)＋2t＝0，解得t＝2.此时，点M为(2,2,0)，BM＝13BD，符合题意．1.如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，点E在CC1上，且C1E＝3EC.证明：A1C⊥平面BED.解析以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D—xyz.依题设B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,4)．DE→＝(0,2,1)，DB→＝(2,2,0)，A1C→＝(－2,2，－4)，DA1→＝(2,0,4)．因为A1C→·DB→＝0，A1C→·DE→＝0，故A1C⊥BD，A1C⊥DE.又DB∩DE＝D，所以A1C⊥平面BED.2．已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝90°，2AB＝2AD＝CD，侧面PAD是正三角形且垂直于底面ABCD，E是PC的中点．(1)求证：BE⊥平面PCD；(2)在PB上是否存在一点F，使AF∥平面BDE?解析(1)证明以AD的中点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝AD＝2，则有B(1,2,0)，C(－1,4,0)，D(－1,0,0)，P(0,0，3)，E(－12，2，32)．∴BE→＝(－32，0，32)，PC→＝(－1,4，－3)．CD→＝(0，－4,0)，∴BE→·PC→＝(－32，0，32)·(－1,4，－3)＝0，BE→·CD→＝(－32，0，32)·(0，－4,0)＝0.即BE⊥PC，BE⊥CD.又PC∩CD＝C，∴BE⊥平面PCD.(2)解析设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，∵n⊥BE→，n⊥DE→，∴n·BE→＝0，n·DE→＝0.∴－32x＋32z＝0，12x＋2y＋32z＝0.令y＝－1，则x＝1，z＝3.∴平面BDE的一个法向量为(1，－1，3)．取PB中点F，则有F(12，1，32)．又A(1,0,0)，∴AF→＝(－12，1，32)．∵AF→·n＝(－12，1，32)·(1，－1，3)＝－12－1＋32＝0，∴AF→⊥n.又n是平面BDE的法向量，且AF⊄平面BDE，∴AF∥平面BDE.故存在PB中点F使AF∥平面BDE.3．已知直三棱柱ABC－A