2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业64

课时作业(六十四)1．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为()A．(22，0)B．(52，0)C．(62，0)D．(3，0)答案C解析将双曲线方程化为标准方程为x2－y212＝1，∴a2＝1，b2＝12，∴c2＝a2＋b2＝32，∴c＝62，故右焦点坐标为(62，0)．2．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点是(0,3)，则k的值是()A．1B．－1C.653D．－63答案B解析kx2－ky28＝1，焦点在y轴上，c＝3，解得k＝－1.3．已知平面内有一条线段AB，其长度为4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，O为AB的中点，则|OP|的最小值为()A．1B.32C．2D．3答案B解析以AB中点为原点，中垂线为y轴建立直角坐标系，P点的轨迹为双曲线c＝2，a＝1.5，∴|OP|min＝a＝1.5.4．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是()A．aB．bC.abD.a2＋b2答案B解析圆的半径即为双曲线C的右焦点到渐近线的距离，渐近线方程为y＝bax，即bx－ay＝0，所以r＝|bc|a2＋b2＝b.5．(2013·济南模拟)已知点F1、F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是()A．(1，3)B．(3，22)C．(1＋2，＋∞)D．(1,1＋2)答案D解析依题意，0∠AF2F1π4，故0tan∠AF2F11，则b2a2c＝c2－a22ac1，即e－1e2，e2－2e－10，(e－1)22，所以1e1＋2，故选D.6．已知双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为53c(c为双曲线的半焦距长)，则双曲线的离心率为()A.52B.32C.355D.23答案B解析双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线为xa±yb＝0，焦点A(c,0)到直线bx－ay＝0的距离为bca2＋b2＝53c，则c2－a2＝59c2，得e2＝94，e＝32，故选B.7．已知双曲线的两个焦点F1(－10，0)，F2(10，0)，M是此双曲线上的一点，且MF1→·MF2→＝0，|MF1→|·|MF2→|＝2，则该双曲线的方程是()A.x29－y2＝1B．x2－y29＝1C.x29－y27＝1D.x27－y23＝1答案A解析∵MF1→·MF2→＝0，∴MF1→⊥MF2→.∵||MF1→|－|MF2→||＝2a，∴|MF1→|2＋|MF2→|2＝40.∴|MF1→|·|MF2→|＝20－2a2＝2，∴a2＝9，b2＝1.∴所求双曲线的方程为x29－y2＝1.8．设双曲线x2a2－y2b2＝1(0ab)的半焦距为c，直线l过(a,0)、(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为34c，则双曲线的离心率为()A．2B.3C.2D.233答案A解析直角三角形斜边为c，斜边上的高为abc＝34c,4ab＝3c2.结合0ab得ab＝13.∴e＝2.9．(2012·大纲全国)已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝()A.14B.35C.34D.45答案C解析因为c2＝2＋2＝4，所以c＝2,2c＝|F1F2|＝4，由题可知|PF1|－|PF2|＝2a＝22，|PF1|＝2|PF2|，所以|PF2|＝22，|PF1|＝42，由余弦定理可知cos∠F1PF2＝422＋222－422×42×22＝34，故选C.10．(2013·潍坊二模)已知双曲线C：x24－y25＝1的左，右焦点分别为F1，F2，P为C的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，则PF1→·PF2→等于()A．24B．48C．50D．56答案C解析如图所示，|PF2|＝|F1F2|＝6，由双曲线定义，可得|PF1|＝10.在△PF1F2中，由余弦定理，可得cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝102＋62－622×10×6＝56.∴PF1→·PF2→＝|PF1→||PF2→|cos∠F1PF2＝10×6×56＝50.11．(2012·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2m－y2m2＋4＝1的离心率为5，则m的值为________．答案2解析由题意得m0，∴a＝m，b＝m2＋4，∴c＝m2＋m＋4，由e＝ca＝5，得m2＋m＋4m＝5，解得m＝2.12．(2012·辽宁)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．答案23解析不妨设点P在双曲线的右支上，因为PF1⊥PF2，所以(22)2＝|PF1|2＋|PF2|2，又因为|PF1|－|PF2|＝2，所以(|PF1|－|PF2|)2＝4，可得2|PF1|·|PF2|＝4，则(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|＋|PF2|＝23.13．已知双曲线的渐近线方程为y＝±43x，并且焦点都在圆x2＋y2＝100上，求双曲线方程．解析方法一①当焦点在x轴上时，设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，因渐近线的方程为y＝±43x，并且焦点都在圆x2＋y2＝100上，∴ba＝43，a2＋b2＝100，解得a＝6，b＝8.∴双曲线的方程为x236－y264＝1.②当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，因渐近线的方程为y＝±43x，并且焦点都在圆x2＋y2＝100上，∴ab＝43，a2＋b2＝100，解得a＝8，b＝6.∴双曲线的方程为y264－x236＝1.综上，双曲线的方程为x236－y264＝1和y264－x236＝1.方法二设双曲线的方程为42·x2－32·y2＝λ(λ≠0)，从而有(|λ|4)2＋(|λ|3)2＝100，解得λ＝±576.∴双曲线的方程为x236－y264＝1和y264－x236＝1.14.如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F1、F2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P，∠F1PF2＝π3，且△PF1F2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．解析设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1，∴F1(－c,0)，F2(c,0)，P(x0，y0)．在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosπ3＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，即4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|.又∵S△PF1F2＝23，∴12|PF1|·|PF2|·sinπ3＝23.∴|PF1|·|PF2|＝8.∴4c2＝4a2＋8，即b2＝2.又∵e＝ca＝2，∴a2＝23.∴所求双曲线方程为3x22－y22＝1.15．(2012·辽宁)如图，动圆C1：x2＋y2＝t2,1t3，与椭圆C2：x29＋y2＝1相交于A，B，C，D四点，点A1，A2分别为C2的左，右顶点．(1)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．解析(1)设A(x0，y0)，则矩形ABCD的面积S＝4|x0||y0|.由x209＋y20＝1，得y20＝1－x209，从而x20y20＝x20(1－x209)＝－19(x20－92)2＋94.当x20＝92，y20＝12时，Smax＝6.从而t＝5时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为6.(2)由A(x0，y0)，B(x0，－y0)，A1(－3,0)，A2(3,0)知直线AA1的方程为y＝y0x0＋3(x＋3)，①直线A2B的方程为y＝－y0x0－3(x－3)．②由①②得y2＝－y20x20－9(x2－9)．③又点A(x0，y0)在椭圆C2上，故y20＝1－x209.④将④代入③得x29－y2＝1(x－3，y0)．因此点M的轨迹方程为x29－y2＝1(x－3，y0)．1．(《高考调研》原创题)如图，以AB为直径的圆有一内接梯形ABCD，且AB∥CD.若以A、B为焦点的双曲线过C、D两点，则当梯形ABCD的周长最大时，此双曲线的离心率为________．答案1＋3解析设圆的半径是R，∠DAB＝θ(θ∈(0，π2))，连接BD，则|AD|＝2Rcosθ，|BD|＝2Rsinθ，梯形ABCD的周长等于2R＋2×2Rcosθ＋(2R－2×2Rcosθ·cosθ)＝4R＋4Rcosθ·(1－cosθ)≤4R＋4R·[cosθ＋1－cosθ2]2＝5R.当且仅当cosθ＝1－cosθ，即cosθ＝12，θ＝π3时取“＝”，此时梯形ABCD的周长最大，该双曲线的离心率等于|AB|||DA|－|DB||＝2R|2Rcosθ－2Rsinθ|＝1|cosθ－sinθ|＝23－1＝1＋3.2．(2013·浙江调研)若点P在曲线C1：x216－y29＝1上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是________．答案10解析依题意得，点F1(－5,0)、F2(5,0)分别为双曲线C1的左、右焦点，因此有|PQ|－|PR|≤|(|PF2|＋1)－(|PF1|－1)|≤||PF2|－|PF1||＋2＝2×4＋2＝10，故|PQ|－|PR|的最大值是10.3．设点P到点M(－1,0)、N(1,0)距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围．解析依题意，则|m|≥1时，显然不满足条件．∴|m|∈[0,1)．不妨设m∈(0,1)，则P点的轨迹方程为x2m2－y21－m2＝1(x0)．依题意存在点(k,2k)在双曲线上，k2(1－m2)－4k2m2＝m2(1－m2)．－5m2k2＋k2－m2(1－m2)＝0为关于k的一元二次方程有实根．∴Δ0⇒m∈(0，55)．同理，m∈(－1,0)时，m∈(－55，0)．∴综上，m∈(－55，0)∪(0，55)．