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课时作业(七十四)1．某校高一有6个班，高二有5个班，高三有8个班，各年级分别举行班与班之间篮球单循环赛，则共需要进行比赛的场数为()A．C26C25C28B．C26＋C25＋C28C．A26A25A28D．C219答案B解析依题意，高一比赛有C26场，高二比赛有C25场，高三比赛有C28场，由分类计数原理，得共需要进行比赛的场数为C26＋C25＋C28，选B.2．将正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面染色，有4种不同的颜色可供选择，要求相邻的两个面不能染同一颜色，则不同的染色方法有()A．256种B．144种C．120种D．96种答案D解析①只用3种颜色，则对面相同，共有A34＝24.②用4种颜色，有一组对面，颜色不同，A44C13＝72.共有N＝72＋24＝96(种)．3．6名志愿者(其中4名男生，2名女生)义务参加宣传活动，他们自由分成两组完成不同的两项任务，但要求每组最多4人，女生不能单独成组，则不同的工作安排方式有()A．40种B．48种C．60种D．68种答案B解析4,2分法：A22(C46－1)＝14×2＝28，3,3分法：C36C33＝20，∴共有48种．4．从8个不同的数中选出5个数构成函数f(x)(x∈{1,2,3,4,5})的值域，如果8个不同的数中的A、B两个数不能是x＝5对应的函数值，那么不同的选法种数为()A．C28A36B．C17A47C．C16A47D．无法确定答案C解析自变量有5个，函数值也是5个不同的数，因此自变量与函数值只能一一对应，不会出现多对一的情形．因为A、B两个数不能是x＝5对应的函数值，故先从余下6个数中选出与5对应的函数值，有C16种方法，再从其它7个数中选出4种排列即可，故不同选法共有C16A47种．5．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有()A．120个B．80个C．40个D．20个答案C解析百十个6A255A244A233A222×不行1×不行共有A25＋A24＋A23＋A22＝40.6．由1,2,3,4,5组成没有重复数字且2与5不相邻的四位数的个数是()A．120B．84C．60D．48答案B解析法1：无2A44，无5A44，有2和5：C23A22A23，∴共有A44＋A44＋C23A22A23＝84.法2：A45－A22C23A33＝84.7．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加上海世博会公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有()A．40种B．60种C．100种D．120种答案B解析分两步：先从5人中选两人参加星期五的活动，有C25种方法，再从剩下的3人中选两人参加星期六、星期日的活动，有A23种方法，故不同的选派方法共有C25A23＝60种，故选B.8．有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法种数为()A．2520B．2025C．1260D．5040答案A解析C210A28＝2520.9．8个色彩不同的球已平均分装在4个箱子中，现从不同的箱子中取出2个彩球，则不同的取法共有()A．6种B．12种C．24种D．28种答案C解析从8个球中任取2个有C28＝28种取法，2球位于同一箱子中有C14＝4种取法，2球位于不同箱子的取法有28－4＝24种．10．将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为()A．10B．20C．30D．40答案B解析安排方法可分为3＋2及2＋3两类，则共有C25×A22＝20种分法，故选B.11．(2013·安徽合肥质检)中小学校车安全引起社会的关注，为了彻底消除校车安全隐患，某市购进了50台完全相同的校车，准备发放给10所学校，每所学校至少2台，则不同的发放方案的种数有()A．C941B．C938C．C940D．C939答案D解析首先每个学校配备一台，这个没有顺序和情况之分，剩下40台；将剩下的40台象排队一样排列好，则这40台校车之间有39个空．对这39个空进行插空，比如说用9面小旗子隔开，就可以隔成10部分了．所以是在39个空里选9个空进行插空，所以是C939.12．每天上午有4节课，下午有2节课，安排5门不同的课程，其中安排一门课两节连在一起上，则一天安排不同课程的种数为()A．96B．120C．480D．600答案C解析两节连上的取法有(3＋1)·C15＝20种，其他4门课排法有A44＝24种，∴共20×24＝480种．13．圆周上有8个点，将圆周等分，那么以其中的3个点为顶点的直角三角形的个数为()A．12B．16C．24D．48答案C解析以8个点为直径的端点共有4种取法，每种取法可作出6个三角形，∴共有4×6＝24个．14．7位身高各不相同的同学排成一排，要求正中间的最高，左右两边分别顺次一个比一个矮，这样的排法共有________种？答案20解析最高的同学必须站在中间，再从其他6位同学中选取3位同学按从高到矮的顺序站在一边，有C36种，则剩下三位同学的位置已定．故共有C36＝20种．15．某学校新来了五名学生，学校准备把他们分配到甲、乙、丙三个班级，每个班级至少分配一人，则其中学生A不分配到甲班的分配方案种数是________．答案100解析A的分配方案有2种，若A分配到的班级不再分配其他学生，则把其余四人分组后分配到另外两个班级，分配方法种数是(C34＋C24C22A22)A22＝14；若A分配到的班级再分配一名学生，则把剩余的三名学生分组后分配到另外两个班级，分配方法种数是C14C13A22＝24；若A分配到的班级再分配两名学生，则剩余的两名学生就分配到另外的两个班级，分配方法种数是C24A22＝12.故总数为2×(14＋24＋12)＝100.16．已知一组抛物线y＝12ax2＋bx＋1，其中a为2,4,6,8中任取的一个数，b为1,3,5,7中任取的一个数，从这些抛物线中抽取两条，它们在与直线x＝1交点处的切线恰好相互平行的情况有多少种？解析∵y′＝ax＋b，∴y′x＝1＝a＋b.若a＋b＝5有两条抛物线，从中取出两条，有C22种取法，若a＋b＝7有三条抛物线，从中取出两条，有C23种取法，若a＋b＝9有四条抛物线，从中取出两条，有C24种取法，若a＋b＝11有三条抛物线，从中取出两条，有C23种取法，若a＋b＝13有两条抛物线，从中取出两条，有C22种取法．由分类加法计数原理知任取两条，它们在与直线x＝1交点处的切线恰好平行的情形共有C22＋C23＋C24＋C23＋C22＝14种．17．三个工程队要承包5项不同的工程，每队至少承包一项，问共有多少种不同的承包方案．解析方法一承包方式分两类．第一类，三个工程队分别承包1,1,3项工程，共有C35·A33＝60种承包方案．第二类，三个工程队分别承包2,2,1项工程，共有C25·C23·A33A22＝90种承包方案．所以共有60＋90＝150种不同的承包方案．方法二第一类，三个承包队中有一队承包3项工程，其余两队分别承包1项工程只有C13·C35·C12＝60种承包方案．第二类，设三个工程队分别为甲、乙、丙三队，其中有一队承包一项工程，其余两队承包两项工程，共有C13C15·C24＝90种承包方案．综上可知共有60＋90＝150种不同的承包方案．1．一条铁路原有m个车站，为适应客运需要新增加n个车站(n1)，则客运车票增加了58种(注：从甲站到乙站和从乙站到甲站需要两种不同车票)，那么原有车站()A．12个B．13个C．14个D．15个答案C解析增加n个车站后，增加的车票种数为A2n＋C1mC1nA22＝n(2m＋n－1)种．58＝2×29，∴有n＝2，2m＋n－1＝29或n＝29，2m＋n－1＝2.m＝14或－13(舍)．2．离心率e＝logpq(其中1≤p≤9,1≤q≤9，且p∈N，q∈N)的不同形状的椭圆的个数为()A．25B．26C．27D．28答案B解析∵0e1，∴p≠1，q≠1.从2～9中选p，q且pq，共7＋6＋5＋…＋1＝28个．∵log93＝log42，log32＝log94，∴共有28－2＝26个．3．两个三口之家，拟乘两艘不同的游艇一起水上游，每艘游艇最多只能坐4个人，其中两个小孩(另4个为两对夫妇)不能独坐一艘游艇，则不同的乘坐方法共有________种．答案48解析①两船分别坐2人、4人，C46·C22·A22－C22·A22＝28种．②两船分别坐3人、3人，C36·C33A22·A22＝20种．共48种．4．教委派5名教研员到3所学校去调研学生课业负担问题，每校至少1人，有多少种不同的选派方法？解析先分组，再分配．先把5个人分成3组，有两种分法：①一组3人，另两组各1人，有C35C12C11A22种分法；②一组1人另两组各2人，有C15C24C22A22种分法．再分配到三所学校去有A33种分法．∴共有(C35C12C11A22＋C15C24C22A22)A33＝150种方法．5．一次数学考试的第一大题有11道小题，其中第(1)～(6)小题是代数题，答对一题得3分；第(7)～(11)题是几何题，答对一题得2分．某同学第一大题对6题，且所得分数不少于本题总分的一半，问该同学有多少种答题的不同情况？解析依题意可知本题的总分的一半是14分，某同学在11题中答对了6题，则至少答对两道代数题，至多答对4道几何题，因此有如下答题的情况：(1)代数题恰好对2道，几何题恰好对4道，此时有C26C45＝75种情况；(2)代数题恰好对3道，几何题恰好对3道，此时有C36C35＝200种情况；(3)代数题恰好对4道，几何题恰好对2道，此时有C46C25＝150种情况；(4)代数题恰好对5道，几何题仅对1道，此时有C56C15＝30种情况；(5)代数题全对，几何题全错，此时有C66C05＝1种情况．由分类计数原理所有可能的答题情况有456种．