2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业81

课时作业(八十一)(第二次作业)1．(2010·新课标全国卷)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A．100B．200C．300D．400答案B解析记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B(1000,0.1)，所以E(ξ)＝1000×0.1＝100，而X＝2ξ，故E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝200，故选B.2．(2013·岳阳联考)一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为()A.148B.124C.112D.16答案D解析设投篮得分为随机变量X，则X的分布列为X320PabcE(X)＝3a＋2b＝2≥23a×2b，所以ab≤16，当且仅当3a＝2b时，等号成立．3．随机变量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝13，则D(ξ)的值是()A.13B.23C.59D.79答案C解析∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，且E(ξ)＝－1×a＋1×c＝c－a＝13.联立三式得a＝16，b＝13，c＝12，∴D(ξ)＝(－1－13)2×16＋(0－13)2×13＋(1－13)2×12＝59.4．设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p＝______时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为______．答案12，25解析D(ξ)＝100p(1－p)≤100·(p＋1－p2)2＝25，当且仅当p＝1－p.即p＝12时，D(ξ)最大为25.5．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元，设一年内事件E发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的10%，公司应要求投保人交的保险金为________元．答案(0.1＋p)a解析设要求投保人交x元，公司的收益额ξ作为随机变量，则p(ξ＝x)＝1－p，p(ξ＝x－a)＝p.故E(ξ)＝x(1－p)＋(x－a)p＝x－ap.∴x－ap＝0.1a，∴x＝(0.1＋p)a.6．(2012·沈阳模拟)设l为平面上过点(0,1)的直线，l的斜率等可能地取－22，－3，－52，0，52，3，22.用X表示坐标原点到l的距离，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.答案47解析当l的斜率为±2时，直线方程为±22x－y＋1＝0，此时d1＝13；k＝±3时，d2＝12；k＝±52时，d3＝23；k＝0时，d4＝1.由等可能性事件的概率可得分布列如下：X1312231P27272717∴E(X)＝13×27＋12×27＋23×27＋1×17＝47.7．某制药厂新研制出一种抗感冒药，经临床试验疗效显著，但由于每位患者的身体素质不同，可能有少数患者服用后会出现轻微不良反应，甲、乙、丙三位患者均服用了此抗感冒药，若他们出现轻微不良反应的概率分别是15，13，14.(1)求恰好有一人出现轻微不良反应的概率；(2)求至多有两人出现轻微不良反应的概率；(3)设出现轻微不良反应的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．解析(1)患者甲出现轻微不良反应，患者乙、丙没有出现轻微不良反应的概率为15×23×34＝110；患者乙出现轻微不良反应，患者甲、丙没有出现轻微不良反应的概率为45×13×34＝15；患者丙出现轻微不良反应，患者甲、乙没有出现轻微不良反应的概率为45×23×14＝215，所以，恰好有一人出现轻微不良反应的概率为P1＝110＋15＋215＝1330.(2)有两人出现轻微不良反应的概率P2＝15×13×34＋45×13×14＋15×23×14＝120＋115＋130＝320.三人均没有出现轻微不良反应的概率P0＝45×23×34＝25，所以，至多有两人出现轻微不良反应的概率为25＋1330＋320＝5960.(3)依题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，由(1)(2)得，P(ξ＝0)＝25，P(ξ＝1)＝1330，P(ξ＝2)＝320，P(ξ＝3)＝1－25－1330－320＝160.于是ξ的分布列为ξ0123P251330320160ξ的数学期望E(ξ)＝0×25＋1×1330＋2×320＋3×160＝4760.8．某校举行一次以“我为教育发展做什么”为主题的演讲比赛，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段，已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别为23、13、14，且各阶段通过与否相互独立．(1)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；(2)设该选手比赛的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．解析(1)记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B，“该选手通过决赛”为事件C，则P(A)＝23，P(B)＝13，P(C)＝14.所以所求的概率P＝P(AB)＝P(A)P(B)＝23×(1－13)＝49.(2)依题意知ξ的可能取值为1,2,3.P(ξ＝1)＝P(A)＝1－23＝13，P(ξ＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝23×(1－13)＝49，P(ξ＝3)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝23×13＝29.ξ的分布列为ξ123P134929ξ的数学期望E(ξ)＝1×13＋2×49＋3×29＝179.9．(2013·吉林实验中学一模)某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75,80)，第2组[80,85)，第3组[85,90)，第4组[95,100]得到的频率分布直方图如图所示．(1)分别求第3,4,5组的频率；(2)若该校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试．①已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率；②学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，第4组中有ξ名学生被考官D面试，求ξ的分布列和数学期望．解析(1)第三组的频率为0.06×5＝0.3；第四组的频率为0.04×5＝0.2；第五组的频率为0.02×5＝0.1.(2)①设M：学生甲和学生乙同时进入第二轮面试，则P(M)＝C128C330＝1145.②P(ξ＝i)＝Ci2C2－i4C26(i＝0,1,2)，ξ的分布列为ξ012P25815115E(ξ)＝815＋215＝23.10．(2012·福建理)受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0x≤11x≤2x20x≤2x2轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)1231.82.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．解析(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝2＋350＝110.(2)依题意得，X1的分布列为X1123P125350910X2的分布列为X21.82.9P110910(3)由(2)得，E(X1)＝1×125＋2×350＋3×910＝2.86(万元)，E(X2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．因为E(X1)E(X2)，所以应生产甲品牌轿车．11．(2012·陕西)某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：办理业务所需的时间(分)12345频率0.10.40.30.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时．(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．解析设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：Y12345P0.10.40.30.10.1(1)A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.(2)方法一X所有可能的取值为0,1,2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y2)＝0.5；X＝1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y1)＋P(Y＝2)＝0.1×0.9＋0.4＝0.49；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01；所以X的分布列为X012P0.50.490.01E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.方法二X的所有可能取值为0,1,2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y2)＝0.5；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01；P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝0.49；所以X的分布列为X012P0.50.490.01E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.1．某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验的成功次数，则P(ξ＝1)等于()A．0B.12C.13D.23答案D解析设失败率为p，则成功率为2p，分布列为ξ01Pp2p由p＋2p＝1，得p＝13，∴2p＝23.2．(2012·衡水调研卷)设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为ξ－101P121－2qq2则q的值为()A．1B．1±22C．1＋22D．1－22答案D解析由分布列的性质，有1－2q≥0，q2≥0，12＋1－2q＋q2＝1，解得q＝1－22.或由1－2q≥0⇒q≤12，可排除A、B、C.3．(2012·安徽)某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用一道试题，若调用的是A类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A类型试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束，若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束．试题库中现有n＋m道试题，其中有n道A类型试题和m道B类型试题．以X表示两次调题工作完成后，试题库中A类型试题的数量．(1)求X＝n＋2的概率；(2)设m＝n，求X的分布列和均值(数学期望)．解析以Ai表示第i次调题调用到A类型试题，i＝1,2.(1)P(X＝n＋2)＝P(A1A2)＝nm＋n·n＋1m＋n＋2＝nn＋1m＋nm＋n＋2.(2)X的可能取值为n，n＋1，n＋2.P(X＝n)＝P(A1A2)＝nn＋n·nn＋n＝14.P(X＝n＋1)＝P(A1A2)＋P(A1A2)＝nn＋n·n＋1n＋n＋2＋nn＋n·nn＋n＝12，P(X＝n＋2)＝P(A1A2)＝nn＋n·n＋1n＋n＋2＝14，从而X的分布列是：Xnn＋1n＋2P141214E(X)＝n×14＋(n＋1)×12＋(n＋2)×14＝n＋1.4．(2012·四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不