2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业90

课时作业(九十)1.如图，半径为2的⊙O中，∠AOB＝90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为()A.52B.255C.355D.32答案C解析延长BO交⊙O于点F，由相交弦定理，可知BD·DF＝AD·DE.又由题知BD＝1，DF＝3，AD＝5，因此DE＝355.2.如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于点C，CD⊥AB于点D，则CD＝________.答案3解析由切割线定理知，PC2＝PA·PB，解得PC＝23.又OC⊥PC，故CD＝PC·OCPO＝23×24＝3.3．(2013·湖南六校联考)如图，点A、B、C都在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，若AB＝5，BC＝3，CD＝6，则线段AC的长为________．答案92解析由切割线定理，得CD2＝BD·AD.因为CD＝6，AB＝5，则36＝BD(BD＋5)，即BD2＋5BD－36＝0，即(BD＋9)(BD－4)＝0，所以BD＝4.因为∠A＝∠BCD，所以△ADC∽△CDB，于是ACCB＝CDBD.所以AC＝CDBD·BC＝64×3＝92.4．(2013·北京海淀二模)如图，已知⊙O的弦AB交半径OC于点D.若AD＝3，BD＝2，且D为OC的中点，则CD＝______.答案2解析延长CO交圆O于点M，由题意知DC＝r2，DM＝32r.由相交弦定理知AD·DB＝DC·DM，即34r2＝6，∴r＝22，∴DC＝2.5.如图，⊙O的割线PBA过圆心O，弦CD交PA于点F，且△COF∽△PDF，若PB＝OA＝2，则PF＝________.答案3解析由相交弦定理可得BF·AF＝DF·CF，由△COF∽△PDF可得CFPF＝OFDF，即得DF·CF＝PF·OF.∴BF·AF＝PF·OF.即(PF－2)·(6－PF)＝PF·(4－PF)，解得PF＝3.6.如右图，已知EB是半圆O的直径，A是BE延长线上一点，AC切半圆O于点D，BC⊥AC于点C，DF⊥EB于点F，若BC＝6，AC＝8，则DF＝________.答案3解析设圆的半径为r，AD＝x，连接OD，得OD⊥AC，故ADAC＝ODBC，即x8＝r6，故x＝43r.又由切割线定理，得AD2＝AE·AB，即169r2＝(10－2r)×10.故r＝154.由射影定理知DF＝3.7.(2013·广东六校联考)如图，过点D作圆的切线切于B点，作割线交圆于A，C两点，其中BD＝3，AD＝4，AB＝2，则BC＝________.答案32解析由切割线定理，得BD2＝CD·AD，得CD＝94.又∵∠A＝∠DBC，∠D＝∠D，∴△ABD∽△BCD，BDCD＝ABBC，解得BC＝32.8.(2013·西城期末)如图所示，过圆C外一点P作一条直线与圆C交于A，B两点，BA＝2AP，PT与圆C相切于T点．已知圆C的半径为2，∠CAB＝30°，则PT＝________.答案3解析连接CB，在等腰三角形ACB中，AC＝CB＝2，∠CAB＝∠CBA＝30°，∠ACB＝120°，AB＝23，AP＝12AB＝3，由切割线定理，得PT2＝AP·PB＝AP·(AP＋AB)＝9，PT＝3，故填3.9.如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，∠MAB＝35°，则∠D＝________.答案125°解析连接BD，由MN与⊙O相切可知∠ADB＝∠MAB＝35°，又由BC为⊙O的直径可知∠BDC＝90°，所以∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝125°.10.如图，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，则线段CD的长为________．答案332解析因为圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，则AC⊥BC，从而cos∠CBA＝36＝12.又因为l是圆O的切线，由弦切角定理得∠DCA＝∠CBA，从而cos∠DCA＝cos∠CBA＝12.又因为AD⊥CD，所以CD＝ACcos∠DCA＝62－32×12＝332.11.如图，AD是⊙O的切线，AC是⊙O的弦，过C作AD的垂线，垂足为B，CB与⊙O相交于点E，AE平分∠CAB，且AE＝2，则AC＝________.答案23解析∵AE平分∠CAB，∴∠EAB＝∠EAC.又∠EAB＝∠ECA，∴∠EAC＝∠ECA.而∠EAB＋∠EAC＋∠ECA＝90°，∴∠EAC＝∠ECA＝30°.取AC中点F，连接EF，则EF⊥AC.∵AE＝2，∴EF＝1.∴AF＝3，从而AC＝23.12.如图，三角形ABC中，AB＝AC，⊙O经过点A，与BC相切于B，与AC相交于D，若AD＝CD＝1，则⊙O的半径r＝________.答案2147解析过B点作BE∥AC交圆于点E，连AE，OB并延长交AE于F.∵BC是⊙O的切线，AE∥BC，∴BF⊥AE.又BC2＝CD×AC＝2，∴BC＝2，BF＝AB2－AF2＝142.设OF＝x，则x＋r＝142，x2＋12＝r2，解得r＝2147.13.如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB于E，∠POC＝∠PCE.(1)求证：PC是⊙O的切线．(2)若OE∶EA＝1∶2，PA＝6，求⊙O半径．解析(1)在△OCP与△CEP中，∵∠POC＝∠PCE，∠OPC＝∠CPE，∴∠OCP＝∠CEP.∵CD⊥AB，∴∠CEP＝90°，∴∠OCP＝90°.又C点在圆上，∴PC是⊙O的切线．(2)方法一设OE＝x，则EA＝2x，OC＝OA＝3x.∵∠COE＝∠AOC，∠OEC＝∠OCP＝90°，∴△OCE∽△OPC，∴OCOE＝OPOC.即(3x)2＝x(3x＋6)，∴x＝1，∴OA＝3x＝3，即圆的半径为3.方法二由(1)知PC是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°.又∵CD⊥OP，由射影定理知OC2＝OE·OP，以下同方法一．14．如图，E是⊙O中直径CF延长线上一点，弦AB⊥CF，AE交⊙O于P，PB交CF于D，连接AO、AD.求证：(1)∠E＝∠OAD；(2)OF2＝OD·OE.证明(1)∵∠E＝∠APD－∠PDE，∠OAD＝∠AOC－∠ADC＝∠APD－∠ADC，∠PDE＝∠CDB＝∠ADC，∴∠E＝∠OAD.(2)∵∠E＝∠OAD，∠AOD＝∠EOA，∴△AOD∽△EOA，∴OAOE＝ODOA.即OA2＝OD·OE.又OA＝OF，∴OF2＝OD·OE.15．(2011·新课标全国)如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根．(1)证明：C，B，D，E四点共圆；(2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．解析(1)连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB＝mn＝AE×AC，即ADAC＝AEAB.又∠DAE＝∠CAB，从而△ADE∽△ACB，因此∠ADE＝∠ACB.所以C，B，D，E四点共圆．(2)m＝4，n＝6时，方程x2－14x＋mn＝0的两根为x1＝2，x2＝12.故AD＝2，AB＝12.取CE的中点G，DB的中点F，分别过G、F作AC、AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC.HF＝AG＝5，DF＝12(12－2)＝5.故C，B，D，E四点所在圆的半径为52.16．(2012·课标全国理)如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.解析(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连接AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD.所以∠BGD＝∠BDG.由BC＝CD知∠CBD＝∠CDB.而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，故△BCD∽△GBD.17.如图，△ABC内接于圆O，AB＝AC，直线MN切圆O于点C，BD∥MN，AC与BD相交于点E.(1)求证：AE＝AD；(2)若AB＝6，BC＝4，求AE.(1)证明∵BD∥MN，∴∠AED＝∠ACN.又MN为圆的切线，∴∠ACN＝∠ABC.则∠AED＝∠ABC.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∴∠ACB＝∠AED.∵∠ADB＝∠ACB，∴∠AED＝∠ADB.∴AE＝AD.(2)解析∵∠ACD＝∠ABD，∠CAD＝∠CAB且AE＝AD，∴△ABE≌△ACD.∴BE＝CD＝BC＝4.设AE＝x，易证△ABE∽△DCE，DE＝23x，又AE·EC＝BE·ED，∴x＝103.1．(2013·东莞模拟)如图，从圆O外一点A引圆的切线AD和割线ABC，已知AD＝23，AC＝6，圆O的半径为3，则圆心O到AC的距离为________．答案5解析如图所示，取BC中点M，连接OC，OM.由AD与圆O相切可得AD2＝AB·AC，得AB＝2，则CM＝BC2＝AC－AB2＝2.∴OM＝OC2－CM2＝9－4＝5，即圆心O到AC的距离为5.2.(2013·西安第一次质检)如图所示，过⊙O外一点P作一直线与⊙O交于A，B两点．已知PA＝2，过点P的切线PT＝4，则弦AB的长为________．答案6解析由切割线定理，得PT2＝PA·PB.∵PA＝2，PT＝4，∴PB＝8.∴AB＝PB－PA＝6.3.已知如右图，⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C、D.若BC＝2，BD＝4，则AB的长为________．答案22解析∵AC、AD分别是两圆的切线，∴∠C＝∠2，∠1＝∠D.∴△ACB∽△DAB.∴BCAB＝ABBD，∴AB2＝BC·BD＝2×4＝8.∴AB＝8＝22(舍去负值)．4.如图，已知AD为圆O的直径，直线BA与圆O相切于点A，直线OB与弦AC垂直相交于点G，与弧AC相交于M，连接DC，AB＝10，AC＝12.(1)求证：BA·DC＝GC·AD；(2)求BM.(1)证明因为AC⊥OB，所以∠AGB＝90°.又AD是圆O的直径，所以∠DCA＝90°.又因为∠BAG＝∠ADC(弦切角等于同弧所对的圆周角)，所以Rt△AGB∽Rt△DCA，所以BAAD＝AGDC.又因为OG⊥AC，所以GC＝AG.所以BAAD＝GCDC，即BA·DC＝GC·AD.(2)解析因为AC＝12，所以AG＝6.因为AB＝10，所以BG＝AB2－AG2＝8.由(1)知：Rt△AGB∽Rt△DCA，所以ABAD＝BGAC.所以AD＝15，即圆的直径2r＝15.又因为AB2＝BM·(BM＋2r)，即BM2＋15BM－100＝0.解得BM＝5.