2014高考金钥匙数学解题技巧大揭秘专题十六椭圆双曲线抛物线

专题十六椭圆、双曲线、抛物线1．已知双曲线x24－y2b2＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()．A.5B．42C．3D．5答案：A[易求得抛物线y2＝12x的焦点为(3,0)，故双曲线x24－y2b2＝1的右焦点为(3,0)，即c＝3，故32＝4＋b2，∴b2＝5，∴双曲线的渐近线方程为y＝±52x，∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离为52×31＋54＝5.]2．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝43，则C的实轴长为()．A.2B．22C．4D．8答案：C[抛物线y2＝16x的准线方程是x＝－4，所以点A(－4，23)在等轴双曲线C；x2－y2＝a2(a＞0)上，将点A的坐标代入得a＝2，所以C的实轴长为4.]3．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为()．[来源:学|科|网Z|X|X|K]A.x28＋y22＝1B.x212＋y26＝1C.x216＋y24＝1D.x220＋y25＝1答案：D[因为椭圆的离心率为32，所以e＝ca＝32，c2＝34a2，c2＝34a2＝a2－b2，所以b2＝14a2，即a2＝4b2.双曲线的渐近线方程为y＝±x，代入椭圆方程得x2a2＋x2b2＝1，即x24b2＋x2b2＝5x24b2＝1，所以x2＝45b2，x＝±25b，y2＝45b2，y＝±25b，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为25b，25b，所以四边形的面积为4×25b×25b＝165b2＝16，所以b2＝5，所以椭圆方程为x220＋y25＝1.]4．在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方，若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．解析直线l的方程为y＝3(x－1)，即x＝33y＋1，代入抛物线方程得y2－433y－4＝0，解得yA＝433＋163＋162＝23(yB＜0，舍去)，故△OAF的面积为12×1×23＝3.[来源:Zxxk.Com]答案3圆锥曲线与方程是高考考查的核心内容之一，在高考中一般有1～2个选择或者填空题，一个解答题．选择或者填空题有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用，主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大；解答题主要是以椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系．复习中，一要熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的基础知识、基本方法，在抓住通性通法的同时，要训练利用代数方法解决几何问题的运算技巧．二要熟悉圆锥曲线的几何性质，重点掌握直线与圆锥曲线相关问题的基本求解方法与策略，提高运用函数与方程思想，向量与导数的方法来解决问题的能力.必备知识椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，点P(x，y)在椭圆上．(1)离心率：e＝ca＝1－b2a2；(2)过焦点且垂直于长轴的弦叫通径，其长度为：2b2a.双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，点P(x，y)在双曲线上．(1)离心率：e＝ca＝1＋b2a2；(2)过焦点且垂直于实轴的弦叫通径，其长度为：2b2a.抛物线y2＝2px(p＞0)，点C(x1，y1)，D(x2，y2)在抛物线上．(1)焦半径|CF|＝x1＋p2；(2)过焦点弦长|CD|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋p，|CD|＝2psin2α(其中α为倾斜角)，1|CF|＋1|DF|＝2p；(3)x1x2＝p24，y1y2＝－p2；(4)以抛物线上的点为圆心，焦半径为半径的圆必与准线相切，以抛物线焦点弦为直径的圆，必与准线相切．必备方法1．求圆锥曲线标准方程常用的方法(1)定义法(2)待定系数法①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a不具有p的几何意义．②中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为x2m＋y2n＝1(m＞0，n＞0)．双曲线方程可设为x2m－y2n＝1(mn＞0)．这样可以避免讨论和繁琐的计算．2．求轨迹方程的常用方法(1)直接法：将几何关系直接转化成代数方程．(2)定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程．(3)代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系．(4)交轨法：写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动直线交点的轨迹．注意：①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式；③化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等.椭圆、双曲线、抛物线定义的应用圆锥曲线的定义是圆锥曲线问题的根本，利用圆锥曲线的定义解题是高考考查圆锥曲线的一个重要命题点，在历年的高考试题中曾多次出现．需熟练掌握．【例1】►已知椭圆x26＋y22＝1与双曲线x23－y2＝1的公共焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2的值为()．A.14B.13C.19D.35[审题视点][听课记录][审题视点]结合椭圆、双曲线的定义及余弦定理可求．B[因点P在椭圆上又在双曲线上，所以|PF1|＋|PF2|＝26，|PF1|－|PF2|＝23.设|PF1|＞|PF2|，解得|PF1|＝6＋3，|PF2|＝6－3，由余弦定理得cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1||PF2|＝6＋32＋6－32－1626＋36－3＝13.]涉及椭圆、双曲线上的点到两焦点的距离问题时，要自觉地运用椭圆、双曲线的定义．涉及抛物线上的点到焦点的距离时，常利用定义转化到抛物线的准线的距离．【突破训练1】如图过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的直线l依次交抛物线及其准线与点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程是________．解析作BM⊥l，AQ⊥l，垂足分别为M、Q.则由抛物线定义得，|AQ|＝|AF|＝3，|BF|＝|BM|.又|BC|＝2|BF|，所以|BC|＝2|BM|.由BM∥AQ得，|AC|＝2|AQ|＝6，|CF|＝3.∴|NF|＝12|CF|＝32.即p＝32.抛物线方程为y2＝3x.答案y2＝3x椭圆、双曲线、抛物线的几何性质圆锥曲线的简单几何性质是圆锥曲线的重点内容，主要考查椭圆与双曲线的离心率的求解、双曲线的渐近线方程的求解，难度中档．【例2】以O为中心，F1，F2为两个焦点的椭圆上存在一点M，满足|MF1→|＝2|MO→|＝2|MF2→|，则该椭圆的离心率为()．A.22B.33C.63D.64[审题视点][听课记录][审题视点]作MN⊥x轴，结合勾股定理可求c，利用椭圆定义可求a.C[过M作x轴的垂线，交x轴于N点，则N点坐标为c2，0，并设|MF1→|＝2|MO→|＝2|MF2→|＝2t，根据勾股定理可知，|MF1→|2－|NF1→|2＝|MF2→|2－|NF2→|2，得到c＝62t，而a＝3t2，则e＝ca＝63，故选C.]离心率的范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到关于a，c的不等式，由这个不等式确定e的范围．【突破训练2】设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．解析抛物线的焦点F的坐标为p2，0，线段FA的中点B的坐标为p4，1代入抛物线方程得1＝2p×p4，解得p＝2，故点B的坐标为24，1，故点B到该抛物线准线的距离为24＋22＝324.答案324求曲线的方程轨迹问题的考查往往与函数、方程、向量、平面几何等知识相融合，着重考查分析问题、解决问题的能力，对逻辑思维能力、运算能力也有一定的要求．【例3】在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)(ab0)为动点，F1，F2分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1的左、右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．(1)求椭圆的离心率e；(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足AM→·BM→＝－2，求点M的轨迹方程．[审题视点][听课记录][审题视点](1)根据|PF2|＝|F1F2|建立关于a与c的方程式．(2)可解出A、B两点坐标(用c表示)，利用AM→·BM→＝－2可求解．解(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c0)．由题意可得|PF2|＝|F1F2|，即a－c2＋b2＝2c.整理得2ca2＋ca－1＝0，得ca＝12或ca＝－1(舍)，所以e＝12.(2)由(1)知a＝2c，b＝3c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2方程为y＝3(x－c)．A，B两点的坐标满足方程组3x2＋4y2＝12c2，y＝3x－c.消去y并整理，得5x2－8cx＝0，解得x1＝0，x2＝85c，得方程组的解x1＝0，y1＝－3c，x2＝85c，y2＝335c.不妨设A85c，335c，B()0，－3c.设点M的坐标为(x，y)，则AM→＝x－85c，y－335c，BM→＝(x，y＋3c)．由y＝3(x－c)，得c＝x－33y.于是AM→＝8315y－35x，85y－335x，BM→＝(x，3x)．由题意知AM→·BM→＝－2，即8315y－35x·x＋85y－335x·3x＝－2，化简得18x2－163xy－15＝0.将y＝18x2－15163x代入c＝x－33y，得c＝10x2＋516x0，所以x0.因此，点M的轨迹方程是18x2－163xy－15＝0(x0)．(1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线，则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解．(2)讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应，要注意字母的取值范围．【突破训练3】如图，动点M与两定点A(－1,0)、B(2,0)构成△MAB，且∠MBA＝2∠MAB.设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设直线y＝－2x＋m与y轴相交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|，求|PR||PQ|的取值范围．解(1)设M的坐标为(x，y)，显然有x＞0，且y≠0.当∠MBA＝90°时，点M的坐标为(2，±3)．当∠MBA≠90°时，x≠2，且∠MBA＝2∠MAB，有tan∠MBA＝2tan∠MAB1－tan2∠MAB，即－|y|x－2＝2|y|x＋11－|y|x＋12，化简可得3x2－y2－3＝0.而点(2，±3)在曲线3x2－y2－3＝0上，综上可知，轨迹C的方程为3x2－y2－3＝0(x＞1)．(2)由y＝－2x＋m，3x2－y2－3＝0消去y，可得x2－4mx＋m2＋3＝0.(*)由题意，方程(*)有两根且均在(1，＋∞)内．设f(x)＝x2－4mx＋m2＋3，所以－－4m2＞1，f1＝12－4m＋m2＋3＞0，Δ＝－4m2－4m2＋3＞0，解得m＞1，且m≠2.设Q、R的坐标分别为(xQ，yQ)，(xR，yR)，由|PQ|＜|PR|有xR＝2m＋3m2－1，xQ＝2m－3m2－1.所以|PR||PQ|＝xRxQ＝2m＋3m2－12m－3m2－1＝2＋31－1m22－31－1m2＝－1＋42－31－1m2.由m＞1，且m≠2，有1＜－1＋42－31－1m2＜7＋43，且－1＋42－31－1m2≠7.所以|PR||PQ|的取值范围是(1,7)∪(7,7＋43)．直线与圆锥曲线之间的关系在高考中，直线与圆锥曲线的位置关系是热点，通常围绕弦长、面积、定点(定值)，范围问题来展开，其中设而不求的思想是处理相交问题的最基本方法，试题